回眸课标导数题把握备考方向标

☉福建省福州华侨中学 李文明

回眸课标导数题把握备考方向标

☉福建省福州华侨中学 李文明

根据教育部最近发布的消息，2016年高考在去年18省份使用全国卷的基础上又新增福建、安徽、湖南、广东、重庆、四川和陕西7省共计25个省份使用全国课标卷，尽管有关的专家、官员承诺命题改革不会对考生造成较大影响，《考试大纲》和《考试说明》不会有较大变化，但是由于命题专家对命题方向、内容、要求都会带有一定倾向性，与以往分省命题会有较大差异，必须引起足够的重视，因此有必要对近三年课标试题进行认真对比、观察、分析、研究，探寻规律，领悟理念，厘清方向.

一、近三年新课标导数题的再现

2013年新课标1文科第20题（满分12分）：已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.

2013年新课标1理科第21题（满分12分）：设函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2，

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；

（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围.

2013年新课标2文科第21题（满分12分）：已知函数f（x）=x2e-x.

（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上的截距的取值范围.

2013年新课标2理科第21题（满分12分）：已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

2014年新课标1文科第21题（满分12分）：设函数f（x） =alnx，曲线y=（fx）在点（1，（f1））处的切线的斜率为0.

（Ⅰ）求b；

（Ⅱ）若存在x0≥1，使得，求a的取值范围.

2014年新课标1理科第21题（满分12分）：设函数f（x），曲线y=（fx）在点（1，（f1））处的切线为y= e（x-1）+2.

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明f（x）>1.

2014年新课标2文科第21题（满分12分）：已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴的交点的横坐标为-2.

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）证明当k<1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.

2014年新课标2理科第21题（满分12分）：已知函数f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x），x>0，g（x）>0，求b的取值范围；

2015年新课标1文科第21题（满分12分）：设函数f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）讨论f′（x）的零点个数；

2015年新课标1理科第21题（满分12分）：已知函数（fx）=x3+ax+，g（x）=-lnx.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m、n中的最小值，设h（x）= min{f（x），g（x）}，讨论h（x）的零点个数.

2015年新课标2文科第21题（满分12分）：已知函数f（x）=lnx+a（1-x）.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当f（x）有最大值且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.

2015年新课标2理科第21题（满分12分）：设函数f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）证明f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（Ⅱ）若对任意x1、x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围.

二、近三年新课标导数题的规律

（1）近三年新课标导数题题序稳定，基本都是压轴题的位置，内容都是基本初等函数——指数函数、对数函数和多项式函数复合而成（y=ex，y=lnx，y=ax3+bx2+cx+ d），考查的重点知识主要是函数的单调性、极值、最值、切点、切线、极值点、零点，考查的重要数学思想和能力主要是函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想以及运算求解能力、推理论证能力、分析综合能力，充分体现了全国新课标卷在把握课程理念方面的引领和示范作用.

（2）近三年新课标导数题基本都是设置两问，（仅2014年新课标2理科是三问）其中第一问都是以切点、切线、单调性为主要切入点，形成较为容易的“入口”；难点主要是在第二问（或第三问），以证明、讨论、求解为主，尤其是求参数的取值范围题居多.

（3）近三年新课标导数题最为显著的特点是在“学生知识的最近发展区”命制试题，难度控制基本有效，第二问虽然难度较大，但是都是学生学习导数最应该掌握的基本思想方法，大多数试题都能够利用求导数、求极值、求最值、求零点等基本数学方法解决，最为关键的是数学思想方法的融会贯通.

三、近三年新课标导数题的探究

高考命题专家大都是居高临下，上通《考试大纲》《考试说明》《新课程标准》，下通课堂的大师，对中学数学教学和新课程改革有独特理解，仅就这一点可以说新课标导数题是现今高考导数题中与中学课程改革、中学课堂教学最为贴近的试题，我们认为好的数学高考试题不仅仅是题目本身的命制，尤为重要的是高考试题的答案，因为只有答案最能体现命题专家的命题目的、命题思想，以及对中学数学教学的导向.由分省命题向全国统一命题过渡的过程中，专家们做了很多“框架方面”的引领，作为一线教师——中学数学教学的执行者和实践者，我们不要把“高考试题的标准答案”不加思考直接“兜售”给学生，因为答案都是“专家”的经典之作，它与学生的距离是不言而喻的！一定要“下水做题”，不能只做“陆地模仿”；一定要亲自尝尝“梨子的滋味”.只有这样，在教学中才能有的放矢，才能科学有效组织复习.因篇幅所限，仅就两题进行反思.

（1）（2014年新课标1文科第21题（Ⅱ））若存在x0≥1，使得（fx0），求a的取值范围.

文科高考试题虽然对分类讨论的要求比理科相对较低，但是文科生比较恐惧的恰恰就是分类讨论，所以要根据题目的特点不失时机地具体问题具体分析，非分类不能解决的时候才进行分类，而不是学套路——“有参数，必分类”，造成不必要的心理障碍和恐慌，我们先看命题组提供的答案.

由题设知f′（1）=0，解得b=1.

（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）.由（Ⅰ）知f（x）=alnx+

所以存在x0≥1，使得的充要条件为

评析：这个标准答案，主要的数学方法是“分类讨论”，解题的主要依据是“存在x0≥1，使得”的“充要条件”是“”，讨论的第一、第二步都是这样做的，但是到讨论的第三步，突然改变了解题依据，直接就“若a>1，则（f1）”，对于这个解答，我们的思考主要集中在第三步，此时-a<0⇒f′（x）单调递减.又因为f（′1）=0⇒ f′（x）≤0（x≥1）⇒f（x）单调递减，所以f（x）max=f（1），f（x）无最小值.这里需要说明的是是“存在x≥1，使得0的“充分不必要条件”，而不是充要条件！所以“答案”所求得的取值范围“（-）”是“存在x0≥1，使得的“充分条件”！

（2）（2015年新课标1理科第21题）（满分12分）已知函数

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m、n中的最小值，设h（x）= min{f（x），g（x）}，讨论h（x）的零点个数.

这道考题是最近三年“分类讨论”问题中最复杂的问题之一，有“分类套叠”，专家给出的“标准答案”，很多学生看不懂，甚至我们的老师也有些云里雾里，特别是分类后的“整合”，可能专家觉得很容易，但是我们觉得不容易被接受，为了让我们的学生能够更好地领会命题精神，我们有必要探究新的分类方法，经过认真思考给出更符合中学教学实际的解法：这里的函数h（x）是典型的“分段取小函数”；对于分段函数，最重要的是确定分段区间和每一段上的表达式；这道题的解答确实是非分类不可，到底如何分类成为解题的关键所在.

解：由于g（x）=-lnx是确定函数，所以讨论就要从函数f（x）开始.

f′（x）=3x2+a.

函数h（x）的图像如图2所示，h（1）=g（1）=0，此时函数h（x）只有1个零点.

函数h（x）的图像如图4所示，h（1）=g（1）=0，此时函数h（x）只有3个零点.

函数h（x）的图像如图5所示，h（1）=g（1）=0，此时函数h（x）只有2个零点.⑥当时，f（x）=

极小值0.

函数h（x）的图像如图6所示，此时函数h（x）只有1个零点.

函数h（x）的图像如图7所示，此时函数h（x）只有1个零点.

我们觉得数形结合，关键是把握好分类的界定标准，本题抓住三个关键进行分类，使得问题的解决清晰简明，没有“玄妙”只有“通俗”，让我们的学生感到所学的数学知识是“有用武之地”的！因此我们建议专家们在高考函数导数解题过程中不要搞隐“形”的数形结合，因为隐形的数形结合会给中学生造成在数学学习过程中“折伤翅膀”的伤感！因为现行中学数学教材中的数形结合都是有活灵活现“图形”存在的，这是完全符合中学生心理特点的实际情况的.

四、近三年新课标导数题的启示

（1）文科数学教学中要适当拓宽学生的知识面，因为文科（福建）教材中没有学习复合函数的导数，但是新课标卷中已经出现，我们也只能面对，否则学生连“入题”都困难，会被无情地卡在“题门”之外.

（2）导数教学过程中，导数的概念、基本的导数公式、导数运算法则一定要把握准确，并能灵活运用，运用导数研究函数的单调性，函数的极值、最值、零点、切点、切线仍然是最重要的基础知识和基本技能.

（3）在高考函数与导数复习过程中，重视数学思想方法的引领作用，数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想是重要的思想方法，不可偏废，在有机融合，重视“通性通法”的学习的同时，要学会捕捉题设信息，具体问题具体分析，防止思维僵化，强化数学思维能力和创新意识的培养.对于高考试题的研究，教师一定要做到吃进去的是“草”，挤出来的是“奶”，追求自然，崇尚简约，不人云亦云，不亦步亦趋，学会独立思考，善于开拓进取.

1.李文明.创新之路在脚下无限风景在眼前——2015年福州市高三毕业质量检测压轴题的详解与反思［J］.中学数学（上），2015（6）.

2.李文明.“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演绎的是“精彩”——2014年高考福建卷数学压轴题另解与思考［J］.中学数学（上），2015（2）.A