对一道高考题的再探究

☉江苏省石庄高级中学 孙建

对一道高考题的再探究

☉江苏省石庄高级中学 孙建

文1中徐道老师对2011年江苏省高考数学试卷第13题进行了讨论与推广，文中的解法及所获结论均不正确.本文将指出文1中解法的错误，并给出正确的结论.

例1（2011年江苏省高考数学试卷第13题）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________.

解析：显然有q＞1.依题意，数列a1，a2，…，a7可改写成：1，a2，q，a2+1，q2，a2+2，q3.

于是可得不等式1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，故可得不等式组

这种解法虽未影响答案的正确性，但显然犯“思考不周”之错.

例2设1=a1≤a2≤…≤a9，其中a1，a3，a5，a7，a9成公比为q的等比数列，a2，a4，a6，a8成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________.

例3设1=a1≤a2≤…≤a2n+（1n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比为q的等比数列，a2，a4，…，a2n成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________.

文1中的解法及结果均不对，正确解法及结果如下：

综上，当3≤n≤5时，q的最小值存在，为√33；当n≥6时，q的最小值不存在.

例4将例3中的“a2，a4，…，a2n成公差为1的等差数列”改为“a2，a4，…，a2n成公差为2的等差数列”，其余条件不变，q的最小值是_________.

例5将例3中的“a2，a4，…，a2n成公差为1的等差数列”改为“a2，a4，…，a2n成公差为3的等差数列”，其余条件不变，q的最小值是_________.

解析：仿例3，得n=3、4时，q的最小值为2；而当n≥5时，q的最小值不存在.

例6将例3中的“a2，a4，…，a2n成公差为1的等差数列”改为“a2，a4，…，a2n成公差为4的等差数列”，其余条件不变，q的最小值是_________.

解析：仿例3，得n=3、4时，q的最小值为√5；而当n≥5时，q的最小值不存在.

例7设1=a1≤a2≤…≤a2n+（1n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比为q的等比数列，a2，a4，…，a2n成公差为d的等差数列，若2＜d≤3+2，则当n=3、4时，q的最小值存在，为；而当n≥5时，q的最小值不存在.

注意到d＞2，后两个不等式组的解集的交为空集，当n≥5时所得到的不等式组的解集为空集，所以q的最小值不存在.

读者不难看出，例7是例5、例6的推广.

例8设1=a1≤a2≤…≤a2n+1（n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比为q的等比数列，a2，a4，…，a2n成公差为d的等差数列，，则当3≤n≤5时，q的最小值存在，为；而当n≥6时，q的最小值不存在.

例9设1=a1≤a2≤…≤a2n+1（n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比为q的等比数列，a2，a4，…，a2n成公差为d的等差数列，若，则当3≤n≤5时，q的最小值为；而当n≥6时，q的最小值不存在.其中ξ

显然，例9是例3的推广.

1.徐道.浅议2011年江苏省高考数学试卷第13题［J］.数学教学，2012（6）.FH