一道质检题的命制过程、使用情况及教学反思

☉重庆育才中学 王历权

☉重庆育才中学 党忠良

☉重庆九龙坡区辰光学校 刘津

一道质检题的命制过程、使用情况及教学反思

☉重庆育才中学 王历权

☉重庆育才中学 党忠良

☉重庆九龙坡区辰光学校 刘津

一、原创题目

如图1，半径均为1的光滑圆形轨道圆O1、圆O2外切于点M，点H是直线O1O2与圆O2的交点，在圆形轨道圆O1、圆O2上各有一个运动质点P、Q同时分别从点M、H开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，若点P、Q运动的角速度之比为2∶1，则的最大值为______.

解析：以O1为圆心，O1O2为x轴，建立平面直角坐标系.

因为点P、Q分别运动的角速度之比为2∶1，所以当P转动角度为2θ时，点Q转动的角度为θ，因此P（cos2θ， sin2θ）、Q（2+cosθ，sinθ）

二、命制过程

1.灵感来源

在一次学生作业中有下面一道题目，学生完成情况不理想，大部分学生要求评讲，引起了笔者的注意，经查阅，该题目是2012年高考安徽理科的第8题.题目如下所示.

该问题以向量为背景，考查学生应用三角函数的定义、两角和与差的三角函数知识解决问题的能力，题目起点低落脚高，立意新颖.

2.不断改进

在随后的月考命题中，需要一道考查有关三角、向量知识的题目，且要求有一定的难度，笔者受此题启发，决定自创一道背景不同但考查知识与方法类似的题目检验学生学习上题的效果.

考虑到题目要考查学生建立直角坐标系用角度和点到原点的距离来表示点（向量）的坐标，因此选择圆为问题的背景，于是得到题目1.

题目1：如图2，在直角坐标系中，x轴上有一定点M（2，0），若动点P、Q在圆上运动且关于原点对称，求的值.

分析：不妨设P（cosθ，sinθ），则Q（cos（π+θ），sin（π+θ）），即Q（-cosθ， -sinθ）.因此=（cosθ-2，sinθ）·（-cosθ-2，-sinθ）= 3.

虽然题目将想考查的知识与方法基本覆盖，但是笔者觉得题目稍显简单，而且该题很容易用特殊值法得到答案，作为一道考题特别是填空题，不能很好地检测学生的学习情况，于是决定对其修改.

题目1中，由于点M（2，0）为定点，虽说点P、Q均为动点，但它们关于原点对称，本质上只有一个动点，因此笔者决定从增加动点个数入手对其改进，于是决定添加一个单位圆与圆O外切，得到题目2.

题目2：如图3，单位圆O1、O2外切于点M，点H是直线O1O2与圆O2的交点，在圆O1、O2上各有一个动点P、Q同时分别从点M、H开始逆时针绕圆运动，若点P、Q分别运动的速率之比为2∶1，求的最大值.

分析：该问题中，点P、Q分别在不同圆上运动，以学生熟悉的情景考查了坐标形式求解等知识与方法.

以O1为圆心，O1O2为x轴，建立平面直角坐标系，因为点P、Q分别运动的速率之比为2∶1，所以当P转动角度为2θ时，点Q转动的角度为θ，因此P（cos2θ，sin2θ）、Q（2+ cosθ，sinθ），所以（cos2θ，sin2θ）·（2+cosθ，sinθ）= 2cos2θ+cos2θcosθ+sin2θsinθ=2cos2θ+（cos2θcosθ+sin2θsinθ） =2cos2θ+cosθ=4cos2θ+cosθ-2，所以的最大值为3.

题目改进至此，笔者的思路被打开了，但对题目仍不满意，一方面是难度不符合要求，另一方面是感觉题目问题新颖度不够.在思索如何改进的过程中，笔者注意到问题2中所给图像跟火车曲柄极其相似，于是灵光一闪，为什么不计算动线段PQ的长度呢？经过尝试，笔者发现完全可行，且计算量不是太大，但也有一定的障碍.于是得到题目3.

题目3：如图3，单位圆O1、O2外切于点M，点H是直线O1O2与圆O2的交点，在圆O1、O2上各有一个动点P、Q同时分别从点M、H开始逆时针绕圆运动，若点P、Q分别运动的速率之比为2∶1，求|PQ|的最大值.

3.最终定稿

最后，笔者在如下方面做了微调.

首先，将两个外切的圆描述为两个光滑的圆形轨道，动点P、Q描述为运动质点，其运动方式描述为匀速圆周运动，目的是让数学问题以物理情景呈现，充分体现数学在其他学科内的广泛应用，为了更加跟物理知识衔接，在命制的过程中笔者还请教了物理教师以确保其准确规范.

其次，将“速率之比为2∶1”改为“角速度之比为2∶1”，这样做的目的是想提示学生以角度为突破口，用角度表示动点的坐标.

最后，为了顺带考查相关向量知识，将“求|PQ|的最大值”改为“求|的最大值”，即最终定稿.本题所考查的知识点有三角函数的定义、向量的加减法运算、两点间的距离公式、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式（逆用）、二倍角的余弦公式、换元法、二次函数在闭区间上的最值等，属于综合能力型问题.

三、使用情况

鉴于这道题目的综合性和难度系数，笔者将这道题放在填空题第三题（其后面是三选二选考内容），作为填空题目中有一定区分度的压轴题.

考后该题目受到了同教研组的老师们的高度评价，大家一致认为该题目综合性强，能力要求高，考查了学生应用所学的数学知识解决问题的能力，体现了数学的本质，另外题目以新颖的背景，特别是以理科生熟悉的物理背景呈现出来，充分体现了数学在其他学科中的基础地位.

学生完成的情况却令人大跌眼镜，笔者所在年级理科共1300余人，做对的却不过区区85人（即难度系数不足0.1），经过追踪统计调查，85位同学中，仍有21人在计算|PQ|的过程中没能辨认出cos2θcosθ+sin2θsinθ的结构特征，而是将二倍角的正、余弦全部用公式展开，这无疑大大增加了计算量.其他未做出或做错的学生中，出现结果为的约占37%，该答案是猜测得到的，认为当时，点Q正好运动到点H处，因此答案为，认为答案为4的约占22%，即∠MOP=π时，点Q位1于起始处，该答案纯属猜测，出现其他答案的占17%，未作答的约占18%.是什么原因导致这个看似不难的问题的正确率如此之低呢？全教研组的老师都陷入了沉思.

四、教学反思

首先，教师要不断反省课堂，结合在评讲2012年安徽高考题理科第8题时的教学回忆，笔者从章建跃教授的《中学课改的十个论题》一文中找到了答案.文中章教授指出“教完了”应以学生是否理解教学内容为标准，以学生是否达到课标规定的教学要求，特别是学生是否达到“数学双基”的理解和熟练水平为标准，而不是教师在课堂上有没有把内容讲完.

教学中要注意及时反馈学情，讲求针对性和实效性，没有信息反馈就没有控制，教学就是盲目的.学生学习的情况怎样，这需要教师给予恰当地评价，以深化学生已有的学习动机，矫正学习中的偏差.教师要注意从教学中的细节窥探学生的学习情况，既要注意课堂上的及时反馈，也要注意及时对作业、测试、活动等情况给予反馈.使反馈与评价相结合，充分发挥信息反馈的诊断作用、导向作用和激励作用，深化学生学习数学的动机.

其次，教师要不断反思日常教学，深化教学科研，改进方法，增添措施，做到勤教之，博学之，深研之，努力做学者型、专家型的教师.教师应注重纵横渗透，加强知识的综合整合，在教学中体现“教师主导、学生主体、思维主线、能力主旨和发展主流”的“五主”意识.教师应在写作状态下成长，通过写教学反思、原创题目等方式提升教师专业发展，促进有效教学.

最后，应努力体现数学的应用，加强数学与其他学科的交叉，促进发展学生应用数学的意识与能力.数学知识来源于生活又高于生活，教学中教师应努力体现数学在其他学科中的基础地位，创设丰富的情景，努力让数学生活化.

1.章建跃.中学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3）.

2.张昆，许晓天.基于能力立意的高考命题研究——数学高考复习教学设计的视角［J］.中学数学（上），2015（2）.

3.王历权，党忠良.对高三复习解题教学的几点思考［J］.中学数学（上），2015（3）.A