对“同类”高考试题的解析与思考

☉江苏省如皋市搬经中学 丁美琴

对“同类”高考试题的解析与思考

☉江苏省如皋市搬经中学 丁美琴

高考试题是命题人精心设计、匠心独运的结果，研究高考试题不仅可以探寻试题本身的奥妙，而且还可推测命题人的设计意图和命题取向，从而为高考复习提供导航.然而数学试题浩如烟海，盲目做题既耗时又效率不高，因此同型归类是研究高考试题的有效途径.笔者在探究高考试题中含参绝对值函数的最值问题时发现，浙江省从2012年至今，连续四年的高考解答题中都出现了含参绝对值函数的身影，这一现象让笔者大为震惊！是命题人不约而同的巧合，还是情有独钟的凸显？当然，巧合也好，凸显也罢，此现象已足让人感到：浙江省的高考函数命题中似乎洋溢着一种挥不去的绝对值情结.这一命题的趋势引发了笔者的好奇——为何这类问题能引起命题人如此频频的关注？它们究竟有何“亮点”和奥秘？带着上述疑问，笔者决定一探究竟.

一、考题再现

题1（2015年浙江卷（理）第18题）已知函数f（x）= x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是函数|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.

题2（2014年浙江卷（理）第22题）已知函数f（x）= x3+3|x-a|（a∈R）.

（1）若f（x）在［-1，1］上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）设b∈R，若［f（x）+b］2≤4对x∈［-1，1］恒成立，求3a+b的取值范围.

题3（2013年浙江卷（理）第22题）已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当x∈［0，2］时，求|f（x）|的最大值.

题4（2012年浙江卷（理）第22题）已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）证明：当0≤x≤1.

①函数f（x）的最大值为|2a-b|+a；

②f（x）+|2a-b|+a≥0.

（2）若|f（x）|≤1对x∈［0，1］恒成立，求a+b的取值范围.

二、试题特征

不难看出，上述四题中的函数及其研究对象都带有一定的同型特征：（1）四题都涉及函数y=|f（x）|在闭区间内的最大值问题（题2中的［f（x）+b］2≤4恒成立，即|f（x）+ b|max≤2）；（2）题2还涉及另一类带局部绝对值的函数y= f（x）+（kx+b）|x-a|；（3）函数中都带有参数；（4）题1、2、4中函数都涉及两个参数a、b，且都考查z=h（a，b）的最值或范围问题；（5）题1、2、4还都涉及不等式恒成立问题.以上诸多的“雷同”，足以体现命题人对此类问题的格外“垂青”，那么这类问题究竟有何玄机？它到底想考查学生些什么？

我们知道，含参函数在闭区间内的最值问题大多需要进行分类讨论，而被“植入”绝对值之后的函数（单调性骤然变的复杂）就更是如此，因此“分类讨论思想”是这类试题承载的考查功能之一.分类讨论通常针对参数a、b展开，这样就会得到关于a、b的一些不等式，这些不等式显然就是关于参数a、b的约束条件，在直角坐标系aOb下，画出动点（a，b）的可行域，如此即可用线性规划求出参数函数z=h（a，b）的最值或范围.因此“数形结合思想”是这类试题承担的考查功能之二.恒成立不等式中的参数范围问题，通常转化为函数最值问题，但函数的最值是必须明确求出，还是只要知道可能出现在哪几个中就可以了？因此“化归与转化思想”是此类试题担负的考查功能之三.由此可见，这类试题能较好地考查学生对高中数学中重要数学思想的理解和应用，是甄别学生数学素养的良好载体，这也许就是它备受瞩目的原因之一吧.当然，数学思想本身也是解决问题的方法，而高考题对方法的考查向来入口较宽，很少有“自古华山一条道”现象.那么，对于上述两类含参绝对值函数在闭区间内的最值问题，除了分类讨论，是否还有其他途径？

三、试题解析

浙江省自2015年开始，导数内容退出了150分的考查范围（仅在模块中出现），因此笔者下面仅以衔接年份的题2和题1为例进行解析，限于篇幅仅考虑其第一问.为展示不同方法，题2用分类讨论法，题1用回避讨论策略.

（1）当a≤-1时，易知f（x）在［-1，1］上单调递增，所以M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

（2）当-1

当a≥1时，易知f（x）在［-1，1］上单调递减，所以M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，故此时M（a）-m（a）=4.

综上，M（a）-m（a）=

评注：对局部绝对值函数y=f（x）+（kx+b）|x-a|而言，分段求导之后的分类讨论往往会让多数学生感到困惑甚至难以下手，原因是：（1）虽然上下两段各自的单调性容易看出，但两段的“界点”a与下段函数的极值点±1的大小关系未知；（2）虽然函数的自然定义域为R，但其求最值的实际定义区间为［-1，1］，因此最终要考虑函数在［-1，1］内的单调性（好在定义区间的端点恰好为极值点，这降低了讨论的难度）.那么该如何划分讨论段？其实影响函数最值的是单调性，而影响单调性的是极值点，因此只要考虑极值点是否在其定义区间之内.1与-1是确定的极值点，而“界点”a也可能是极值点，因此，我们只需将极值点±1、“界点”a、区间端点±1进行大小排序，如此即可快速理清分类讨论的线索（即a≤-1、-11），然后分别作图，观察其在［-1，1］内的图像，即可求其最值.

评注：对整体型二次绝对值函数g（x）=|cx2+ax+b|（c> 0，a，b∈R）而言，它在对称区间［-m，m］（m>0）内的最大值，通常是要像题1那样进行分类讨论，而上述解法之所以可以回避讨论，缘于有如下性质的支撑.性质1：“V型”函数（左减右增）在闭区间内的最大值仅在区间端点处取得；“W型”函数（减增交替2次）在闭区间内的最大值在区间端点或极大值点处取得.性质2：max{|a+b|，|a-b|}= |a|+|b|（a，b∈R）.而这些性质的正确性都是显而易见的.事实上，题1是一道很有“背景”的试题，通过它可以引申出更为一般的最值性质，从而彻底解决此类二次绝对值函数在闭区间上的最大值（当二次项系数为负数时，同理可解决其最小值）问题，并且无需进行分类讨论.

四、题1引申

引申1：已知函数f（x）=cx2+ax+b（c>0，a，b∈R），记M（a，b，c）是|f（x）|在区间［-m，m］（m>0）上的最大值，则当|a|≥2cm时，M（a，b，c）=|cm2+b|+|am|；当|a|<2cm时，M（a，b）=max

证明：当|a|≥2cm时，函数f（x）对称轴（极大值点）的绝对值，所以|（fx）|为“V型”函数，故由性质1知，M（a，b，c）=max{|f（m）|，|f（-m）|}.因为|f（m）|= |（cm2+b）+am|，|f（-m）|=|（cm2+b）-am|，所以由性质2知，M（a，b，c）=|cm2+b|+|am|得证；当|a|<2cm时所以|f（x）|为“W型”函数，故由性质1知，M（a，b，c）= max，由于max{|f（m）|， |f（-m）|}=|cm2+b|+|am|已然获证，所以M（a，b）= max得证.

若将函数一般化，还可得到如下引申：

引申2：已知函数f（x）=s（x）+t（x）（其中s（x）为偶函数，t（x）为奇函数），记M为|f（x）|在区间［-m，m］（m>0）上的最大值，则当|f（x）|为“V型”函数时，M=|s（m）|+|t（m）|；当|f（x）|为“W型”函数时，M=max{|s（m）|+|t（m）|，|f（x0）|}（其中x0为|f（x）|的极大值点）.

证明：当|f（x）|为“V型”函数时，由性质1知，M= max{|f（m）|，|f（-m）|}，因为|f（m）|=|s（m）+t（m）|，|f（-m）|= |s（-m）+t（-m）|=|s（m）-t（m）|，所以由性质2知，M=|s（m）|+ |t（m）|得证.

当|f（x）|为“W型”函数时，由性质1知，M= max{max{|f（m）|，|f（-m）|}，|f（x0）|}，由于max{|f（m）|，|f（-m）|} =|s（m）|+|t（m）|已然获证，所以M=max{|s（m）|+|t（m）|，|f（x0）|}，得证.

说明：引申2告诉我们，函数y=|f（x）|在对称区间内的最值问题，已不再局限于f（x）为二次函数情形，只要构成f（x）的函数为奇函数或偶函数（不能非奇非偶），且y= |f（x）|为“V型”、“W型”函数，均可使性质成立.然而美中不足的是引申1、2只能解决函数在对称区间内的最值问题，倘若不是对称区间，则它们都将难有作为.是否有变通之策？

引申3：函数f（x）在［p，q］（p

说明：引申3的正确性是显而易见的，因为其本质就是函数求值域时的“换元法”.从图像上看，的图像可由y=（fx）的图像沿水平向量平移而得到，所以它们的值域一致.通过引申3，可将一函数在非对称区间内的最值问题，等价转化为另一函数在对称区间内进行求解，从而实现了函数区间的“大挪移”.

上述引申在题1基础上步步为营、不断“升级”：先将二次型推广到任意的“V型”、“W型”，再将对称区间拓广到任意的闭区间，从而彻底解决此类绝对值函数在闭区间上的最值问题，并从此摆脱分类讨论的桎梏.由此可见题1的“非同寻常”，而这也许是这类问题备受瞩目的另一原因吧.

五、命题启示

浙江省连续四年高考出现绝对值函数试题（压轴），这一现象虽然罕见，但也并非不合情理（历年各省的高考题中都有不同程度的呈现）：（1）此类问题借绝对值函数为载体，能充分考查函数的性质、图像及导数知识的应用，考查灵活运用分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法进行探索、分析与解决问题的能力；（2）此类问题充分展示了“动态数学”的魅力——图像、单调性变化不定，能考查学生在陌生情境中自我探索、独立分析的能力，以及当问题变化不定时分层出击、化难为易、化整为零、各个击破的能力.如此看来，命题人的“情有独钟”也就不足为奇.至于这一情结是否还会延续？这值得备考师生的密切关注.但随着导数的退出，函数题想“出彩”已实属不易，这时绝对值函数的出现可谓适逢其时、应运而生，因此笔者猜测，相较其他省份，浙江省延续的可能性依然较大.

作为一线教师，研究高考试题，不仅要弄清问题的来龙去脉，还需预测命题的可能趋势，不仅要了解“命什么”，还要揣摩“为什么”，这样的研究才更有价值、更有意义，才能真正做到“悟其必然，品其真味”.

1.马文杰，罗增儒.2010年高考数学“绝对值函数问题”深度解析［J］.中学数学（上），2011（3）.F