新课程极坐标方程教学：困惑、解惑与感悟

☉甘肃省天水市一中 宫前长

新课程极坐标方程教学：困惑、解惑与感悟

☉甘肃省天水市一中 宫前长

一、问题提出

极坐标方程在新课程人教A版《数学》（选修4-4）中占有比较重要的地位，是提升学生认识和理解平面中点位置确定的思想方法，极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式.极坐标概念的学习从某一个侧面揭示了平面点和空间点的数学多元化理解、表示及其本质的认识，是更好地深化理解数学基本思想的最好素材.极坐标方程是一种确定点的方法，具有概括性、抽象性和多变性等特征，教材编者在新课程人教版A版的选修模块4中编写极坐标方程，给学生提供了一种新的求曲线方程的方法、思路和策略.

极坐标是一种思想、一种方法、一种工具，更是一种数学文化，如何传承、延续和传播，让学生站在较高层次上用渗透、传播极坐标思想解决问题.为此，在新课标下如何准确定位、把握极坐标方程的教学？值得思考和研究.

二、备课困惑

在备“简单曲线的极坐标方程”两节课时，从选修4-4模块中的整体内容编排上进行了认真地思考，内容涉及圆的极坐标方程和直线的极坐标方程两部分，教材编写、安排上采用“思考”来引导学生探究具体问题：“如何确定学校建筑物的位置”，根据学生的生活经验，概括确定平面内点的位置的因素：“距离”与“角度”，总感觉采用“距离”与“角度”来刻画点的位置比采用直角坐标更自然、更方便，这样引出极坐标的相关概念.

教材通过“探究”需要学生写出“半径为a，过极点且在极轴上的圆上任意一点的极坐标（ρ，θ）满足的条件”，其实质是求圆的极坐标方程.由于直线的极坐标方程复杂，教材将直线的极坐标方程放在圆的极坐标方程之后.教材的特点是在内容上分层次设计、编排，在教学定位上要让学生理解极坐标的本质含义、极坐标下简单曲线方程的计算方法和极坐标表示简单曲线的简洁性作用，尤其后面安排“思考”的用意是比较同一圆、直线在不同的坐标系下的方程，体会适当地选择坐标系的重要性，加强培养和发展学生的归纳概括能力、逻辑推理能力等.

教师集体备课（笔者在张家川回族自治县第一高级中学支教），县中学有一些老师提出要根据教材的编排进行授课，部分教师提出按照重点中学对待数学选修课程来进行，即极坐标的知识不需要讲解，只须让学生记住极坐标与直角坐标的坐标互化关系式（ρ2=x2+y2，x= ρcosθ，y=ρsinθ），会转化为普通方程就行，到时能够应付高考试题的解答即可，这样处理上课只需一节课，但学生对极坐标概念的产生、发展和应用的深层次理解相对减弱，很难对极坐标的相关问题进行探究，使新课标教材的设置形同虚设，尤其对“简单曲线的极坐标方程”一节，更是简单地认为：只要记住极坐标与直角坐标的坐标互化公式，直接转化为直角坐标系下的方程、解题思路和处理策略就行.这样做减弱了学生对极坐标系下简单曲线的深层次理解，剥夺了学生学习极坐标方程的过程经历，虽然多次训练可以得到高分，却违背了新课标的数学教育理念.

备课组老师结合县区中学的学生认知层次，达成统一认识：虽然跟着高考的指挥棒走，对这一节采取“推导极坐标与直角坐标的坐标互化公式，学会转化”的教学思路进行，上一节课，训练一节课，耗时少、花得精力更少，短期效果好，考试分数高，但学生恰恰丢了好多思维训练的机会和学习经历，自然对圆、直线在不同坐标系下的方程求解的理解不深刻，对后续的数学学习造成了许多困难.因此，在教学中如何定位“简单曲线的极坐标方程”，是以极坐标方程的求解本质及其所反映的极坐标下的曲线方程求解的基本思想为重呢？还是以会计算极坐标方程的有关问题为重呢？如何安排教学，才能收到很好的教学效果呢？

大家带着这个困惑，反复推敲，查阅资料，经过热烈的讨论，结果仍然按照新课标的理念、新课标的要求和教材的编排特征来处理教材，特别强调只要把极坐标的相关概念弄清楚，让学生亲历简单曲线的极坐标方程的求解过程，并依据学生自身的学习情况，适当地进行拓展，必然会收到很好的教学效果.最终依据新课标进行了备课、上课，没有简单地按照高考指挥棒来进行教学.

三、课前分析与反思

教师教学用书中表明用2个课时完成“简单曲线的极坐标方程”的教学.基于前面的困惑，再加上中等偏弱的学生（张家川县第一中学学生）较多，而课堂教学时间分配只有2个课时，如何把握这节课的教学？再通过对比新课标与以前教材对极坐标方程的目标要求，寻求解决问题的处理办法.

1.极坐标方程教学目标解读

极坐标系是人教A版《数学》（选修4-4）的重要内容，教材采用比较大的篇幅从好几个不同的角度引导学生学习，并用“思考”、“探究”等栏目强化对直线、圆的方程讨论，这些足以说明“简单曲线的极坐标方程”学习过程的重要性.

课标要求：掌握极坐标方程的意义；能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程；通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.

新课标将简单曲线的极坐标方程教学定位，要求深刻领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法，掌握极坐标方程的意义和掌握一些特殊位置下的圆、直线（如过极点或垂直于极轴的直线）的极坐标方程.结合数学实例培养学生的归纳类比推理能力，培养学生的逻辑推理能力.在观察、探索、发现的创造性过程中，培养创新意识、辨析能力及良好的思维品质.

教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法.（第1课时的重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程，如何从圆的极坐标方程得出圆心和半径）

教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解.（第1课时的难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程，如何解决有关圆的极坐标方程的问题）

教学方法：启发、引导，合作交流.

数学选修能够拓展学生的数学知识领域，增加数学知识的广度、提升数学知识的深度，学习时力求在轻松的氛围中进行，给予学生无限的思考时间，让学生体验丰富多彩的数学世界，形成优良的数学思维品质.

选修部分具有很好的拓展性和趣味性，能够真正地满足不同思维层次的学生需求，在数学拓展层面体会数学的简洁美、内在美，充分凸显数学智慧魅力，尽可能地让数学解题作用极大地发挥出来，尤其在数学知识拓展与延伸、思想方法的提炼与应用、思维方式的训练与培养上下功夫.

2.极坐标方程在教材的位置

坐标系是解析几何的基础，在坐标系中用有序实数对确定点的位置，再采用代数方程的方式来刻画图形.课标教材中的极坐标方程是集中设计编写的，在人教A版《数学》（选修4-4）第一讲“坐标系”第二节“简单曲线的极坐标方程”重点处理，是本模块的重点内容，安排2个课时，通过坐标系的学习，了解曲线的多元化表示形式，有利于学生探究数学问题能力的提高.对柱坐标系、球坐标系等坐标系只是简单的介绍，让学生借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）简单了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法即可，并且能够与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法作比较，体会它们的区别.

教材一共安排3道涉及圆、直线的极坐标方程的例题，目的就是为了更好地突出坐标系下如何求圆、直线坐标系方程提供了很好的素材，同时也设置了两个探究栏和一个思考栏，目的就是让学生通过例1明白极坐标方程的基本求法和亲历依据数学问题的几何特征建立适当的坐标系，说明曲线极坐标方程的简捷美；例2借助特殊位置（垂直于极轴）的直线的极坐标方程求法，总结坐标系下求曲线方程的基本步骤：画草图—设点的极坐标—连接极径—借助几何性质，列出极坐标方程—检验确认；例3给出一般形式的直线的极坐标方程.由此可见，教材的安排完全是在学生已有知识的“最近发展区”处理例题和选题的，既体现出数学的严谨性，又充分显示了安排的合理性.教材“思考”栏的目的是利用同一直线在不同的坐标系下的方程，感悟选择坐标系对曲线方程求解的重要性和思维的简捷性.

3.极坐标方程在认知、能力上的要求

从数学知识的认知情境看：极坐标系是重点内容，是用距离和方位刻画点的位置的方法.掌握极坐标与直角坐标的互化，从直线、圆的极坐标方程与其直角坐标方程的关系，理解和认识极坐标系下曲线方程的结构特征、几何意义，深刻思考曲线的几何特征与适当坐标系选择的简捷性、合理性和解法优化的必要性.

圆的几何特征：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径r，只要将圆心放在极点，圆的极坐标方程是ρ=r，方程简洁到了极致.

教材P12“探究”栏的目的是求圆心在极点，半径为a的圆的极坐标方程时，引导学生类比直角坐标系下求圆的方程的工程，先作出图形，再根据几何条件建立关于极径与极角之间的关系式（方程），注意设某一点M（ρ，θ）为圆上除点O、A以外的任意一点后，“记住”将点M与极点O一定连接，一方面提醒ρ、θ关系模式的建立，另一方面有利于发现相应的几何关系，再借助这种几何关系容易建立曲线的方程.

教材P13“探究”栏的目的是在求过极点的直线极坐标方程时，只能用相应的两条射线方程“组合”或“整合”表示，形式分散不统一，为了从认识上消除差异就要考虑：允许极径的取值范围为全体实数，这就要求直线的极坐标方程不仅考虑极径的取值范围，而且其方程是不唯一的.增大了学生对极坐标方程理解的难度，其根本是极角的“多值性”所导致.

只有让学生弄清坐标系下点的极坐标表示和极坐标刻画点的位置的思想方法，才能够深层次地清楚极坐标方程是曲线的一种表征方式.在备课时抓住学生已学内容：在直角坐标系的思想方法和点线的坐标表示，力求教学时做到自然的、有序的和高效的类比与迁移，让极坐标方程的学习迁移类比，同时让学生知道柱坐标系、球坐标系的几种坐标系及其表示点的思想方法，有利于极坐标方程的设计和整体的认识、恰当的定位.

4.学情分析与学法处理

处在高二年龄阶段的学生，思维超越了经验性逻辑判断，一定程度上仍有依赖直观具体的形象性材料来理解抽象的概念或逻辑关系.极坐标系的学习可以借助石子投入静水中引起的涟漪圆圈（也可以将极坐标系通过比较完美的蜘蛛网来引入）来形象比喻，将静水中的树叶的位置描述或确定，这样的引入符合学生的认知规律，再抽象出极坐标系的建立，符合学生由具体到抽象的认知规律.

直观形象的比喻有利于极坐标系的建立和极坐标思想的形成，学生在学习时不会感到茫然，通过蜘蛛能够迅速地捕捉食物的故事，如何确定食物的位置，来激发学生对极坐标表示的位置进行探究，有助于对极坐标系的含义、思想的进一步认识和理解.

四、教学片断回放，解惑

通过直角坐标系的建立可以描述点的位置，理解极坐标也有同样的作用，让学生明白直角坐标系的建立可以求曲线方程的理解，探究极坐标系的建立是否可以求曲线方程？直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义.

师：请大家回顾以前在直角坐标系中求曲线方程的思想方法，结合上节极坐标系的建立和点的位置的确定，类比在极坐标系中，也可以求曲线的极坐标方程，寻找极坐标系中的动点对应的极径和极角之间的关系式就是极坐标方程.下面各小组探究圆的极坐标方程：

师：如图1，在极坐标系下，半径为a的圆的圆心坐标为C（a，0）（a>0），你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标M（ρ，θ）满足的条件吗？

设计意图：让学生进行观察、思考，教师引导，回顾直角坐标系下求曲线方程的思想、方法和解题经验，引出本节的课题，并给出极坐标下的极坐标方程的概念，并进一步探究特殊位置的圆的极坐标方程.强调极坐标方程的含义，依据学生所学求曲线方程的知识进行小组合作解决相应问题，落实极坐标方程从学生的亲历中获得.

生1：（黑板演算）根据题意，连接AM，点M是除点A外的圆上一点，则AM⊥OM，在Rt△OMA中，|OM|=|OA|· cos∠AOM，即ρ=2acosθ.验证点）和A（2a，0）也满足上述极坐标方程，故圆上任意一点的极坐标M（ρ，θ）满足的条件是：ρ=2acosθ.

生2：（黑板演算）根据题意，如图2，过圆心C作OM的垂线，垂足为N，由圆的垂径定理得，ρ，在Rt△OCN中，根据三角函数得，即得满足条件的圆的极坐标方程ρ=2acos.验证点）和（2a，0）也满足上述极坐标方程，故圆上任意一点的极坐标M（ρ，θ）满足的条件是：ρ=2acosθ.

生3：（黑板演算）根据题意，如图3，连接CM，在△COM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|·cos∠COM，化简即得ρ=2acosθ.验证点和A（2a， 0）也满足上述极坐标方程，故圆上任意一点的极坐标M（ρ，θ）满足的条件是：ρ=2acosθ.

生4：（黑板演算）根据题意，如图3，连接CM，在△COM中，由正弦定理得化简即得ρ= 2acosθ.验证点）和A（2a，0）也满足上述极坐标方程，故圆上任意一点的极坐标M（ρ，θ）满足的条件是：ρ= 2acosθ.

师：大家找到的ρ=2acosθ就是满足上述条件的圆的极坐标方程.

给出了极坐标方程的定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）=0，并且坐标适合方程f（ρ，θ）=0的点都在曲线C上，那么方程f（ρ，θ）=0叫做曲线C的极坐标方程.

请同学们解决下面给出的问题：

（1）已知圆的半径为r，如何建立极坐标系，可以得到圆的极坐标方程最简单？

（3）在极坐标系下，半径为a的圆的圆心坐标为C（a，π）（a>0），求圆的极坐标方程.

（4）在极坐标系下，半径为r的圆的圆心坐标为C（a，α）（a>0，0≤α＜2π），求圆的极坐标方程.

生5：在直角坐标系中，圆心设置在直角坐标系的原点时，半径为r的圆的方程：x2+y2=r2是最简单的；类比迁移到极坐标系中，将圆心也放置在极坐标系的极点，此时圆上任意一点M（ρ，θ），满足|OM|=r，即得ρ=r，因此第（1）小问圆的极坐标方程为ρ=r.

师：（追问）解决第（1）小问的关键是什么？对于极点在圆心，半径为r的圆的极坐标方程：ρ=r如何理解？

生5：解决第（1）小问的关键是根据问题的几何特征建立适当的极坐标系，才能使圆的极坐标方程最简单.根据圆的几何特征将极点设置在圆心，半径为r的圆的极坐标方程（ρ=r）是最简单的，其方程的真实意义是：极径ρ是定值，极角θ是任意的实数，完全凸显了圆的定义内容.

师：生5回答的很好，进一步说明了圆的几何特征：圆上任意一点到圆心的距离都等于r.下面请几位同学回答后面几道小题.

生6：根据大家探究问题的方法，设圆上任意一点M（ρ，θ），分类讨论：当O、C、M三点不共线时，在△OCM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|· cos∠COM，化简得当O、C、M三点共线时，点M（0，0）或）满足上述极坐标关系式，故得第（2）小问圆的极坐标方程为同理可得第（3）小问圆的极坐标方程为ρ=2acos（π-θ）.我将第（2）、（3）小问与探究问题整体思考，总觉得它们之间有一种联系，好像是能够用一个方程模式来表示，但我没有找到，很遗憾！

生7：（爱动脑筋的生7举了二次手，急得不耐烦，笔者示意回答）我们一组早就解决问题（2）、（3）、（4）了，而且也弄清了它们之间的关系.我先将第（4）小问的解答思路叙述一下：如图4，设圆上任意一点M（ρ，θ），连接CM，当O、C、M三点不共线时，在△OCM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|cos∠COM，化简得极坐标关系式ρ2=r2-a2+2aρcos（α-θ）.当O、C、M三点共线时，点M（a-r，α）或M（a+r，α）满足上述极坐标关系式，因此得圆的极坐标方程ρ2=r2-a2+2aρcos（α-θ）.

其中第（2）、（3）小问和探究问题都是上述圆的极坐标方程的特例.对于第（2）小问，圆心）（a>0），半径为a，则将上述方程中的α、r用和a替换，即得ρ=2acos）.对于第（3）小问，圆心C（a，π）（a>0），半径为a，则将上述方程中的α、r用π和a替换，即得ρ= 2acos（π-θ）.这就说明第（4）小问就是圆在极坐标系下的一般方程.

生8：（生8忽然站起来）老师，我找到了第（2）、（3）小问和探究问题的关系：这三个圆的圆心所在的位置在以极点为圆心，半径为a的圆上，也可以说这三个圆是半径为a且经过极点的动圆在几个特殊位置的情况.

师：如何根据条件列出圆的极坐标方程问题基本解决了，请大家将例题所涉及的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程.

生9：我对第（1）、（2）、（3）小问的极坐标方程进行等价变形：极坐标方程两边用ρ去乘、化简，再通过极坐标与直角坐标的关系，得到第（1）、（2）、（3）小问的普通方程分别为x2+y2=r2、x2+（y-a）2=a2、（x+a）2+y2=a2.第（4）小问没有化简出来.

教师在教室巡视时，对部分巡视引导、点拨，学生能积极应对互化较好地模仿操作，部分小组的学生答案不同时，自己寻找解决问题的原因、方法.

生10：（举手）第（4）小问的极坐标方程化为普通方程：（x-acosα）2+（y-asinα）2=r2，表明圆心为（acosα，asinα），半径为r的圆.（回答后学生用掌声赞扬）

师：将极坐标方程转化为直角坐标方程（普通方程）需要注意什么？

生9：老师我来说，首先明确两种坐标转化的条件：极点与直角坐标系原点重合；极径与直角坐标系的横轴的非负半轴重合；两种坐标系的单位长度相同；再考虑转化时检验极点是否在曲线上，若在曲线上就是等价变形，否则不是等价变形.

师：说得好！极坐标系和直角坐标系都是一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具.有时根据需要进行两种坐标系转化，必须掌握这两种坐标间的互化，注意互化公式和等价变形.将另一问题：如何从圆的极坐标方程中得出圆心和半径留到课外，请大家思考？

……

五、教学反思

虽然极坐标教学过程中，产生了不少的困难、疑惑，但面对县区学生、新教材、新课程和高考，一定要群策群力，想办法解决问题.按照新课标、教材对坐标系的定位，只要精心设计教学，从学生的已有知识最近发展区入手，消除了对新课标教材安排的种种困惑（如个别教师只介绍两种坐标系的互化公式，能够做一些简单地将极坐标方程与直角坐标方程公式互化的套用，没有一点极坐标系的建系思想和方法），以此总结抛砖引玉，唤起同仁对新课标教材整体编排的思考.

1.突出极坐标原理，掌握极坐标教学的重点

要想很好地解决困惑，一定要明确极坐标的教学在数学教学中的地位和作用，抓住极坐标是什么，要解决什么.极坐标是选修部分的内容，是表示空间点位置的一种方式方法，自然合理地从一个层面架起了代数与几何沟通的桥梁，采用代数方法来刻画几何问题是极坐标的精髓，其鲜明的概括性、解决问题的指向性、应用的广泛性和操作的具体性闪亮凸显.

教学时要重点突出极坐标思想、原理，以教材提供的资源着重演绎极坐标思想方法，认真落实教材编排的意图和目的，极力渗透新课标理念，让教材编写专家的编写思路得到更好的体现.尤其能够在农村县区中学的学生更加深刻地理解不同坐标系的建立思想、方法，对解决数学问题的作用和价值，如对不同坐标系（直角坐标系、极坐标系）下的圆的方程有什么认识.

2.注重极坐标思路，突破极坐标教学的难点

选修模块既为高考命题增加了素材，又为高考题的创新提供了背景和数学思想，教学时要研究高考试题，明确考纲中的重点和常考点，在教学和复习时做到位.同时要高度重视和关注极坐标知识会与其他数学模块结合，形成高考命题的生长点，这就是教学的难点，如极坐标中的极坐标原理、思路和结构特征的表现是重中之重，都是以（ρ，θ）的结构形式表现出来.只有明确几何意义，才能更好地理解极坐标概念，掌握极坐标的应用.

3.强化极坐标思想，拓展学生的多元思维空间

《标准》既是编写教材的依据，又是考试命题的依据.学习极坐标一节时，要充分体现出平面内对点位置的确定有许多方法，让学生从不同的视角进一步地探究点线面的空间位置表示，拓宽思维空间和深度，让极坐标的教学成为学生研究数学的敲门砖，围绕学生的发展将难点分散，采取有效手段突破难点，在极坐标知识的层次性、相关性和系统性的基础上探究数学本质.

1.普通高中课程标准实验教科书·数学选修4-4（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.宫前长.对称朴实见奇异内蕴深厚显品位［J］.中学数学（上），2013（3）.

3.宫前长.磨课“磨”出更理性的数学课堂［J］.中国数学教育（高中版），2012（11）.

4.宫前长.“e”样的背景异样的精彩［J］.中学数学（上），2014（9）.F