以“微话题”为导向，在探讨中促生成——由“圆锥的侧面积和全面积”教学说起

☉江苏省南通市陈桥中学　陈建均

以“微话题”为导向，在探讨中促生成
——由“圆锥的侧面积和全面积”教学说起

☉江苏省南通市陈桥中学陈建均

本节课是在进行初中数学“微话题探讨式学习”教学策略研究过程中，笔者代表课题组开设了一节“圆锥的侧面积和全面积”的区级公开课.

一、教学简录

笔者在课前布置学生用纸或纸板制作一个有底的圆锥模型.

上课伊始，笔者首先请学生在小组内交流制作过程，谈谈制作过程中遇到的问题或心得.笔者在参与小组探讨过程中发现学生知道圆锥的侧面展开图是扇形、圆锥的底是圆，探讨的话题主要集中在：（1）画出扇形后，如何给围出的圆锥配一个合适的底；（2）画出圆后，如何配一个合适的侧面.

师：为什么你选择画扇形和圆？（微话题一）

学生的结论是圆锥的侧面展开图是扇形、底面是圆.笔者进一步追问“为什么圆锥的侧面展开图是扇形？”学生探讨的结论是圆锥的顶点到底面圆上各点的距离相等，根据圆的学习，圆锥的侧面展开图是扇形.

师：刚才大家提到圆锥的顶点到底面圆上各点的距离相等，这样的线段有无数条.你能给它们起个名称、下个定义吗？（微话题二）

在侧线、外侧线、围线、母线等名称的讨论中，最终母线胜出.学生认为这些线段好像母亲环抱着自己的孩子，把这些线段叫做母线准确而形象.学生给出的定义是连接圆锥的顶点到底面圆上各点的线段叫做圆锥的母线.

师：很多同学选择先画扇形，再给围出的圆锥配一个底，你能给出这个底面圆的半径吗？（微话题三）

其中一组学生提出：把围出的圆锥扣在纸上，利用“不在同一直线上的三个点确定一个圆”找出圆心，量出半径.笔者对该方案给予充分肯定的同时提出“这个方案容易出现误差，能够通过计算提高准确度吗？”学生探讨的结论是量出扇形的圆心角和半径，再利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，求出底面圆的半径.

师：有少部分同学选择先画圆，再配圆锥的侧面，你认为最大的困难在哪里？如何解决？（微话题四）

学生很快就明确了最大的困难在于求扇形圆心角的度数.关于如何求扇形的圆心角，学生探讨的结论是量出底面圆的半径和扇形的半径，再利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，从而求出扇形的圆心角.

师：两种解决方案都用到了一个等量关系，这个等量关系是什么？你能依据两种解决方案，出两道数学简答题给小组内的同伴做吗？（微话题五）

学生注意到等量关系是圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长.两种方案对应两道题：（1）已知圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求底面圆的半径；（2）已知圆锥底面圆的半径和侧面展开图扇形的半径，求扇形的圆心角.

师：老师这儿也有一道题：已知圆锥的母线长是2，底面圆半径是3，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是____°.你帮老师想想.（微话题六）

部分学生算出540°后认为完成了；部分学生在仔细检查解题过程中，试图在计算上发现问题；部分学生在小声议论题目出错了.

师：错在哪儿？为什么？（微话题七）

学生探讨的结论是圆锥的底面圆的半径、高、母线构成了一个直角三角形，斜边大于直角边，所以此题出错了.

师：老师手中的这个圆锥模型，底面圆的半径r＝3，母线l＝5，你能帮老师算出用了多少面积的纸板吗？（微话题八）

笔者在参与小组探讨中发现大部分学生先求圆锥侧面展开图扇形的圆心角，再求扇形的面积；少部分学生利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长的等量关系，结合扇形弧长与扇形面积之间的联系求出扇形的面积；少部分学生没有加上底面积.

笔者请两位学生板书了两种求圆锥侧面积的方法.

师：圆锥的底面圆的半径r＝2，母线l＝3，你能快速算出圆锥的侧面积吗？说说你是怎么做到的？（微话题九）

部分学生发现圆锥的侧面面积等于πrl.笔者追问“你会推导吗？”引导学生完成证明.笔者又说：“老师再给大家出一道抢答题.圆锥的底面圆的半径为5，高为12，求圆锥的侧面积.”

部分学生的答案是60π，部分学生的答案是65π.

师：为什么会有不一样的答案？问题在哪儿？（微话题十）

部分原先答案是60π的学生在反思自己的方法后很快发现了其中的问题.笔者请其中的一位学生讲了做这道题的体会：在使用公式时要注意看清条件.

师：老师的这个圆锥模型，有同学算出需要15π的纸板，有同学算出需要24π的纸板，你认为哪个答案是正确的，请说明理由.（微话题十一）

学生指出前者少算了底面积，这是一个有底的圆锥模型，它的表面积应该是底面积和侧面积的和.

师：在这节课的话题研讨中，你认为这节课中最大的学习收获是什么？请跟你的同伴进行交流.（微话题十二）

学生谈到最有意思的是母线的命名；学生谈到制作圆锥模型需要运用等量关系——圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长；学生谈到最有价值的发现是圆锥的侧面面积公式.

二、以“微话题”为导向，在探讨中促生成

“微话题”简单来说就是小的谈论的主题.在本节课中，笔者通过设置“用纸或纸板制作一个有底的圆锥模型”的活动引出了微话题“如何用纸或纸板制作一个有底的圆锥模型”，并在此基础上围绕学生出现的问题、知识的内在联系设置了若干“微话题”，最终达成本课的学习目标.

1.抓住学生出现的问题

笔者认为课堂教学要关注学生存在的问题，在学生的问题上多花时间，引导学生提出问题、分析解决问题；同时课堂时间又是有限的，笔者认为需要选择典型的问题进行探讨，非典型问题小组内探讨解决.在本节课中，学生带着问题走进课堂，首先在小组内交流，进行小组内的微话题探讨.笔者参与其中了解了学生探讨的微话题后，筛选出了全班探讨的两个微话题.本着优先考虑大多数学生的问题，确定了两个微话题的顺序，分别对应微话题三、四.对于后面发现的两处典型性错误，笔者安排了两个微话题，促进学生的反思，加深对公式的理解和认识，分别对应微话题十、十一.

2.顺应知识的内在联系

笔者认为课堂教学要顺应知识的内在联系，在知识的自然生长上多花时间.宏观上，微话题“如何用纸或纸板制作一个有底的圆锥模型”构成了本节课探讨的主线.微观上，学生虽然知道圆锥的侧面展开图是扇形，但是局限于感性的认识并未进行理性的分析，因此，笔者安排微话题一引导学生加以思考，并自然引向微话题二探讨出母线的概念和定义.笔者又利用微话题六的探讨引出圆锥的底面圆的半径、高和母线三者之间的关系.

3.在探讨中促生成

初中生的数学学习应该更轻松、活泼，这样更符合初中生的年龄特点，更有益于提高学生的学习兴趣，推动学生的长远发展.本节课笔者始终和学生保持平视，和学生一起合作学习，从小组的探讨到全班的探讨，推动学生的思考，让学生的思维自然地向前发展.学生的自主思考学习，生生、师生的合作学习交替出现，互动错落有致，思维的火花不时迸发.

1.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3-5）.

2.郑毓信.“数学教师的基本功”之三善于优化［J］.人民教育，2008（20）.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.