笛卡儿方法论引领下的数学学习*

☉江苏省南通市天星湖中学钱鹏徐新民

笛卡儿方法论引领下的数学学习*

☉江苏省南通市天星湖中学钱鹏徐新民

《普通高中数学课程标准》特别指出两点：其一“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度”，其二“具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观”·众所周知，这两条目标主要是针对“情感、态度与价值观”目标领域的·反观中学数学的教学立意，囿于“知识与技能”，甚至狭隘地变形为题海战术、解题机器还较为普遍，对“过程与方法”的关注不够，至于“情感、态度与价值观”就更鲜有长期渗透（有也多为公开课、评优课中的昙花一现），陷入“不会学、怕学、厌学、学不好”困境的学生不在少数，自然课程目标的达成就无从谈起·改变这种现状，我们一线教师责无旁贷·“授人以鱼不如授人以渔”，要“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心”，首先须改变“不会学”状况，也就是要掌握数学学习的方法；要学生“具有一定的数学视野”，教师要先拓展自己的数学视野，进而引领学生见识、体验、累积“一定的数学视野”·其中，阅读（数学）教育经典名著，向大师学习，领悟、借鉴、介绍大师们的哲学和学科思想、观念、治学与研究的原理、方法，是所谓“取法乎上”的可取做法，受过这种文化、精神濡染熏陶，对提高人生境界是有帮助的，对教与学不可能不产生积极影响·基于这样的看法，本文介绍笛卡儿的方法论，并将之应用于引导高中数学学习，作些初步探讨，不当之处，敬请专家批评指正·

一、笛卡儿方法论的“源”与“流”

苏教版必修2第二章章末“解析几何的产生”的阅读材料，是把笛卡儿作为数学家来介绍的，但正如M·克莱因所说“Descartes是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶尔的是一个数学家·不过，像他那样富于智力的人，即使只花一部分时间在一个科目上，其工作也必然是很有意义的·”笛卡儿首先是位哲学家，所以他一般是从哲学的高度来思考、研究学问的，他的视野相对来说也就更开阔，思想更深邃·他所寻找和建立的方法、原则就鲜明地具有追求普适性、一般性和指导性的特征·典型地体现为在《思想的指导法则》中提出“万能方法”，即“把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程”，和1637年发表的《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》（有不同译法，笔者手中的是王太庆先生的译著，全名为《谈谈正确运用自己的理性在各门学问里寻求真理的方法》，简称“谈谈方法”）·“谈谈方法”是一本文笔优美的哲学经典著作，笛卡儿以“我思故我在”为其哲学中的第一原理，建立自己的理性主义哲学体系，罗素认为“‘我思故我在’是笛卡儿的认识论的核心，包含着他的哲学中最重要之点·笛卡儿之后的哲学家大多都注重认识论，其所以如此主要源于笛卡儿·”从数学的角度，“谈谈方法”中的《几何学》被认为是解析几何创立的标志，在中国，人们对笛卡儿及其坐标法的认识和评价，还在于恩格斯将笛卡儿的坐标法与对数的发明、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就，但在笛卡儿本人，这只是他的“副产品”，笛卡儿想要做的是阐述“更好地指导推理和寻找科学真理的方法论”或“谈谈正确运用自己的理性在各门学问里寻求真理的方法”，作为附录之一的《几何学》仅是作为使用新方法的例子，“就是为了证明他的方法是有效的，他相信他已经证明了”（这是笛卡儿所写的唯一一本数学书，也是M·克莱因说笛卡儿“只偶尔的是一个数学家”的原因）·

王太庆先生的译本“谈谈方法”中在对哲学、几何和代数三门学问做了一番批判后，笛卡儿指出“…去寻找另外一种方法，包含这三门学问的长处，而没有它们的短处…用不着制定大量规条构成一部逻辑，单是下列四条，只要我有坚定持久的信心，无论何时何地绝不违反，也就够了·”第一条是：凡是我没有明确地认识到的东西，我绝不把它当成真的接受·也就是说，要小心避免轻率的判断和先入之见，除了清楚分明地呈现在我心里、使我根本无法怀疑的东西以外，不要多放一点别的东西到我的判断里·第二条是：把我所审查的每一个难题按照可能和必要的程度分成若干部分，以便一一妥为解决·第三条是：按次序进行我的思考，从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升，直到认识最复杂的对象；就连那些本来没有先后关系的东西，也给它们设定一个次序·最后一条是：在任何情况之下，都要尽量全面地考察，尽量普遍地复查，做到确信毫无遗漏·

需要说明的是：上述四条原则也可视为研究方法的四个步骤，是基于笛卡儿理性主义认识论之上的·笛卡儿的“真”，是指“凡属理性清楚明白地认识到的，都是真的·”；把审查的难题尽可能地分割分细，是为了一下子就能清楚明白地洞察其本质，而且把每一部分透彻认识了则全体（整体）也就得到了可靠的认识·王太庆先生对此评价说“笛卡儿以理性的清楚明白认识作为真理标准”“还不能见到实践是认识的基础，也是鉴别真理的唯一标准”“笛卡儿不但没有达到马克思的水平，连康德的水平都没有达到，但是他达到了他那个时代哲学所能达到的高级水平，比经院哲学高明多了·”

笛卡儿对自己创建的方法谈了些运用心得和感受：“这种方法叫人遵照研究对象的本来次序确切地列举它的全部情况”“这种方法最令我满意的地方还在于我确实感到，我按照这种方法在各方面运用我的理性，虽不敢说做到尽善尽美，至少可以说把我的能力发挥到了最大限度·此外我还感到，由于运用这种方法，我的心灵逐渐养成了过细的习惯，把对象了解得更清楚、更分明了”“由于严格遵守我所选择的那不多几条规则，我轻而易举地弄清了这两门学问所包括的一切问题，因此在从事研究的两三个月里，我从最简单、最一般的问题开始，所发现的每一个真理都是一条规则，可以用来进一步发现其他真理”·

一般认为，在1960年以前，西方科学研究的方法基本上按照“谈谈方法”进行的，直到阿波罗1号登月工程的出现，科学家才发现，有的复杂问题无法分解，必须以复杂的方法来对待，因此导致系统工程的出现，方法论的方法才第一次被综合性的方法所取代·笔者认为，随着科技发展和深入，会拓展新的领域发现新的问题而新的先进的方法论还会创建，像爱因斯坦的理论超越了牛顿，但并不因此就放弃经典力学一样，相对于不同的应用范畴、问题复杂程度而言，研究的方法还是具有选择性的，所以笛卡儿的方法论对现代人的学习和研究仍具有积极指导意义·

二、笛卡儿方法论引导下高中数学学习的思考

针对数学学科特点和教学实际，将笛卡儿的方法论引入数学学习，对学会学习、学会思考应是大有裨益的·

1·遵循笛卡儿方法论的四条规则和步骤，从操作层上面程序化地指导数学学习

笛卡儿方法论的四条规则，也可理解为解决问题、研究对象的四个步骤：先判断所面临的问题或对象是否为真，即在理性上是否是清楚明白的→是的，就接受并把它放到“我”的判断里（作为判断其他东西的依据）；否则，将问题或对象进行足够细的分割→对分割的部分按由易到难、由简单到复杂的顺序，逐个有序地加以考察，先一一看清楚，弄明白，再组合得到原问题的解答→复查检验，包括每个步骤，每一种情形，对象的每个侧面等，直至确信结论正确无误（并成为新规则，用以发现新的真理）·可以看出，关键是对所面对的问题或对象的科学、恰当、合理的分割和排序，这实际上也是方法论应用的主要难点·

数学是思维的学科，数学知识内在的逻辑的连贯性和数学思想方法的一致性是其自身固有的特征，只要“理解数学”，就可按知识的逻辑顺序、发展轨迹线索自然展开·章建跃老师对此进行了深入研究，就具体数学对象的研究和学习多次撰文、示范，提出数学研究和数学学习的“基本套路”概念，指出“每面对一个数学新对象，如果都能引导学生按‘背景-定义-表示-分类-（代数）运算、（几何）性质-联系’的线索展开学习，那么经过长期熏陶，前述数学教育的根本目标就能得到真正落实”，其中经典的例子包括文4中的“三角形”研究概括：定义—表示—分类（以要素为标准）—性质（要素、相关要素的相互关系）—特例（性质和判定）—联系（应用）；定性研究（平直性、对称性等）—定量研究（面积、勾股定理、相似等）；文5中的复数问题的基本框架：复数的背景——为了使负数能开方，从而使任意多项式方程都能解；复数的定义——引入一个新符号i（虚数单位），其意义是i2=－1；复数的表示——代数表示、几何表示；复数的有关概念——实部、虚部、模，相等，共轭复数等；复数的分类——实数作为复数的一部分；复数的运算——加、减、乘、除、乘方、开方及其几何意义；复数的联系——与向量、三角函数等的联系（“复数就是向量”，复数的三角表示，向量的旋转、伸缩与复数的乘法等）；某些特殊问题的研究，例如虚数单位i的性质、复数的“三角形不等式”、棣莫弗公式、单位根ω的性质等·按照章建跃老师的“基本套路”操作，就可保证分割与定序的科学性、有效性，避免将数学人为生硬地割裂，结果弄得支离破碎，“识木不易”“见林更难”·

2·渗透笛卡儿方法论中的理性主义的审慎、批判精神，从态度和观念上引导数学学习

“凡是我没有明确地认识到的东西，我绝不把它当成真的接受·”这首先就是一种科学态度，实事求是的态度·笛卡儿方法论中的怀疑是去伪存真的批判，否定的是迷信和幻觉，并不是完全否定感觉，只是认为感觉经验有片面性，单凭感觉得不到普遍的科学真理，应在全面的理性指导下批判地总结·要实现高中数学课程目标中的“形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神”，应该从笛卡儿的理性主义哲学和他的方法论中吸取精华、营养和力量·不迷信教师、教科书等权威，就是强调独立思考、敢于大胆质疑和提出问题；也需要对自己的认识有理性的正确判断，一个数学概念的内涵理解得是不是真正到位了？公式、定理的来龙去脉和推导是不是真正搞清弄懂了？很多学不好数学的学生不是他们的努力不够，而是概念模糊、原理混乱，满脑袋装的是一些似是而非的东西·刘绍学教授在人教A版“主编寄语”中说“数学易学，因为它是清楚的，只要按照数学规则，按部就班，循序渐进地想，绝对可以学懂；数学是难学的，也因为它是清楚的，如果有人不是按照数学规则去学去想，总是把‘想当然’的东西强加给数学，在没有学会加法的时候就想去学习乘法，那就要处处碰壁，学不下去了·”“数学是清楚的”展示的就是数学的理性精神·数学的学习，一开始就要养成“概念清、原理透”（郭慧清老师语）的好习惯，数学课要“讲活”“讲懂”“讲深”（郑毓信教授语），特别是要重视概念的正误辨析、命题的真假判断、学生思维过程暴露、错解案例剖析等教学环节或组织形式，保证学生接受和储备的都是明确清楚的东西，保证思维的源头没被污染，也才能够展开进一步的数学学习，如实践“从基本知识出发”的思考策略·

3·融合笛卡儿“方法论”与波利亚的“探索法”，从数学方法论层面引领数学学习

“掌握数学意味着什么呢？这就是善于解题（波利亚语）”·

笛卡儿方法论与波利亚的探索法是有其历史和学术渊源的·波利亚名著《怎样解题——数学思维的新方法》中的“怎样解题表”给出的也是类似4个步骤：第一，理解题目；第二，拟定方案；第三，执行方案；第四，回顾·在文6中波利亚不止一次或隐或显地提及两者间的联系，序言部分“根据作者对求解方法的长期认真严肃的研究来写就的·这种方法被某些作者称为探索法……，它有过一段很长的历史，而且也许还会有其将来”“关于探索法的这一主题和各个方面都有着联系·因此数学家、逻辑学家、心理学家、教育家，甚至哲学家都会提出将它的各个不同部分纳入他们各自的专门领域”·在第三部分“探索法小词典”的“探索法”条目中对探索法的界定做了分析，明确提出“我们的这本小册子试图以一种现代而朴素的形式来复兴探索法”，由该条目（参看其他资料）我们可以梳理出如下渊源链条：古希腊（公元前300年前后）帕普斯→17世纪上半叶笛卡儿→17世纪下半叶到18世纪初德国哲学家和数学家莱布尼茨→18世纪末到19世纪上半叶捷克逻辑学家和数学家波尔查诺→20世纪波利亚·

从波利亚的叙述中可以看出笛卡儿的方法论对其“探索法”是有影响的，只是波利亚的探索法以“怎样解题”为对象，选择的内容以数学问题为主，当然也就更适合数学的学习与研究，特别是在数学方法论层面，对数学学习、数学解题有极大的指导意义·要学生学会解题、拓展，首先要教学生学会思考，郑毓信教授在文7中对此有深入研究和探讨，老师们可以学习·

波利亚解题表中的第二部分是其核心，重点探讨的是问题的“分解与组合”技术，对照笛卡儿方法论的第二步，实质上是给出不同分解的可能性建议，联系、转化、变更、改造问题和对象的策略和路径，借助这些元认知提示语，使我们得以深入问题的各个部分，发现它们间的内在联系，为解题制定计划、拟定方案提供最大可能，通过不断实践，就有望使我们的解题能站在数学方法论的高度审视、反省我们的解题行为，使我们的思维方向更明确，思维策略更灵活，使解题变成一个充满智慧和有趣的历程，确实很值得期待和尝试，因为“教会学生思考，这对学生来说，是一种最有价值的本钱（赞可夫语）”·

高中数学课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”“研究性学习”等学习活动，将方法论用于这些学习活动的指导是进一步值得研究的问题·

1·莫里斯·克莱因，著·古今数学思想（二）［M］·朱学贤，等，译·上海：上海科学技术出版社，2002·

2·罗素，著·西方哲学史（下卷）［M］·马元德，译·北京：商务印书馆，2013·

3·笛卡儿，著·谈谈方法［M］·王太庆，译·北京：商务印书馆，2014·

4·章建跃·要注重系统思维的培养［J］·中小学数学（高中），2013（11）·

5·章建跃·逻辑的连贯性和思想方法的一致性［J］·中小学数学（高中），2013（6）·

6·G·波利亚，著·怎样解题——数学思维的新方法［M］·涂泓，冯承天，译·上海：上海科技教育出版社，2007·

7·郑毓信·数学方法论［M］·南宁：广西教育出版社，1996·

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*本文为江苏省教育科学“十二·五”规划立项课题《“我的课堂”的构建研究》（课题编号：D/2011/02/392，主持人：徐新民）、南通市教育科学“十二·五”规划立项课题《基于学生主体的“问题导学”高中数学课堂模式研究》（课题编号：JY62，主持人：钱鹏）研究成果.