关于数学问题2080题的探究

☉浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗

☉浙江省海盐县元济高级中学 马喜君

☉浙江省海盐县元济高级中学 曲峰

关于数学问题2080题的探究

☉浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗

☉浙江省海盐县元济高级中学 马喜君

☉浙江省海盐县元济高级中学 曲峰

《数学通报》2012年第9期数学问题第2080题：

正数a、b、c满足a+2b+3c≤abc，求5a+22b+c的最小值.

文1提供解答如下.

设S=5a+22b+c，则有：

将已知条件变形为：

（1）+（2），经整理后再由三元均值不等式放缩可得：

笔者研究此题差不多半年时间，想了很多方法，都没有成功.即使看到此题的供题人黄老师提供的答案，仍不得要领，一直揣摩（1）式、（3）式究竟是如何得到的.最近研读文2、文3，看到福建王淼生老师对（3）式的来历进行了深入的剖析，湖北杨先义老师对（1）式的来历进行了解释，并且给出另证.两位老师深厚的数学功底和执着的研究精神，令人佩服.引起笔者兴趣的是，虽然原解答在（1）式、（3）式的交代上让人看不清、摸不透，但是这种解法的确是简洁而又初等的，黄老师是如何想到的呢？条件中不等式左边a、b、c的系数呈现出一种数学美，待求式中a、b、c的系数有点儿“乱”，二者之间是否隐藏着什么规律？若规律存在，此问题又是否可作一般化推广？

王老师希望原作者将此题的构思、凑配、变形过程展现出来，一些关键性步骤给出详细的推理过程.笔者虽不是此题的作者，但对此问题进行了一番独立的研究后有些许发现，现将其整理成文，和各位同仁一起探讨.

此题是有一个约束条件的三元函数极值问题，考虑使用拉格朗日乘数法求解.

（Ⅱ）再求函数在边界a+2b+3c=abc上的可疑点，令拉格朗日函数为L（a，b，c，λ）=5a+22b+c+λ（a+2b+3cabc），其中λ是拉格朗日乘数.

令La′=Lb′=Lc′=Lλ′=0，即：

当λ=1时，a=4，b=1，c=6，从而S=5a+22b+c有最小值48.

三元函数问题可转化为空间中的曲线、曲面问题，可挖掘此问题的几何意义.条件式表示的是空间直角坐标系下曲面Q1：a+2b+3c=abc和三个平面xOy、yOz、zOx在第一象限所围成的区域，目标函数S= 5a+22b+c表示平面Q2，当曲面Q1与平面Q2恰好相切时，目标函数S=5a+22b+c有最小值.又所围成的区域不封闭，故S=5a+22b+c无最大值.

原解答（1）式中S除以24的目的是为了后面使用均值不等式，而（3）之所以对进行如此分解，是根据均值不等式的取等条件配凑的，这下终于揭开了原解答（1）式、（3）式的神秘面纱.其之所以神秘，就在于命题人较解题者提前知道了不等式取等时a、b、c的取值，根据均值不等式取等条件合理配凑.为了保持答案的简洁与初等，黄老师在解答上略去了不等式取等时a、b、c的取值来历这一重要步骤，故读者看到解答后仍云里雾里.

在以上利用均值不等式求解待求因式的最小值过程中，发现待求式a、b、c的系数受条件a、b、c取值的影响.不定方程a+2b+3c=abc有无数组正实数解，当a、b、c的取值发生变化时，待求式a、b、c的系数有何变化呢？

文3深入研究了不定方程a+2b+3c=abc，此处不妨取其中一组解a=8，b=1，c=2探究.根据以上思路，当a=8，b= 1时，即对配凑，有；当b=1，c=2时，当c=2，a=8时

由以上分析过程，立即可以“造出”类似不等式问题：若正数a、b、c满足a+2b+3c≤abc，求a+14b+5c的最小值.

为进一步分析不定方程a+2b+3c=abc的正实数解与待求式a、b、c的系数的关系，研究更一般的情况.

正数a、b、c满足pa+qb+rc=abc，其中p、q、r是正常数.若此方程有一组解a=x，b=y，c=z，则三式相加，则

将其整理，即得到以下结论.

结论1：若正数a、b、c分别为x、y、z时，pa+qb+rc≤abc的等号成立，其中p、q、r是正常数，则

当p=1，q=2，r=3，方程a+2b+3c=abc取解a=4，b=1，c= 6时，即为以上2080号数学问题.

已知正数a、b、c满足2a+4b+7c≤2abc，求a+b+c的最小值.

进一步推广，还可以得到下面的结论.

结论2：若正数a、b、c分别为x、y、z时，pa+qb+rc≤abc的等号成立，其中p、q、r是正常数，n∈N*，则≥（n+2）（px+qy+rz）-nxyz.

此结论的证明，留给感兴趣的读者.

从上面的分析可知，在已知等号成立的前提下利用均值不等式配凑求解此类不等式，过程简洁，形式优美.根据文1中的解答，笔者猜测黄老师的命题思路即源自于此.此题的难点在于不等式取等时a、b、c的取值.故在a、b、c取值未知的情况下，即使黄老师给出了解答，但（1）、（3）式的出现让读者感到突然，犹如魔术师的帽子中跑出一只兔子来.在以上求解过程中，我们借助高等数学中的拉格朗日乘数法确定不等式取等时a、b、c的取值后，再回过头看文1的解答，也就不足为奇了.

1.黄兆麟.数学问题解答2080［J］.数学通报，2012（9）.

2.王淼生.追寻数学问题2080解答的本来面目［J］.数学通报，2013（11）.

3.杨先义.也谈数学问题2080题的解答［J］.数学通讯（教师版），2014（11）.

4.李歆.均值不等式的变式探究及其应用［J］.中学数学（上），2013（9）.A