由y=Asin（ωx+φ）的图像或性质确定解析式引发的思考

☉江苏省丹阳高级中学 管立芬

由y=Asin（ωx+φ）的图像或性质确定解析式引发的思考

☉江苏省丹阳高级中学 管立芬

纵观近年各省市高考试题，对y=Asin（ωx+φ）的图像和性质的考查屡见不鲜，其中有一种重要的题型——利用函数的图像确定A、ω、φ的值，进而求出函数的解析式、最值、周期等问题，此类问题的常规解法是根据图像确定函数的周期、最值，进而求出ω、A，根据图像与x轴的交点或最值点，将点的坐标代入解析式求φ，如：（2013年高考四川）函数f（x）＝2sin（ωx＋）的部分图像如图1所示，则ω、φ的值分别是（）.

但高考命题千变万化、常考常新，解题方法则不能一概而论.下面就此类问题的创新考查方式及相应的解题策略进行分析，供读者参考.

变化一、把握条件，实现转化

例1（2015年高考湖南理）将函数f（x）=sin2x的图像向右平移φ个单位后得到函数g（x）的图像，若对满足|（fx1）-g（x2）|=2的，则φ=（）.

解析：f（x）的图像向右平移φ个单位后，得到g（x）= sin（2x-2φ）.

由|（fx1）-g（x2）|=2，得或

评析：本题既考查三角函数的图像平移变换，同时考查学生对函数图像的深刻理解.首先，要掌握三角函数图像的平移变换、周期变换和振幅变换的规律，理解规律背后的理论支撑.其次，要把握函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像的对称轴会穿过图像的最值点，两个相邻的对称轴之间的距离就是半个周期，某三角函数图像至少平移m（m>0）个单位后与原图像重合，也就意味着函数的最小正周期为T=m等.如：（2010年高考辽宁）设ω>0，函数）+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（）.

总之，把握好图像的本质特征，完成符号语言、文字语言和图形语言的相互转化，即可顺利找到解题思路.

变化二、挖掘隐含，确定零点

例2（2013年北京高三一模）已知函数f（x）=sin（2x+ φ），其中φ为实数，若（fx）对x∈R恒成立，且，则下列结论正确的是（）.

C.f（x）是奇函数

解析：由ω=2得周期T=π.

评析：本题并没有直接给出函数的图像，但根据题目所给的相关信息，即根据对称轴与周期可确定函数的零点，从而构造出函数的图像，结合图像信息解决问题.

变化三、看图说话，确定周期范围

例3如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω、φ为常数）的图像如图3所示（图像经过点（1，0）），那么ω的值为（）.

A.1B.2C.3D.4

解析：图形是题目所给的重要信息之一，因此把握图形的结构特征是问题突破的关键.如图4，易知

（fx）=cos（2ωx+φ）=，所以函数的周期由图可知即.结合所给选项及ω为整数，所以答案为B.

评析：欲求ω的值，应从周期入手，但本题并没有直接给出对称轴、周期等相关值，因此通过充分挖掘图像中所隐含的周期特征，即及，得出周期的范围，而ω为正整数，进而得ω的值.

变化四、动中寻定，确定对称轴与对称中心

例4（2014年高考北京理）设函数（fx）=Asin（ωx+ φ）（A、ω、φ是常数，A>0，ω>0）.若（fx）在区间上具有单调性），则（fx）的最小正周期为_______.

“年年岁岁题相似”，三角函数的图像和性质是历年高考必考内容，且命题者不断变换考查的角度，相继推出了许多新颖别致、极富思考性和挑战性的创新题型，给此类问题注入了新的活力，此类问题重点考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、对称轴、对称中心等性质和函数图像变换问题.要想掌握好本单元内容，首先，要学会“看图说话”，即由y=sinx的图像看出y=Asin（ωx+φ）的图像特征.A