浅谈数学教学中边缘知识的重要性

☉江苏省南通市天星湖中学 王海彬

浅谈数学教学中边缘知识的重要性

☉江苏省南通市天星湖中学 王海彬

高中数学知识可以分为两部分，其中一部分是受高考应试重视的核心知识，诸如函数最值、三大性质、向量数量积、立体几何的角和距离等；另一部分知识往往不太显山露水，但是却默默为核心知识提供着保障，诸如集合论中的知识、利用空间向量解决立体几何问题中的坐标系选择合理与否、三角函数线等，这些知识却又无法缺失，笔者将其称之为边缘知识．

从教学的实际情形来看，教师往往对于核心知识存在着反复讲、重点讲、天天讲，但是对于那些服务于核心知识的边缘知识却往往不闻不问，时不时在应试中造成学生失分．北京十二中数学特级教师孙维刚说过：对于学生学习数学知识，首先要手把手教会其紧紧抓住基本知识的一些细节，在这些知识中有些尽管不是考试的重点（即本文所叙述的边缘知识），但是其对于后续知识的学习，以及学生的学习能力、学习态度、情感价值观等都有着重要的培养．因此，笔者认为教学既要重视核心知识，也要关注边缘知识．

一、边缘知识重要性

边缘知识在数学中暂时未有这样的名称，笔者借助物理学中的名称来代指数学中那些既服务于核心知识却又处在不显山露水地位的知识，因此给出了这样的界定．在大量研究中对于数学基础知识的重要性已经分析得相当完备，对于我国中学数学教学的基本知识和基本技能都有了长足的研究，在笔者看来，这些基础知识和技能中有很多是边缘知识，华师大张奠宙教授对于重要的基本知识常常这样感慨：现在的中学教学提倡新课程，提倡学生努力自主发掘知识，这些都没有错．但是不要忘了，有些基本知识本身形成的过程长达几十年甚至上百年，用区区四十五钟的课堂去让学生挖掘知识的形成根本是痴人说梦话．因此，有些知识教师该怎么传授还是要怎么传授，并且要特别注重那些在应试中作为给核心知识做铺垫的基础知识（即本文所提出的概念——边缘知识）．张教授的最后一句话应特别重视，让我们看到了对于边缘知识教学必须重视的依据．其重要性体现在哪几个方面呢？笔者认为：

（1）首先，本文所叙述的边缘知识介于基础知识和核心知识之间，这些知识是核心知识考查过程中必备的基本知识，没有这一类边缘知识无法顺利进行下一步的分析、演算，比如：用空间向量解决立体几何中的问题，首先必须建立正确的空间坐标系，坐标系的建立正体现边缘知识的重要性.

（2）其次，有助于学生稳定应试的基本分数．基础知识和边缘知识属于应试的基本分数，牢牢抓住这些分数有助于学生应试有基本保障.

（3）最后，对于边缘知识的掌握熟悉更有助学生学习知识的全面性，只有将知识学习全面和扎实稳固，才能对后续更复杂的知识有学习的潜力．

二、边缘知识教学实施

笔者以空间向量解决立体几何问题中的边缘知识为例，谈谈如何实施这一边缘知识．我们知道，立体几何引入空间向量之后，随之而来的各种垂直、平行证明，以及角或距离的求解，都演变成一种代数运算．用吴文俊大师的话说：数学机械化（即代数化）是一种趋势，用代数的方法解决以前很难的几何问题，成为流行，向量是一个很好的工具，除此之外我实在想不出有什么比代数化更好的方法．吴大师的话其实暗示了立体几何问题解决的一脉相承性、雷同性，因此解决几何问题也就转变成了解决代数问题．对于立体几何而言，代数化的最主要边缘知识正是如何建立空间坐标系．

（一）空间向量坐标系选择的实施

1.常规几何体的选择

常规几何体诸如正方体、长方体、正棱柱、正棱锥等，通过这些几何体来建构坐标系一般较为容易，往往教学中一笔带过．

例1如图1所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．求A1B与平面ABD所成角的余弦值．

解析：如图1所示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A1（2a，0，2），E（a，a，1），G）.因为所以因为为平面ABD的法向量，且co．所以A1B与平面ABD所成角的余弦值是

说明：可以发现，本题的几何体模型是正规的直棱柱，且底面三角形是直角三角形，因此对于教学而言建系并非难点，值得注意的是指导学生了解重心条件在向量中是如何使用的．

2.非常规几何体的选择

空间向量引入立体几何之后，对于立体几何问题而言，相比以往传统来得容易些，学会向量的代数化运算成为解决问题的关键．但是有些几何体模型存在着建系的困扰，这个步骤无法合理建立导致无法使用空间向量解决问题，因此非常规几何体值得我们更多的思考，值得加强此类边缘知识的教学．

例2如图2，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积为

（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；

（2）求点D到平面PBG的距离；

（2）平面PBG的单位法向量n0＝（0，±1，0），因为，∠CGD＝45°，所以所以点D到平面PBG的距离为．设F（0，y， z），则＝（0，y，z）-）＝．因为，所以0，所以）·（0，2，0）＝2）＝0，所以在平面PGC内作FM⊥GC，M为垂足，则所以

说明：本题是非正棱锥的建系，考虑到在位置G处存在线面垂直关系，以及下底面中的线线垂直关系，因此选择该处建立空间直角坐标系比较合适．笔者用本题进行随堂测试，发现部分学生对于原点的选择并不清晰，其无法将坐标系清楚地建立起来．在坐标系的建立上，笔者认为上述两个例题所涉及的边缘知识是解决立体几何问题的初步关键，更有甚者我们也看到过坐标系建立更为夸张的方式，此处限于篇幅不再赘述．要掌握建系的边缘知识，最终是从线面垂直和线线垂直入手分析，对于此块边缘知识的熟练掌握有助于学生轻松解决立体几何问题．

（二）数列函数本质的认知

我们知道数列是一种特殊的函数，高考中对于数列的考查一般侧重于数列的基本知识，包括通项公式、求和公式，以及与数列相关的不等式，这些是数列的核心知识．对于数学最本质的知识，我们的学生了解反而很少，有时甚至根本不理解．以等差数列为例，笔者做过测试，很多学生在没有复习的前提下根本不知道等差数列的通项公式本质是一次函数的体现，对于等差数列求和公式是二次函数（必过原点）的函数本质认识则更是凤毛麟角．这些等差数列的边缘知识极大地丰富了学生解决某些数列问题时的高效性和简洁性，却一直不受重视．

例3（教材习题）等差数列{an}的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n．

解法一：设{an}的公差为d，则由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

解法二：设Sn=An2+Bn（n∈N*），则

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m．因为m≠n，所以A（m+n）+B=-1.

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）．

说明：解法一是本题的核心知识，我们知道学生必需掌握等差数列相关的求和公式运用及基本的化简，但是解法二所利用函数本质的边缘知识却凸显了等差数列前n项和的函数本质，利用其是必过原点的二次函数这一特性，轻松解决与之相关的问题．并且可以将类似的数列边缘知识进行合理的推广，等比数列我们知道其通项公式来源于指数函数模型，其求和所得到的关系式体现了一种特殊的函数，尽管用处不大，但对于我们认知数列本质，用其相关边缘知识解决问题有着极大的方便．

三、尾声

边缘知识莅临于一般基础知识之上，但与核心知识仍旧有一定的差距．但是边缘知识在解决问题过程中，却有着非常重要的作用．从案例中，我们认识到没有坐标系建立的合理性就无法快捷地解决立体几何问题，没有数列本质的研究就无法轻松地利用函数观点解决数列相关问题．从知识体系上说，坐标系的选择建立、函数化本质的思索并非是高考应试的核心热点问题，但是它却对我们继续数学学习提供了基本的保障．因此对于边缘知识，笔者认为：其一，要加强关注和细节上的把握，边缘知识并非像核心知识一样困难无法学习，但是不重视这些细节会致使学生患得患失，无法取得理想的成绩.其二，边缘知识还有哪些？这个在笔者看来，应该由教师进行把握和筛选，一般以本省高考内容为主的问题中进行合理的思考和寻找.最后，引导学生加强对边缘知识态度的认知和重视，只有重视边缘知识，才会有更细致的问题分析态度和解决态度，才会引导学生在解决复杂问题中更为重视那些边缘化的知识，笔者以自身浅显的一些认知以求读者更精细的渐渐见解．

1.朱永祥.谈数学知识的挖掘和运用［J］.中学数学（上），2012（2）.

2.肖凌戆.关注探究创新考查理性思维——基于数学创新意识的高考命题研究［J］.中国数学教育，2013（5）.

3.褚人统.数学高考难题破解与知识超常联系［J］.中国数学教育，2009（8）.F