立足基础，客观灵活，突出能力——基于2015年高考上海数学试卷评析

☉上海市七宝中学 文卫星

立足基础，客观灵活，突出能力
——基于2015年高考上海数学试卷评析

☉上海市七宝中学 文卫星

2015年高考上海数学试卷部分题目较新，对数学思想方法考查也较全面，因总体计算量偏大，证明题偏多（有5小题），对代数推理的要求偏高，所以感觉难度比2014年大，理科尤甚，主要体现在解答题.学生感到“无从下手”或写了一串“不知对不对”.总体而言，试卷具有如下一些特点.

一、立足基础，知识点分布合理

填空题（14题）、选择题（4题）除少数2-3个具有压轴意义有点儿难，其余侧重基础知识和基本技能的考查，难度不大，但几乎每题都要算.计算能力是数学的首要能力，这样考查是合情合理的.知识点分布也相对合理，文科解答题依次是立体几何、函数的奇偶性和单调性、解三角形与二次函数应用题、解析几何、数列；理科解答题依次是立体几何、解三角形与二次函数应用题、解析几何、数列、函数综合应用.

文科能力题约占30分，比较合理，理科能力题约占40分，稍微有点儿多.这提醒我们在高三复习中仍要强调基础，强调知识的覆盖面，基本概念教学不能放松，不仅要学生听懂，更要求规范书写，马虎不得.

二、客观试题考查思维的灵活性

虽然客观试题整体难度比前两年小，但对思维灵活性的考查力度没有减小.比如，文、理科共同的第18题：设P（nxn，yn）是直线与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限

本题若采取直接推理（定量的方法）的方法，则容易掉进命题设置的陷阱，即直接解方程求交点坐标再求极限，即使求出坐标再求极限也非易事.若先对问题整体考虑，容易发现，再求极限只需将分子有理化，就会“化腐朽为神奇”.

因点P（nxn，yn）在圆x2+y2=2上，所以，即yn=.又点P（nxn，yn）在直线（n∈N*）上，而，因直线2x-y=1与圆x2+y2=2在第一象限的交点为（1，1），所以

以上解法虽然完整写出看似有点儿长，实际上只要解一个简单的方程组，至于分子有理化几乎可以口算.

本题压轴意图明显，但破解之道在于掌握恰当的思维方法，而非不讲策略地蛮干.这启发我们在带领学生复习时，要结合具体问题向学生传授思考问题的思维方法，而不是罗列各种策略（技巧）.因为思维方法可以应用于各种场合，形成能力，而离散的策略在复杂的新环境中一时很难找到用武之地.

再如文科第14题（理科第13题）：已知函数f（x）= sinx，若存在x1、x2、…、xm满足0≤x1

夏天想说：晓晓，你有什么都可以跟我说，你可以信任我，但是他终究不敢说出口。在叶晓晓面前，他的自卑更深更深，他的缺陷像一把剑一样刺在他的心口。“那好吧，你好就好。这是我的手机号，你有事可以给我打电话。有什么事情，可以想办法沟通啊……”

首先，考生要准确理解题意：正弦函数f（x）=sinx依次相邻两点函数值差的绝对值之和等于12，最少需要几个点？对正弦函数而言，两个函数值差的绝对值的最大值是最高点和最低点的纵坐标的差，因此只要取相邻最高点和最低点，两端点取零点，结合图像即可知m的最小值为8.

以上解法可以说是数形结合，但数形结合太笼统，学生面临具体问题难以操作.教学中面对较难问题，指导学生先宏观（即定性，找出正确大方向）再微观（具体有什么方法），有理论，有实践，便于学生内化形成能力，把培养学生思维的灵活性落到实处.

三、突出能力，体现选拔功能

2015年高考上海数学试题难度大主要体现在两个方面.其一是计算量较大，虽然第20题以前的题目大多数不难，但由于计算量较大，耗时较多，无形中增加了学生的压力；其二是证明题多，证明题一般是字母运算，不仅对逻辑思维能力要求高，对书写表达能力要求也高.

比如理科第23题：对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π.

（2）设a

（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在［0，T］上的解”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解”，并证明对任意x∈［0，T］都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

本题是新定义问题（上海每年都有此类问题），题目较长，读懂题目有一定难度，意在考查学生获取和利用信息的能力.第二问的结论感觉就非常自然，好像不需要证明，实际上由于不知道f（x）的连续性，要用反证法.这里既有“任意”，又有“存在”，反证法通常要否定结论，怎么否定？这是学生不熟悉的方法.

对任意c∈［f（a），f（b）］，由于f（x）单调递增，所以一定存在x0，使得f（x0）=c.

当x0

上述证明看似寥寥数语，但对学生来说书写表达相当困难.甚至有些学生问：“为什么当x0

四、试题启示：来年复习怎么做

2015年高考上海数学试题对数学教学有哪些启示，以后又怎么指导学生复习？

1.怎样做才算抓基础

2015年高考上海数学试题强调考基础、考能力，何为基础？何为能力？这些都比较抽象.笔者以为，根据已知条件，能运用定义、定理、公式直接得到结论，或经过简单的等价转化可得到结论，属于考查基础，而把基础知识适当串联起来，需要多次转化，且字母运算相对复杂，可以称为考查能力.题目较长、题意隐晦、解答技巧强、运算繁杂的题目宜少讲或不讲.

2.怎样才算依纲据本

高三复习要依据课本，在课本例题、习题的基础上适当加宽拓深，意在把基础知识以一定的思想方法或某一知识链条串联起来，形成知识网络.重在培养学生透彻理解基本概念、灵活运用相关定理和公式解决问题的能力，达到举一反三、触类旁通之效.表现在课堂上往往是首先重视通性、通法的教学，在此基础上引导学生追求简捷解法，发展思维能力.比如，第18题如果对极限定义有透彻理解，则可知其值就是过点（1，1）的切线的斜率（其实就是导数，但上海教材没有导数，学生无法从这一角度理解）.不同的解法反映不同的能力水平.

这启发我们，要根据不同的教学对象，讲最适合你的学生的方法.基本方法一定要讲，巧妙方法不一定都要讲！如果你的学生达不到那个水平，讲了也白讲，白讲为何要讲？！

3.重视代数推理教学

2015年高考上海数学卷中代数推理的分量重启示我们要加强此方面的教学，因为代数推理可以比较准确地考查学生的数学思维能力和文字表达能力，以及行为习惯的好坏.教学中经常看到有些学生能很快得到正确答案（上海数学高考可以携带计算器），而不能规范书写的情况，尤其是智力好的学生只求结果，不问过程.有时老师也会赶进度，只讲思路，不规范板书（或放ppt），这样遇到今年的试卷学生很难发挥出实际水平，即便是优等生，也会感到有劲儿无法使.这提醒我们教学中不要盲目追求数量，而要追求质量.要知道，学生从自己感觉懂了到能规范书写出来之间还有很大一段距离.规范书写就是把细节落到实处，不仅现在做数学题是这样，将来到社会上做事也是同样.特别需要老师的引导、示范，马虎不得，急躁不得.

4.重视思维规律教学

对起到压轴作用的客观题，要善于先宏观（定性）分析，后微观（定量）落实，通过转化、数形结合、排除法等方法，尽量避免直接求解；解答题力争化大为小、化难为易、化繁为简，把一道难题分解为若干个小题，或分解为若干步完成，或即使不能完整做出，也能多得部分分数，使学生的实际水平得以充分发挥.A