一类“显隐混搭型”分段函数的图像及其应用——以零点相关问题为例

☉山东省青岛第二中学 牟庆生

一类“显隐混搭型”分段函数的图像及其应用
——以零点相关问题为例

☉山东省青岛第二中学 牟庆生

一、策略分析

我们知道，图像法是解决函数零点相关问题的重要手段，但本题中这类函数将如何作图？让我们从分析f（x）的构成入手：因为当x∈D1时，f（x）=g（x），即f（x）在D1上的图像已定；但当x∈D2时，f（x）=Af（ωx+φ）+k，故f（x）在D2上的图像未能直接给定.然而，y=f（x）与y=Af（ωx+φ）+k的图像之间有着“天然”的联系，所以我们只要以f（x）在D1上的图像为起点，一步一步地往上“攀”（拾级而上），即可作出f（x）在D2上的图像.为明晰图像由来，先给出如下性质：

证明：因为当x∈［a，b］时，有f（x）=g（x），所以当xl∈［a，b］，即x∈（a+l，b+l］时，有f（x-l）=g（x-l）（迭代），由于（a+l，b+l］⊂（b，+∞），所以f（x）=f（x-l）+k=g（x-l）+k；再当x-l∈［a+l，b+l］，即x∈（a+2l，b+2l］时，f（x-l）=g（x-2l）+ k（再迭代），因为（a+2l，b+2l］⊂（b，+∞），所以f（x）=f（x-l）+k=［g（x-2l）+k］+k=g（x-2l）+2k；…；以此类推，故当x∈（a+nl，b+nl］（n∈N）时，f（x）=g（x-nl）+nk得证.

说明：由性质1的证明过程可知，此时分段函数f（x）可以写成不难看出，f（x）在（a+l，b+l］上的图像，可由f（x）在［a，b］上的图像（即g（x）图像）向右平移l个单位再向上平移k个单位（即沿向量m=（l，k）平移）得到；而f（x）在［a+2l，b+2l］上的图像可由f（x）在［a+l，b+l］上的图像沿向量m=（l，k）平移得到，…，即分段函数后一段上的图像均可由前一段上的图像沿向量m=（l，k）平移得到.需要指出，定义区间（a+l，b+l］、（a+2l，b+2l］、…都是区间（b，+∞）的子集，且（a+l，b+l］∪（a+2l，b+2l］∪…也是（b，+∞）的子集.

证明：因为当x∈［a，b］时，有f（x）=g（x），所以当ωx∈（a，b］，即x∈时，有（fωx）=g（ωx）（迭代），因为］⊂（b，+∞），所以f（x）=Af（ωx）=Ag（ωx）；再当ωx∈］，即x∈］时，（fωx）=Ag（ω2x）（再迭代），因为所以f（x）=Af（ωx）= A［Ag（ω2x）］=A2g（ω2x）；…；以此类推，故当x∈（n∈N）时，f（x）=Ang（ωnx）得证.