挖掘隐含信息突破常规思维——对一道“90学时”培训题的解法探析

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中　沈岳夫

挖掘隐含信息突破常规思维
——对一道“90学时”培训题的解法探析

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中沈岳夫

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含的问题的本质属性，不但可以提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质，而且还可以培养学生探索创新的能力.在2014年10月初中数学“90学时”培训中，笔者领略了台州市椒江区举办的为期2天的特级教师初中教学观摩活动，受益匪浅，其中一道试题给笔者留下深刻的印象，现对其解法进行探究及变式拓展，愿与大家共同分享.

一、题目呈现

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD=CD，AE⊥BD交BD于点E，交BC于点F.

求证：BF=2CF.

图1

二、解法探析

本题属于一道中档证明题，具有一定的难度，且思维含量较高.根据题意，解答时应先对“母子”相似三角形进行深入探究.如果从边的角度入手，可设AD=a，则进而可得DE∶BE=1∶4，DE∶AE=1∶2；如果从三角函数的角度入手，可得sin∠BAE=等.另外，如果从中点的角度入手，由“中点”可想到中线倍长法、构造中位线等；如果注意到∠CAF+∠BAF=90°，且AC=AB，可考虑把△ACF绕点A顺时针旋转90°，构造出四点共圆，这些都是隐含的信息.据此我们从不同的角度思考、分析问题，可以探索出多种解题的思路，这对于开阔学生的思维视野、培养和训练学生的思维能力，为教师今后的教学指明导向，都具有极大的教育价值.现列举如下.

1.利用中点这个特殊条件，构造新三角形

图2

分析：由题意知点D是AC的中点，因此过点C作CH⊥AF，交AF的延长线于点H（如图2）.易知DE是△AHC的中位线，则HC=2DE，DE∥CH.

说明：还可以如图3、图4、图5所示添辅助线，图3用“中线倍长”的方法，先证△ADH≌△CDB，再证△AEH∽△FEB，然后通过线段间的数量关系证明；图4用“遇中点，构全等”的方法，先证△ADE≌△CDH，再由△BEF∽△BHC，得到线段间的比例关系；图5用“遇中点，构相似”的方法，显然△ADH∽△ACF，△DHE∽△BFE，再由探析中的边之间的关系证明.综观这几种方法，其本质都是通过“中点”构造出一个新三角形，将分散的条件通过全等或相似得到等量关系，进而问题得以解决.

图3

图4

图5

图6

2.利用平行线截得的线段成比例，构造平行线

分析：由于AF⊥BD，所以过点B作BH∥AF，交CA的延长线于点H（如图6）.则△DAE∽△DHB.由探析知

说明：本解法实际上是构造了“双A”型的相似三角形，即△DAE∽△DHB和△CAF∽△CHB，然后通过DE∶BE=1∶4的桥梁加以转化，进而问题得以解决.当然，添平行线的方法还有很多种，有兴趣的读者不妨试试.

3.利用∠α＋∠β=90°，且具有共点相等线段，通过旋转构造四点共圆

图7

分析：因为∠CAF＋∠BAF= 90°，且AC=AB，可考虑把△ACF绕点A顺时针旋转90°（如图7）.易知△ACF≌△ABH，CF=BH，∠HBA=∠FCA=45°，所以∠HBF=90°，∠HAF=∠HAB＋∠BAF=90°，所以A、H、B、F四点共圆.

连接HF，则∠BFH=∠BAH.又∠BAH=∠FAC， tan∠CAF=，所以tan∠BFH=，即BF=2CF成立.

说明：本解法的关键是注意到∠CAF＋∠BAF=90°，且AC=AB，可考虑把△ACF绕点A顺时针旋转90°，然后挖掘出∠HBF=∠HAF=90°，这样就可以利用“四点共圆”及“同弧所对圆周角相等”求解，显得简捷、明了.

4.利用“数”“形”互通，构造直角坐标系

图8

分析：如图8，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系.为方便计算，设点C的坐标为（4a，0）（a＞0）.易得点A（2a，2a），点D（3a，a）.接下来，我们先求出直线BD的解析式y=x.因为AF⊥BD，所以kBD· kAF=-1.于是可得直线AF的解析式y=-3x+8a，则点F的坐标为进而可求得即BF=2CF成立.

说明：坐标法的基本思想在于几何问题代数化，图形性质坐标化，把有关图形的问题“翻译”成相应的代数问题，然后用代数知识进行演算、论证，最后把所得的结果“翻译”成几何图形的性质，以达到证明几何问题的目的.本解法主要是根据条件中有特殊的点（如中点）、特殊的位置（如AF⊥BD）或特殊的图形时（如等腰直角三角形），通过建立适当的直接坐标系，可以将某些几何求值问题、证明问题全部转化或部分转化为代数问题加以解决（有时较之其他的方法更为简洁）.

分析：我们先看一个熟悉的图形（如图9）：四边形ABGH、四边形BCFG、四边形CDEF都是正方形.易证∠BCH＋∠BDH=45°，显然tan∠BCH=，tan∠BDH=.

基于这种思路，过点A作AH⊥BC，交BC于点H（如图10），则AH平分∠BAC，所以∠HAF＋∠CAF=45°.因为tan∠CAF=tan∠DAE=，所以tan∠HAF==，进而证得BF=2CF成立.

图9

图10

6.利用面积，巧妙化解线段的数量关系

图11

分析：如果从面积角度出发，不妨设点A到BC边的距离为h，再过点F作FG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为点G、点H（如图11）.则S=BF·

△ABF两式相比，可得即 BF=2CF成立.

说明：本解法利用了“等积转化”的方法求解，其实本题还可用S=absin∠α这个公式进行解答，即S=

△ABFBF·h=AB·AF·sin∠BAF，S=CF·h=AC·△ACFAF·sin∠CAF，两式相比，得由前面探析知所以=2，进而证得.

三、变式拓展

著名数学教育家波利亚曾说过：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”因此在解决问题之后，还要通过变化对象的非本质属性，来提高对数学知识的典型运用和迁移运用能力，丰富对数学基本思想方法的体会，提高对问题结构信息的识别能力和数学知识的合理选择能力，提高分析问题和解决问题的能力.总之，变式探究对提高自身的解题能力和教学水平，会有十分重要的作用.

变式1：如图12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为线段BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F.若=n，请探究的值（用含n的式子表示）.

图12

图13

解析：如图13，过点C作CH⊥AD交AD于点H.易证△BDE∽△CDH，则所以，则AB=nBC，BD=nDC，ED=nHD.进而得BC=（n+1）DC，EH=

变式2：如图14，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为线段BC的延长线上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F.若=n，请探究的值（用含n的式子表示）.

图14

图15

变式3：如图15，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为线段CB的延长线上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F.若=n，请探究的值（用含n的式子表示）.

参考答案：

说明：变式1、变式2、变式3是对原题进行了一般性的探究，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，体现了从“特殊”到“一般”的数学规律，也是对上述众法选优的内化与升华.可见，在平时教学中，我们应该多对一些已有的习题进行有效的变式，形成一个有层次、有梯度的题组或题链，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从而达到“以不变应万变”的目的.

综上可以看出，每个优秀的数学题目中都包含着大量基础知识、基本方法与技巧、策略，都蕴含着数学的方法、思想等本质.因此对于一些“典型”的“熟题”，教学中应该采用“一题多变”的基本方法，力争让学生学透.因为是“熟题”，解决此类题目可以起到“温故而知新”的效果；因为是“典型”，题目必定包含有不同的解决方法，方法越多，对显性知识技能的训练就越到位.解决此类题目可以达到“知识与方法”同步提高的效果.在一题多解教学中，首先要注重通性、通法，其次才是研究最优解法，最后要对研究的问题从知识技能、解题规律、思想方法等角度进行归纳、总结、反思，帮助学生积累解题经验，进而增加学生思维的宽度，达到解题效果的最大化.

1.沈岳夫.注重组题设计提升思维品质［J］.中学数学教学参考（中），2012（6）.

2.徐强.一道中考题的解法、演变与推广［J］.中学数学（下），2014（11）.

3.徐成祥.活用数学知识抽象数学模型——以2012年深圳市中考数学第16题为例［J］.中学数学教学参考（中），2014（10）.