我们如何进行概念教学？——关于《中学数学》中概念教学的美文欣赏与网络研讨纪实

☉江苏省无锡市河埒中学　姜鸿雁

☉江苏省泰州市教研室钱德春

☉江苏省南京市六合区横梁中学诸士金

我们如何进行概念教学？
——关于《中学数学》中概念教学的美文欣赏与网络研讨纪实

☉江苏省无锡市河埒中学姜鸿雁

☉江苏省泰州市教研室钱德春

☉江苏省南京市六合区横梁中学诸士金

编者按：2014年11月18日晚，在本刊编辑部和江苏凤凰数学网共同策划下，在凤凰数学11号群，由多位专家和名师以《中学数学》初中数学的三篇文章为引子，就如何进行概念教学，进行了深入探讨，引人深思.本文呈现这次活动的背景和探讨实录，期待大家深入思考，明确概念教学的方向.

活动策划：《中学数学》编辑部、凤凰数学网

研讨时间：2014年11月18日20∶00—21∶30

网络主持：姜鸿雁（江苏省无锡市河埒中学，凤凰数学网）

主讲嘉宾：钱德春（江苏省泰州市教研室）

特邀嘉宾：诸士金（江苏省南京市六合区横梁中学）

王甫森（山东省诸城市密州路学校）

朱宸材（江苏省无锡市金星中学）

印冬建（江苏省如皋市石庄镇初级中学）

周咏梅（江苏省盐城中学）

主力平台：凤凰数学11号群（论文1）：QQ：150319582

研讨主题：数学概念的价值

以江苏省特级教师卜以楼老师在《中学数学》（初中版）上发表的文章（2013年第11期《基于“三个理解”下“圆周角”的教学预设》、2014年第1期《对“基于‘三个理解’下‘圆周角’的教学预设”的两点补述》、2014年第6期《“三个理解”是数学教学的基石》）为引子，从数学概念的价值（数学价值、教学价值、学习价值）的角度，结合具体案例研讨如何在教学中凸显概念的必要性、合理性、生成性、发展性.

网络研讨纪实

无锡姜鸿雁：众所周知，数学概念是数学知识的细胞，是一章或一节的起始.这注定了概念教学在数学教学中占据重要的地位.如何进行概念教学值得思考，今天我们就关于概念的教学一起进行研讨、交流.

山东烟台聂小倩：概念是人为抽象事实.

南通印冬建：概念可能因界定的严密与否，在教学中应有所区别.

南京诸士金：此处的概念教学应该不只是我们常说的某一知识的具体概念.

无锡姜鸿雁：在备课时，对一个重要的数学概念应该作出怎样的思考？对教学作出怎样的预设？江苏省特级教师卜以楼在《中学数学》（初中版）2013年第1期《基于“三个理解”下“圆周角”的教学预设》中作了深刻的剖析，值得我们学习.

南通印冬建：教师“吃透”概念是教学的起点，用卜以楼教师在《“三个理解”是数学教学的基石》中的话说：数学教师要有扎实的数学知识，在理解数学上下功夫.

泰州钱德春：关于概念教学的“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学，对概念教学起着引领作用.看了江苏省特级教师卜以楼老师在《中学数学》（初中版）上发表的关于概念教学的数篇文章，很有感触.我想：概念从价值观角度体现三个方面：数学价值、教学价值和学习价值，这与“三个理解”异曲同工.这就联想到概念教学要凸显四性：必要性、合理性、生成性、发展性.

南通印冬建：“必要“是对于学生的认知需求而言，“合理”是对于教学时机而言，“生成”是对于获得方式而言，“发展”是对于后续应用而言.不知是否可以这样理解？

泰州钱德春：首先从必要性上谈三个价值（或三个理解）.卜以楼老师在《基于“三个理解”下“圆周角”的教学预设》《对“基于‘三个理解’下‘圆周角’的教学预设”的两点补述》两篇文章中均以圆周角的教学为例阐述了从“三个理解”的角度对概念教学进行预设，我也想谈谈关于“圆周角”的一则教学故事（见《中学数学》（初中版）2014年第8期中的文章《重组、“补白”、拓展》）.2013年江苏省初中数学优质课比赛中，几何部分是以“圆周角”为课题的.泰州选手王瑞华老师在说课环节出现了意外：准备好的PPT突然打不开，结果只好“空口说白话”，然而他的“说”却引得全场一片掌声（甚至一位评委对我说：不是因为我们兄弟感情深，真的是因为这位选手“说”的确实棒，连我们自己市的选手都没得这个高分）.

南京诸士金：是的，当时我在场，印象很深，王老师将对“圆周角”的理解说的很精彩，没有PPT作辅助，但很清晰地将理解概念和生成过程表述得很清楚.结合他的“说”，让观众更进一步理解他的设计意图.王老师的教学设计与卜以楼老师文章中的理解、朱桂凤老师在《落实真正的“过程化”：数学概念教学的本质使然》（见《中学数学》（初中版）2013年第1期）提及的概念教学认识比较贴切.

泰州钱德春：其实他也就是真实呈现了备课、上课的过程和感受.关于圆周角的教学：教材安排与常规教学都是沿着“概念—定理—应用”的线索展开的，一般的学生可能只是习惯性地跟着老师转，少有自己的思考与思维.如果我是学生，一定会产生疑问：为什么要研究圆周角？与我有关吗？我们来看王老师在引入圆周角概念时是怎么设计的.他从圆心角∠AOB出发——把O羽化为C，分在圆内、圆外、圆上三种情况将C（O）在平面内移动.并将活动分为两个过程.第一个过程是学生的自主操作：学生自己在纸上画图并测量∠ACB的大小，观察角有何变化；第二个过程是教师的画板演示：拖住点O（C）移动，提醒学生观察并发现有何现象.学生在操作、观察、交流后发现当C在圆内和圆外时，∠ACB的大小在变化；当C在圆周上时∠ACB的大小不变.学生发现结论很奇特——变化中的不变，具有浓烈的数学味儿（即数学价值），进而产生好奇：这是什么角？为什么有这样的特点？有必要研究.学生此时产生了强烈的认知冲动.这里有两点要说明.一是理解数学：“变中的不变”是一种重要的数学思想，凸显了数学本质；二是理解学生：学生已有什么？需要什么？学生已经学过了圆心角，教者从圆心角出发，通过一“量”一“动”发现“变中不变”的结论，从而激发了学生探究新知的兴趣与冲动，进而在已有认知的基础上建构新知，充分体现了真正意义上的教学价值.

无锡姜鸿雁：王老师的教学过程体现了“理解数学”“理解学生”.

南京诸士金：学生已有了圆心角的知识及探究经验，从固定的圆心O到移动的点C，发现点C在圆内、圆上时∠ACB的大小变化，点C在圆上时∠ACB的大小不变，学生在操作、观察、发现中对圆周角的由来和概念有了初步的感知：（1）圆周角不同于圆心角；（2）圆周角可能和圆心角有关系；（3）圆周角好像不止一个，它们有什么关系？由此，学生的思维自然地发展.

无锡朱宸材：解读概念的来龙去脉比对概念本身的解读更为重要，让学生理解为什么要学习这个概念其实更重要.

盐城周咏梅：新概念大多是基于已有认知的，因此概念教学时多以已有知识或经验为生长点.

诸城王甫森：顺应认知规律，理解数学概念.

泰州钱德春：经验生长点是一个方面，更重要的是从“变中的不变”，让学生体验学习的价值，觉得学习圆周角“有用”——必要性，从数学本质上激发学生的学习兴趣.

无锡朱宸材：从自主发现过程中让学生很自然地产生认知冲突，激发学生对概念学习的兴趣和热情.有些课堂“意外”反而成就了经典的教学案例.虽然没有亲历王老师那节课，但我很佩服王老师的教学智慧.

泰州钱德春：关于概念，教材的安排与常规教学都是遵循“概念形成—概念内化—概念运用”这样的路径.这里我想到了“一元二次方程”的概念教学.南通教科研中心主任、江苏省特级教师符永平先生创造性地开发了章头图教学，很有新意.

南京诸士金：是的，符特的这节课我也观摩过，是他推出一系列课型中的经典课.

泰州钱德春：下面呈现符老师这节课的精彩片断.

（在通过问题情境引导学生列出方程2x2-25=0、x2-x=0、x2+4x-7=0后）

师：你知道这节课的标题吗？

生1：一元二次方程.

生2：好像问题很多.

师：就这3个方程，刚才那位同学说的对吗？

生2：对.

师：如果让你来编写教材，应该怎样编写？

生3：先研究定义，再研究解法，最后是应用.

师：为什么要这样编写？

生4：学习方程时基本上都是这三部分.

师：看来同学们都能编写教材，那我们第一步来研究定义，你们学过哪些方程？

生5：一元一次方程、二元一次方程.

师出示填空：上述_______________，这样的方程叫做一元二次方程.

生6：含1个未知数、未知数的指数是2的等式.

师：仅仅是等式？

生6：方程.

师：指数？都是2？

生7：最高次数……

从这个教学片断可以看出：教师把主动权交给学生，让学生自己定课的标题，这是一种积极的心理暗示，学生感受到教师的信任，从而主动地思考：一是回忆已有的经验，二是分析3个方程的特征，进而作出判断.接着，教者让学生当小主编，“编写教材”，学生仍然根据已有认知经验，说出“定义、解法、应用”三部分，这里教师不留痕迹地引导学生用类比的方法建构了知识体系，同时得出了研究方程的一般过程与方法.然后根据一般过程研究定义，教者提问“你学过哪些方程”，再出示“一元二次方程的定义”的填空.前者引导学生思考的方向，实际上起到一个先行组织者的作用，在此基础上抽象出3个方程的共同的本质属性，联系学过的方程的定义方法，学生自然而然地给一元二次方程下了定义.

泰州钱德春：这里所有的知识、体系、思想、方法都放手让学生自主探究、自我建构、自我完善、自我反思，学生的思维始终处于积极的、活跃的状态，充分体现了学生的主体性.这种“放手”不是放任，而是教师的引导、追问、等待、激励，充分凸显了教师的智慧、勇气、耐心和教学艺术.以上是我在文章《为了你走近你读懂你依靠你》（《泰州教育》2012年第1期）中写到的一个片断.

盐城周咏梅：巧妙地将学生的已有经验调用.

南京诸士金：符特的设计基于学生自主，基于课堂生成，基于知识的发展.

泰州钱德春：比如：学生主体性：自主建构；比如：先行组织者等.不过对这一节课，或者对很多课，我想起一个问题：教师引出那么多例子（方程）然后取名，如果是你怎么编写教材……如果你是学生，在列出方程后想什么？换言之，学生最关心什么？

盐城周咏梅：起什么名，特点是什么？为什么这样起，合理吗？

南京诸士金：关心点：（1）从学习心理上：我可以给方程取名字吗？（2）从经验迁移上：我可以给方程取名字！那方程名字怎么取？（3）从知识发展上：方程我们学过，一元一次方程可以解，这样的方程如何解啊？

泰州钱德春：诸校长最后一点所言极是.如果我是学生，我可能不关心方程起什么名，也不关心方程的特点是什么，而是关心问题的答案是什么，即方程怎么解，这才是从学生的角度思考，即所谓“以学定教”.

无锡姜鸿雁：这正是卜以楼老师在文中所说的：老师心中要有厚重的学生意识.让学生感到学习新知的必要性，把新知转化到旧知.

泰州钱德春：如果是我来教，那我就可能让学生自己去做，像2x2-25=0的解学生这一节课什么都不学应该能做，但解x2+4x-7=0就可能有困难了，这时教师可以引导：数学学习中常用转化思想，即化未知为已知，那么x2+4x-7=0是已经学过的方程吗？可以转化吗？困难！那是什么方程呢？这样，学生就觉得有必要认识这个方程了——概念学习的必要性.必要性有两点：一是具有数学价值，如“变化中的不变”，这是数学内部层面的；二是形成困惑与冲突，这是学生认知层面的，这就是“以教促学”.

南京诸士金：是啊，引导由内而外生成的必要性比预设的“实际问题情境”凸显的必要性更有价值.

泰州钱德春：接着谈合理性.各位都讲平面直角坐标系，在坐标平面内表示点的坐标，您认为学生最感兴趣的是什么？

无锡姜鸿雁：为什么规定横坐标在前，纵坐标在后？数学上很多的规定……

盐城周咏梅：学生会这样想吗？

泰州钱德春：学生之所以不这样想，是因为学生不想了，习惯了等教师说.

无锡姜鸿雁：现在常常不少学生已经不想了，就等老师的讲解，但教师需要作出思考这是为什么.

泰州钱德春：“为什么规定横坐标在前，纵坐标在后？”教师当然可以告诉学生说是规定.那学生问：为什么要这样规定？关键是老师本身作过这样的思考了吗？

无锡姜鸿雁：这就与教师本身对数学的理解有关了.

南京诸士金：生活中你言我明，需要建立一个规则，前后规定，上下规定都是可以的，如何统一就是一种生成.

泰州钱德春：关于这个规定，我们可以举例子：部队指挥官在训练队列的时候，在排列整齐的队伍中要让一位士兵出列，怎么找？当然他得先看第几列（即横坐标），再在第几列中数第几排（即纵坐标），这样一个浅显的例子就能解释“为什么规定横坐标在前，纵坐标在后”了.

无锡姜鸿雁：如果我们不注意这些生活细节，就错过了很多思考的机会，须知数学源于生活.

泰州钱德春：再说地图上表示方位：为什么总是说南偏东（西）、北偏东（西），而不是说东偏南（北）、西偏南（北）？这里就涉及航海中的指南针（罗盘）地磁场中的南极、北极.

南京诸士金：“怎么找？”开放式的设问，不一样的回答，规定前横后纵是一种实际理解的必要生成.

泰州钱德春：所有这些都说明规定、概念需要合理性，也有必要统一规定.（补充：必要性，概念的统一有利于数学的交流、表述、传承）关于这个问题，大家可以看张乃达先生的文章，其中有一个零指数教学的.

泰州钱德春：概念的生成性，对学生而言，对概念的理解不可能一步到位，常常是一个不断发展、生成的过程.

无锡姜鸿雁：卜以楼老师在《“三个理解”是数学教学的基石》中也提到了生成性.

泰州钱德春：不少概念是从白描开始，逐步完善的，也就是裴光亚先生说的“从不严格到严格”.

无锡姜鸿雁：学生的认识过程是一个螺旋式上升的过程，不可能一步到位.

无锡朱宸材：同意，学习概念一定要建立在学生自己的思考之上，是一个逐渐内化、吸收的过程.

泰州钱德春：比如：角的概念，小学二年级就有了，小学四年级也学，到了初中、高中还学.但每一个阶段对角的描述和理解要求都不一样.

无锡姜鸿雁：不同时期有不同认识，一步步走向本质，一步步在提升.随着思考的角度不同，对概念理解的深度也不同.

南京诸士金：“混而不错”是一种对数学概念本质理解的功底体现，也是一种学生生成发展的引导方向之一.

泰州钱德春：我在《对“慢教育”的漫思考》（中学数学教学参考（中）2014年第7期）一文中有这样的文字：裴光亚先生认为“用直观语言描述”因为不严格而不能走太远，但要想走远必须先起步，又得从“不严格”开始，“不严格”正是为“严格”而设计的，“不严格”支撑着“严格”，严格又管制着“不严格”.从“不严格”到“严格”的过程，遵循了从低级到高级、从感性到理性、从简单到复杂的认知规律.例如：关于角的概念学习就分三个阶段，经历了从“不严格”到“严格”的过程.

南京诸士金：是的，教材的设计也许还不是尽美尽善，但这样的递进或者说是螺旋递进一则是为了兼顾学生的认知规律，另一则也是提供教学形态的研究模式，其实每个阶段的学习是可以生成的，但“慢体验”的积累是必须的.

泰州钱德春：回到角的学习上来.第一阶段：苏教版《义务教育教科书·数学》二年级下册第七单元《认识角》（P64），从现实情境里提取“角”，利用图形初步建立“角”的表象，没有给“角”下定义，而是侧重体会、感知、了解“角有一个顶点、两条边”.第二阶段：苏教版《义务教育教科书·数学》四年级上册第二单元《角》（P17）是在第一学段初步认识了射线、直观感知了角的基础上，通过画图初步建立“角”的描述性概念：“从一点起画两条射线，可以组成一个角”，并用多种图形理解对“角”的描述.第三阶段：苏科版《义务教育教科书·数学》七年级上册8.2《角》（P152）呈现了角的两种概念，一是静态的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；二是动态描述性定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，动态定义为高中学习任意角的三角函数做了铺添.由此可见，小学、初中数学教材的编排是作为一个有机整体思考的，让学生对“角”的认识从直观感知建立表象，到初步建立描述性概念，再到静态、动态的定义，逐步完善、渐趋“严格”.小学中角的概念“不严格”是为初中的“严格”做准备，从“不严格”到“严格”的过程，充分体现了一个“慢”字，这正基于对学生认知的规律的尊重与遵循，对学生智慧的唤醒与启迪.这种高观点、广视角、整体观，教材中不可能有太多的笔墨，但教者却不能没有思考.所以概念教学是逐步生成、生长与发展的过程，以学生认知基础、认知结构、认知心理为出发点，以课程目标为导向.

无锡姜鸿雁：“教材中不可能有太多的笔墨，但教者却不能没有思考”，教师责任重大.

盐城周咏梅：由感知到描述到静态、动态的定义，逐步完善、渐趋“严格”.

无锡朱宸材：在某一阶段有其特定的含义？

扬州张士明：概念的内涵和外延都在螺旋扩张！

泰州钱德春：这就是说对教材、对教学和对学生的理解，没有三个理解，如何教学？不理解数学，会把学生引向哪里？不理解学生，又怎么达成教学目标？不理解教学——教学规律、艺术，又怎么能架起数学与学生的桥梁？我在《为了你走近你读懂你依靠你》一文谈到函数的教学.

南京卜以楼：过去讲的教学有法，教无定法，教应得法，与三个理解有相近或相同之处.

无锡姜鸿雁：函数概念的教学一直是热点、思考点.

泰州钱德春：关于函数问题（《由3个8%想到的》（江苏教育·中学教学，2014（4））），初、高中教材根据学生的认知特点作了精心处理.苏科版《义务教育教科书·数学》是这样安排的：七年级上册第三章《代数式》“3.3代数式的值”第75页议一议：填表（详见教材）：根据所填表格，讨论下列问题：（1）当x为何值时代数式2x-1的值等于-1？（2）随着x的值增大，代数式2x-1、-3x的值怎样变化？（3）随着x的值增大，代数式的值怎样变化？结论：一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化.同一教材第四章《一元一次方程》的小结与思考中有这样的文字：代数式的值是随着代数式中字母取值的变化而变化的，如果字母的值确定，那么代数式的值也随之确定.反过来，像2x+1、5x-4、…这样的代数式，如果它们的值确定，那么通过解一元一次方程可以求得字母的值.修订版教科书八年级下册第十章《分式》第100页习题第4题安排了这样的问题：当a的值分别为0.01、0.1、1、10、100时，求分式的值，随着a的值变化，的值是如何变化的？教材的这种安排，让学生从起始年级就初步感受了函数思想，为函数的学习作了铺垫，虽没有言明“函数”二字，但无不渗透着函数的思想.八年级开始研究函数的描述性定义以及几种简单的函数（如一次函数、反比例函数和二次函数等），基本方法是通过作函数的图像、通过观察图像归纳出函数的一些基本性质.高一年级则对初等函数进行理论研究，如函数的定义（集合定义、映射定义），函数的定义域和值域，函数的性质如有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性等.

无锡姜鸿雁：是的，我今年教七年级，深有感触.

泰州钱德春：尽管在教学七年级相关章节时，不必向学生言明”函数”二字，但教师自己必须清楚教材这样编写的目的，并在课堂教学中有所体现.而八年级、九年级函数内容的教学，重点则是在研究函数的方法和思想上，基本方法是：函数表达式→列表→描点、连线→图像→性质（图像的位置、函数的变化趋势、范围、增减性）等.应该渗透的思想有：对应思想、运动变化的思想、数形结合思想、对称思想等.函数的图像是为了研究函数而建构的几何模型，利用其形象、直观的特点，通过操作、观察，归纳、抽象出函数的相关性质，是一种合情推理、归纳、抽象.而函数所有的特质都源自于函数表达式.高中则更多地从理性的角度解析函数的性质，揭示函数的本质.

盐城周咏梅：看来知识都是螺旋上升展现的.

南京卜以楼：概念教学要把握好：给例子，找属性，举例子，下定义，再辨析这几个教学环节.函数概念的建立也是如此.

泰州钱德春：这里想表达的意思是概念的生成性：一是一节课中概念的生成，二是概念整个学习过程中的生成.基于生成是一种人文关怀，基于生成的教育也是一种创新的教育，即不断引导学生去发现，学生不断有新的收获.

南京诸士金：教学有法——理解数学，数学本质具有科学的规律性，是有联系的知识体系；教无定法——理解学生，数学的学习过程中是有生成的，基于生成是一种人文关怀；教应得法——理解教学，一个具有规律的科学知识体系要引导学生去认知和探究，不得其法，不循其理，不仅会淡化数学本质，还可能弱化学生的思维，影响思维的发展.

盐城周咏梅：向钱老师学习，研究教材，理解教材.

泰州钱德春：再谈概念的发展性，人们总是力求用数学去刻画客观世界.比如人们总以为（或期待）某个数学概念（或数学模型）能够准确地描述客观世界，但随着认识的发展，发现原有的东西不能满足现实需要，有的还有很大的局限性，甚至是错误的，这就需要不断修正、完善和发展.

东莞张青云：这个世界是量化的世界.

无锡姜鸿雁：在生成中发展，在发展中不断生成.不知道理解得对不对？

南京诸士金：生成更侧重于理解学生，发展则更广义些，体现“理解数学”可能要多点儿.

泰州钱德春：当然，概念的发展性是从数学研究的视角来思考的，教学中应该渗透这种发展的逻辑关系，也可以作为数学文化来熏陶.

盐城周咏梅：感觉概念的螺旋上升出现本身就是一种发展.

泰州钱德春：比如，数的概念的发展：从自然数、算术数，到有理数、实数，再到复数.这些概念的不断生成、发展、完善的过程，以及这其中风风雨雨的故事，就足以说明.李邦河院士语：数学根本上是玩概念的.

东莞张青云：概念在发展，认知也在发展，量化世界的深度也在发展.

无锡姜鸿雁：数学推动人类的文明.

山东烟台聂小倩：教师对概念没有本质的理解，还教给学生，那将是灾难.

南京卜以楼：数学就是在定义、被定义这样一个基本循环中循环发展的.

山东烟台聂小倩：曾经听过几节“关于概率初步”的同课异构的课，就“确定事件”和“随机事件”的处理就看到了这两个概念的误解.

泰州钱德春：现在有少数老师的概念教学不注重过程性，固然有教师对概念理解的问题，还有一个不可回避的现实，就是老师被考试牵着鼻子走.你讲得再好不如学生考得好，有的老师虽然讲课不怎么样，但花时间练，总可以考得好.所以啊所以……

东莞张青云：讲与考脱离，使老师把握不了如何讲概念了.

无锡钱云祥：在听课中常发现淡化概念，略化定理探究过程的现象，竟然还美名其曰高效，其实这是舍本求末现象.

山东烟台聂小倩：如钱主任说的，自己的错误理解还直接教给学生.

南京诸士金：遇到一个新的未知，寻求一个基于本质、基于认同的规则是定义的过程，也是生成概念的过程；而知识的发展不会满足一家之言，也不会止步于一个概念，被定义既是对概念的进一步认识，也是对概念的生成继续探究的形式.确如卜以楼老师所言“数学在定义和被定义中的循环中发展”！

泰州钱德春：但从长远来说，还是应该遵循规律，真正能理解并正确地表达概念、运用概念，是数学素养的重要组成部分，讲概念的前提是教师对概念的内涵与外延有深刻理解.

盐城周咏梅：还是要基于理解，展现知识生成、发展的过程的.

泰州钱德春：教师自身都不理解，又如何去讲？这里回到开始的问题：讲概念的目的是什么？不是为概念而概念，而是因为有需要、因为有必要，概念的发展性是从数学研究来思考的.

诸城王甫森：顺应规律，理解概念：顺应发展规律、顺应普遍规律、顺应认知规律.

泰州钱德春：有些概念只能“白描”，如直线；有的概念是在源概念基础上定义，即种加属差式，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”；有的是对事实的抽象概括，即从某种角度抽象出同一本质属性；还有发生定义法……

盐城周咏梅：浦叙德老师在《中学数学教学参考》（中）2014年第9期的文章中谈到分式概念的教学，由分数引入，整个过程中始终类比分数得出分式的概念、性质，也基于整式的生长点，分式运算是整式的除法.文章认为这是概念常态中立意很高的课.

南京卜以楼：概念是将相同属性的东西打个包，为下一步研究提供方便.

泰州钱德春：事实上，如果学生能掌握概念，理清概念之间的关系，那么一定能学好数学.概念学习不仅是打包、命名的过程，同时还是抽象与浓缩的过程.

诸城王甫森：理清概念之间的关系，是理解数学概念的维度之一.

泰州钱德春：建议各位多看卜以楼老师的文章，其层次性、逻辑性都很强.看卜特的文章是一种享受.

无锡姜鸿雁：专家们的文章都值得阅读、思考.大师的文章写出了其他人想到的却表达不出来的，更写出了其他人没有想到的，越读越有味儿，感谢诸如《中学数学》这样优秀的数学杂志为我们广大一线教师提供学习的平台，感谢专家、名师把自己的智慧与我们分享.

东莞张青云：我刚刚拜读过读钱主任的《重组、补白、拓展》，感觉美极了.

无锡姜鸿雁：很快，一个半小时的时光在聆听、交流、碰撞中度过了，感谢钱主任带给我们耳目一新的高度，从“三个价值”“四个特性”的角度诠释概念教学，为我们的概念教学指明了方向；感谢诸校长的金玉良言，感谢卜特的画龙点睛，感谢所有网友的讨论，愿我们的概念教学因研讨越来越有深度、有价值，把有价值的讨论结果带进我们的课堂，惠及我们的广大学生！（形成本文时有删改）