小学数学概念教学的策略研究

2015-01-31许中丽

中小学教师培训 2015年3期

许中丽

（淮北师范大学教育学院，安徽淮北235000）

小学阶段，学生处于各项能力发展的初期，对于抽象思维能力较弱、言语表达能力欠缺的小学生来说，掌握集抽象性与概括性于一体的数学概念具有很大难度，所以如何有效地进行小学数学概念的教学就成为小学数学教学研究不变的主题。本文在对小学数学概念的相关内容进行深入分析的基础上，严格把握小学数学概念教学的要求及意义，进一步探讨小学数学概念教学的有效策略。

一、小学数学概念的理论概述

（一）数学概念的涵义和构成

1.数学概念的涵义

概念是许多学科领域的研究对象，例如哲学、逻辑学、心理学等。从哲学研究角度来说，所谓数学概念，就是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反应[1]，表现为数学语言中的名词、术语、符号等的准确含义。例如，数学“周长”的概念是这样界定的：“封闭图形一周的长度是它的周长”。

在现实生活中，客观事物都具有本质属性和非本质属性。为客观事物所特有的、决定其性质的、并将其与其他事物区别开来的属性，就是该客观事物的本质属性——要研究数学概念的内涵就必然要研究数学概念的本质属性。而那些不能决定事物本质的，甚至可改变的，如颜色、形状、大小等都是事物的非本质属性。

2.数学概念的构成

数学概念由内涵和外延两个方面构成。

概念的内涵就是概念所反映的所有对象的共同本质属性的总和[2]，如三角形概念的内涵就是本质属性“三条线段”和“围成”的总和；平行线概念的内涵同样是本质属性“在同一平面内”和“不相交”的总和，等等。概念的外延就是该概念所包含的一切对象的总和[3],例如，角概念的外延包括诸如直角、钝角、锐角等所有全体对象。

概念的内涵和外延之间具有反向对应的关系，若概念的内涵扩大，则其外延就缩小，比如由平行四边形的概念到菱形的概念，内涵变大，外延就变小。

可以看出，数学概念教学的基本要求就是“概念明确，包括明确概念的内涵和外延，以及这个概念与其他一些概念之间的关系”[4]。

（二）小学数学概念的呈现方式

小学数学概念在构建学生知识体系的过程中起着至关重要的作用，它直接影响着学生对后续知识的理解与应用，是学生在培养其计算能力、空间想象能力及逻辑思维能力的过程中最先接触到的知识。所以，要想夯实基础，必然要狠抓小学数学概念教学。

根据皮亚杰的儿童认知发展阶段理论，小学数学教材中的数学概念要遵循小学生的年龄特点和认知规律，要适应学生的身心发展，不同阶段呈现方式不同，具体来说，有以下几种：

1.图画式

在小学低年级，由于学生的身心发展尚处在前运算阶段，知识水平和认识能力有限，具体形象思维占据主导地位，这个阶段的概念采用图画的形式呈现，即除概念名称外完全以图示的形式来呈现概念。[5]比如“10以内数的认识”“加法”“减法”等概念都是以这种方式呈现的。这种呈现方式有其自身的优点，如形象直观、便于感知，特别适合低年级的小学生；但也存在它的不足之处，因为图画式呈现概念的方式缺乏语言文字描述，如果教师不恰当地引导学生用语言表达，就容易导致小学生学习概念时仅停留在图画表面，不能深入理解概念的内涵。

2.描述式

在小学中年级，数学教材中的概念通常采用描述的方法来呈现，即以概念的实际原型借助具体事例和描述性语句相结合来呈现概念[6]，其中的“形”以图示、例题等形式来表明概念的基本属性，“字”则以描述性语句作补充或概括性说明，因此，这种概念呈现方式也叫字形结合式。这种方式很常见，小学各年级都可以采用，像小数的概念、角的概念、自然数的概念等都是采用的这种方式。

3.定义式

到了高年级，学生的认知已达到具体运算阶段，这个阶段的小学生已经能够进行心理运算，抽象思维有所发展，此时的数学概念主要采用定义的形式呈现，即用简明而完整的语言揭示概念的本质属性[7]，借助原有的、学生已经掌握的概念来对新的概念进行定义，条件和结论十分明显。这种概念的呈现方式比较适合于小学中高年级的学生。定义式概念的表述一般比较简短，教学时要注意剖析关键词的丰富内涵。

（三）小学数学概念的特点

1.呈现形式的多样性

如前文所述，小学阶段的数学概念呈现方式多样。随着小学生知识量的增加、认知和思维的发展、接受能力的增强，以图画的形式呈现的概念越来越少，取而代之的是描述式概念，而到中年级以后，逐步采用定义式，但有些概念只是初步给出定义。

2.相对的直观性

数学概念最大的特点就是具有很强的抽象性和概括性，但处在小学阶段的学生，知识经验不足，思维具有形象性，这恰好与数学概念的抽象性、概括性形成鲜明的对比。所以，小学数学教材中的大部分数学概念的定义并不严格，而是从学生所了解的实际事例或已有知识经验出发，尽可能通过直观具体的形象，先形成感性经验，让学生在头脑中对概念有直观的印象，进而帮助学生全面把握概念的内涵。

3.教学的阶段性

由于认知、思维等发展的局限，数学教材中有很多概念是小学生特别是低年级的小学生不容易理解的，所以，教师在教学过程中要通过分阶段渗透的办法来解决。例如，在学习数数的过程中，要先将物体分类，实际上，分好的每一类就是一个集合，在数概念的学习中渗透集合概念，这是集合概念学习的基础和起点。又如分数的学习，低年级只是初步认识分数，到了高年级才要求学生深入理解分数的意义和性质。

二、小学生数学概念学习基本模式和影响因素

小学生要学习数学概念就要明确区分数学概念的本质属性和非本质属性,并紧紧抓住本质属性进行思维的抽象概括,把数学概念内化成自己能够理解的图形、符号、语言等，再将本质属性推广到这一类事物的所有对象，这样，学生才能真正获得概念。

不同的数学知识有各自的学习形式，数学概念的学习也一样，特别是对于小学阶段的学生来说，概念获得的方式就尤为重要。

（一）小学生数学概念学习的基本模式

小学生获得概念要通过概念形成和概念同化两种方式来实现。

1.概念形成的学习模式

所谓概念形成，就是学生在学习概念的过程中，通过分析、比较具体的事物，抽象概括出该事物的本质属性，然后将其推广到具有这些本质属性的某类事物中，明确事物的外延，即从具体到抽象再到具体的过程。

例如,在学习自然数概念时,在数数的过程中,是集合中的每个元素与自然数一一对应,而不是元素的颜色、形状、大小与之对应，是把自然数从具体的事物中抽离出来，用抽象的数学语言、符号代替。

另外，在概念形成过程中，要明确概念的本质属性和非本质属性，还可以通过有效利用变式和反例来解决。通过变换事物的非本质特征来突出事物的本质特征，使学生对概念的获得达到抽象概括的层面；通过列举反例，来区别不同事物的本质属性，可以加快学生对概念的理解。

2.概念同化的学习模式

概念同化，是在学生原有知识经验基础之上，给出一类事物的定义，以揭示概念的本质属性，并使学生充分认识原有概念和新概念之间的联系，改变原有知识的认知结构，使旧概念得到改组或改造，从而获得新的概念。

要想实现概念的同化，需要满足两个方面的条件。一是学生原有认知结构中的知识必须与将要学习的新概念有本质上的联系，二是学生本身要有将自己已掌握的知识与新概念联系在一起的意愿，并能辨别两者异同。只有满足客观条件和主观意愿，学生才能将新知识纳入原有概念体系，形成概念网络。

例如，学生在学习“最小公倍数”时，就要按照“倍数—公倍数—最小公倍数”的路线，既要明确区分它们的不同，又要将三者联系在一起，建立概念体系。

（二）影响小学生数学概念学习的主要因素

影响小学生数学概念学习的因素有很多,具体来说,可分为三个方面：教师方面的因素、学生自身发展的限制、用来学习数学概念的素材的性质。

1.教师方面的因素

在概念教学过程中，有些教师只注重概念教学的结果，而忽视概念的形成过程；只注重概念体系的完整，而忽视小学生的接受能力和思维发展的阶段性特征。这样就容易导致学生只是记住概念的文字表述，不清楚概念的发生发展过程；只知道某些概念是有联系的，但却不能说明到底具有怎样的联系。因此，教师在教学中，一定要综合学生和学科两者的特点。

2.学生自身发展的限制

除了教师的教学方式方法对学生学习数学概念有影响外，学生自身还存在一些局限性，比如：由于学生年龄小，生活经验和知识经验不丰富、对概念素材缺少阅历、思维发展仍以具体形象思维为主、抽象概括能力较弱、语言表达能力欠缺等。以上这些都在一定程度上影响着小学生对概念的学习和掌握。

3.用来学习数学概念的素材的性质

用来学习概念的素材对小学生学习数学概念也有影响。因为概念的获得要通过概念的形成和同化，所以小学生在学习概念时，概念素材要具备小学生形成概念的条件。要达到概念的同化，小学生原有的知识结构中必须有与之相联系的旧概念，如若在低年级向学生呈现定义式的概念，由于学生原有知识结构中的概念比较少，那么学生就不能正确把握概念的内涵和外延。

因此，教师在教学数学概念时，一定要注意这些影响因素，尽量将影响因素的副作用控制到最低，甚至消除，以保证学生能够真正获得概念。

三、小学数学概念教学的有效策略

数学概念贯穿于整个知识体系中，发挥着夯实基础的作用。如果想在数学的计算、推理和判断中做到流畅自如，必须在数学概念的内涵与外延方面进行深入理解，打好基础。因此，教师在进行概念教学时，就要采用有效的教学策略，使学生准确掌握概念的内涵和外延，为后续知识的学习做好准备。

（一）突出不同呈现形式的小学数学概念的内涵，使学生准确理解概念

虽然小学数学概念的呈现方式不同，不同阶段概念的特点也各异，但是数学概念教学最基本的要求就是概念明确。想要全面揭示数学概念的内涵，方法之一就是教师根据小学数学概念的不同呈现形式，采取相应的教学策略。

1.图画式小学数学概念内涵的揭示策略

根据图画式概念的特点及教学要求，教师在教学过程中，应注意引导学生挖掘图画的深层涵义，揭示概念的本质。在学生能够理解图画的基础上，鼓励学生用自己的语言表述概念的定义，并引导学生尽量使用数学语言中的名词、术语。以圆的概念为例，教师在教学过程中，要适时引导学生揭示圆的本质特征，将圆的表象抽象成数学语言。通过这样的方式，一方面学生能够认识到数学是一门严谨的学科，数学用语要规范、贴切；另一方面，学生通过用自己理解的语言来表达数学概念，还可以锻炼语言表达能力。

2.描述式小学数学概念内涵的揭示策略

由于描述式概念又叫字形结合式概念，所以，这种呈现方式的概念既包含“字”，又包含“形”。所谓“形”，即图形、图示，相当于图画式概念中的图画。在教学这类概念时，教师要注意引导学生充分理解“形”的涵义，因为“形”中隐藏着丰富的内涵，蕴含着概念的本质属性，因此，对“形”的研究一定要透彻。除此之外，图示仅仅给人以直观形象，教师要帮助学生将图示所表明的涵义用自己理解的语言描述出来，再结合概念中的“字”，如此，才能真正将“字”与“形”相结合，给概念下一个纯文字式的定义。如直线的概念、小数的概念，就可以采用这种方法进行学习。

3.定义式小学数学概念内涵的揭示策略

定义式的概念由于用词简练而具有很强的概括性和抽象性，教师在教授概念时一定要让学生抓住关键词，深层剖析，将专业名词、术语通俗化，以便学生理解；必要时，还可通过直观教具、举例子、联想对比等手段，化抽象为形象；也可有效运用反例和变式，让学生明确区分概念的本质属性和非本质属性。

（二）针对小学数学概念的特点，加强直观教学，帮助学生建立概念

教育教学中，不论是直接经验还是间接经验，都离不开生活。在数学概念教学中，教师可以借助多媒体、录像机、模型、实物等各种直观教具，以及运用观察、比较、触摸、演示、测量等直观方式，使学生形成正确的数学模型，使抽象的数学概念得以具体化，使学生更容易理解、把握概念的内涵。概念教学要加强直观教学，但运用直观并不是目的，要将学生建立的表征逐步抽象，使数学概念得到内化。

现代教学论强调，要让学生动手做科学，而不是用耳朵去听科学。[8]因此，在小学数学概念教学中，要增加直观操作的比重，让学生在动手操作的过程中感受学习数学的乐趣，辅以教具、学具，感知概念表象、理解概念内涵。

例如，在数学概念“米、分米、厘米”的教学中，教师可将提前准备好的长度分别为1米、1分米、1厘米的若干小棒分发给各小组，每个小组都有3种长度不同的小棒。在教学过程中，教师可先让学生亲自动手摸一摸不同小棒的实际长度，再让学生用1分米的小棒量一量1米包含几个1分米，用1厘米的小棒量一量1分米包含几个1厘米。在教学“毫米”时，直接利用直尺上的刻度，数一数1厘米包含几个1毫米。同样，可以用类似的方法教学“千米”，教师可带领学生实地考察，走一走1千米到底是多长的距离。这样，手、脚、眼、脑并用，不仅让学生亲身感受到了概念，也让学生在实际生活中找到了概念的原型，有助于学生把握概念的本质。

直观操作可以提高学生学习数学的兴趣，同时使学生形成学习的动力，这样便可消除数学概念的枯燥性，使学生的学习活动变得富有生机和成效。

（三）注重小学数学概念之间的比较分类，形成概念系统，使学生牢固掌握概念

小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，但是由于小学生思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或几个学期来完成的，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。对一些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。尤其是中高年级，可以引导学生对概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。

1.同一概念的各种联系

根据不同阶段学生的年龄特点，同一概念在不同教学阶段的要求是不同的。如分数概念的教学，在三年级上册只是初步认识分数，而到五年级下册则要求理解分数的意义及性质；再如方程概念，小学低年级只是渗透，到了高年级才给出明确的概念。教师要弄清教材这样编排的目的，要对不同阶段的同一概念进行整体把握，形成概念体系，建立知识网络，才能在教学中将知识串联起来，不至于脱节。

另外，同一概念可以用不同方式呈现，各种表达方式给人的感受不同，但都能突出概念的本质属性。教师应积极鼓励学生利用不同的方式表达概念，培养学生思维的灵活性。

2.不同概念之间的联系

数学概念不是孤立存在的，它们在本质上都是有联系的，因为数学中的任何一个概念，只有与其他概念相联系，才能生成和发展。[9]引导学生明确这些概念之间的联系，这对概念理解有积极的促进作用，在学习由核心概念衍生出的相关概念时不易导致概念模糊或概念混淆。

（四）小学数学概念的引入，要注重提供丰富而典型的感性材料

在概念引入的过程中，要注意使学生建立清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。

如在一节教学“分数的意义”的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教学难点，事先向学生提供了各种操作材料：1根绳子，4只苹果图，6只熊猫图，一张长方形纸，l米长的线段等。通过比较、归纳出：一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”表示，从而突破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础。

但概念引入时所提供的材料要注意两点：一是所选材料要确切。例如角的认识，小学里讲的角是平面角，可以让学生观察黑板、书面等平面上的角。有的教师让学生观察教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面角，这对于小学教学要求来说，就不确切了。二是所选材料要突出所授知识的本质特征。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。

（五）组织丰富的学习活动，使小学生充分感知，主动建构和理解概念

数学教材中表示概念的名词、定义、术语、符号等都是权威专家、机构做出的规定，教师在组织教学活动时，要采用探究、发现、验证等方式学习数学概念。因为教学方法对于学生接受、理解概念非常重要，所以，在教学这些概念时，教师不能一味地灌输，不能直接给出结论而不顾概念的形成过程。概念教学，要让学生经历概念的形成、体验概念的建立，应采取有意义接受的学习方式，使学生理解概念并主动建构知识体系。

比如，在学习“三角形具有稳定性”这一特点时，可以让学生通过“拉一拉”的方式体验三角形的这一特性。课堂上教师可以让学生分别用固定长度的3根小棒钉成一个三角形，用4根小棒钉成一个四边形，然后让学生先后拉一拉三角形和四边形，观察一下三角形和四边形的大小、形状都有哪些变化。学生操作后就会发现，三角形的大小、形状不变，而四边形的大小、形状发生了变化。再让学生改变三角形、四边形各条边的顺序，分别与之前的三角形、四边形比较，学生很快就会发现，改变边的顺序，三角形只是位置和摆放的角度发生变化，其形状、大小都没改变；而四边形不但位置和摆放的角度发生变化，其形状和大小也发生了变化。这样，通过学生的实际操作，教师适时引导学生总结出“三角形具有稳定性”这一特性，使学生主动获取数学知识，并因势利导引出三角形稳定性的概念，帮助学生达到对稳定性的透彻理解。而其他多边形，由于“拉一拉”后，其大小、形状发生变化，所以不具备稳定性。

组织有意义的学习活动，改变了以死记硬背、灌输为主的传统教学方式，取而代之的是以学生为主体、教师为主导的教学方法的改革。