自主招生试题中函数迭代问题的探究

☉北京师范大学 吕孙忠

☉北京师范大学珠海分校应用数学学院高文华

自主招生试题中函数迭代问题的探究

☉北京师范大学 吕孙忠

☉北京师范大学珠海分校应用数学学院高文华

在大学的自主招生考试中，函数迭代占了非常重要的位置.随着每年考试的进行，迭代函数题目的呈现方式也越来越丰富多彩，它的不变性质尤为热门，常常与数列、不动点、集合等知识联系在一起.当然，解决这种问题的核心是熟练应用函数的性质，对数形结合、反证法等数学思想都有所依托，并熟练应用.

本文主要研究了三道自主招生中迭代函数问题，分别是2008年上海交大，2010年浙江大学，2012年北京大学的自主招生试题，并对它们逐一分析并推广，得到了若干推论，以期对考生和一线老师有所帮助.

一、定义与引理

设f（x）：R→R，记f（1）（x）=f（x），f（2）（x）=f（f（1）（x）），…，f（n）（x）=f（f（n-1）（x））（n≥2，n∈N），将f（n）（x）称为函数f（x）的n次迭代.

本文的证明需要用到以下三个引理：

引理1实数域中n次多项式至多有n个（不同的）零点.［1］

引理2奇数次的实系数多项式至少有一个实根.［2］

引理3对任意实数域上的n次多项式f（x），f（x）有标准分解：（fx）=a（x-α1）m1…（x-ak）m（k
x2+a1x+b1）n1…（x2+其中a及诸ai，bi，αi都是实数，-4bi＜0（1≤i≤l），且m1+…+mk+2n1+…+2nl=n.［3］

二、二次函数问题

例1（2008年上海交通大学）已知函数f（x）=ax2+ bx+c（a≠0），且f（x）=x没有实数根，那么f（f（x））=x是否有实数根？证明你的结论.

解析：若a＞0，f（x）的图像是开口向上的抛物线，由f（x）=x没有实数根，知y=f（x）在直线y=x的上方，所以对任意的x，f（x）＞x恒成立，于是f（2）（x）＞f（x）＞x；同理若a＞0，则有f（x）＜0恒成立，于是f（2）（x）＜f（x）＜x.所以f（2）（x）=x没有实数根.

点评：本题是一道二次函数的迭代问题，将函数和其图像结合在了一起，利用了数形结合的思想，大大减轻了该题的运算量.

对于常规的函数问题，如果可以利用其图像的性质，数形结合是解题的一种良方.此外，此题还可以利用判别式验证解题，但方法较为复杂，计算量较大，具体见文3、文4.进一步提问，这种性质在三次函数或者更高次的函数中还成立吗？迭代次数又如何？下面就f（x）的最高项次数和迭代次数展开一些讨论.

推论1：已知函数f（x）为二次函数，若f（x）=x没有实数根，则f（n）（x）=x（n≥2）没有实数根.

解析：易知y=f（x）的图像恒在y=x的上方或下方，由不等关系的迭代可得f（n）（x）=x没有实根.

推论2：已知函数f（x）为n次多项式，若f（x）=x没有实数根，那么n为偶数，且f（n）（x）=x（n≥2）没有实数根.

解析：由引理2可知n为偶数，由f（x）=x没有实数根，可知y=f（x）的图像恒在y=x的上方或下方，由不等关系的迭代可得f（n）（x）=x没有实根.

集合和函数是高中数学的核心内容，它们在大学自主招生数学试题和数学竞赛中有着重要的地位，将函数迭代和集合联系在一起，也可以得到很多有意思的结论.

推论3：集合M=｛x|f（x）=x，x∈R｝与集合N=｛x|f（n）（x）= x，x∈R｝，其中f（x）为实数域上的偶次多项式，如果M为单元素集，那么集合M=N.

解析：不妨设f（x）为实数域上的m次多项式，m为偶数，已知M为单元素集，则根据引理3，可知f（x）-x=a（x-不妨设a＞0，则m1=m-2n1-…-2nl，则m1为偶数，所以f（x）≥x在R上恒成立，所以f（n）（x）≥…≥f（x）≥x，当且仅当在x=α1时等号成立，所以M=N.同理，当a＜0时也成立.

推论4：集合M=｛x|f（x）=x，x∈R｝，集合N=｛x|f（n）（x）= x，x∈R｝，其中f（x）为实数域上的m次多项式，如果f（x）-x可以分解为且m1，…，mk均为偶数，那么M=N.

解析：不妨设a＞0，根据f（x）-x的分解式，其中m1，…，mk均为偶数，所以f（x）≥x在R上恒成立，且集合M=｛α1，…，αk｝，所以f（n）（x）≥…≥f（x）≥x，当且仅当x=α1，…，αk时等号成立，所以M=N.同理，当a＜0时也成立.

推论5：集合M=｛x|f（x）=x，x∈R｝，集合N=｛x|f（n）（x）= x，x∈R｝，其中f（x）≥x（或f（x）≤x）恒成立，那么M=N.

解析：由不等关系的迭代即可得.

三、抽象函数问题

例2（2010年浙江大学）设集合M=｛x|f（x）=x｝，N=｛x|f（f（x））=x｝.

（1）求证：M⊆N；

（2）若f（x）是R上的单调函数，是否有M=N？若有，请证明.

解析：（1）若M=Ø，则M⊆N；若M≠Ø，则对任意x0∈M，f（x0）=x0，有f（2）（x0）=x0，所以x0∈M，从而有M⊆N.

（2）若N=Ø，又由（1）知M⊆N，从而有M=N；若N≠Ø，任取x0∈N，即有f（2）（x0）=x0.下证f（x0）=x0，用反证法证明之.若f（x0）≠x0，不妨设f（x0）＞x0，由于f（x）是一个在R上单调递增的函数，从而f（2）（x0）＞f（x0）＞x0，这与f（2）（x0）=x0矛盾！同理f（x0）＜x0时，也会产生矛盾.故必有f（x0）=x0，即x0∈M，从而有N⊆M.又由（1）知M⊆N，从而有M=N.

点评：该题是一道抽象函数的问题，因其抽象性，对思维的灵动性要求很高，并且本题条件简单，巧妙利用反证法，得出矛盾是本题的解题关键.

推论6：集合M=｛x|f（x）=x，x∈R｝，集合N=｛x|f（n）（x）= x，x∈R｝，其中f（x）为严格单调递增函数，则M=N.

解析：若N=Ø，显然成立；若N≠Ø，M⊆N显然成立，现证N⊆M，任取x0∈N，即有f（n）（x0）=x0，若f（x0）＞x0，则f（n）（x0）＞…＞f（x0）＞x0，这与f（n）（x0）=x0矛盾，同理f（x0）＜x0也不成立，所以必有f（x0）=x0，则N⊆M，故有M=N.

四、函数数列问题

例3（2012年北京大学）已知f（x）为一个二次函数，且a，f（a），f（f（a）），f（f（f（a）））成正等比数列，求证f（a）=a.

解析：因为a，f（a），f（2）（a），f（3）（a）成正比数列，所以，由共线知识，可得点A1（a，f（a）），A2（f（a），f（2）（a）），A3（f（2）（a），f（3）（a））这三点共线，即一条直线和二次函数的曲线有三个交点，这与引理1矛盾，所以f（a）=a.

点评：该题将二次函数的迭代与数列的通项联系在了一起，解题的核心是在利用二次函数性质的基础上，借助反正法和等比定理.

推论7：若f（x）为一个n次多项式，且a，f（a），f（2）（a），…，f（n+1）（a），f（n+2）（a）成等比数列，则f（a）=a.

解析：因为a，f（a），f（2）（a），…，f（n+1）（a），f（n+2）（a）成正比数列，所以果f（a）≠a，则

由共线知识，可得点A1（a，f（a）），A2（f（a），f（f（a）），…，An+1（f（n+1）（a），f（n+2）（a））这n+1个点共线，即一条直线和n次多项式的曲线有n+1个交点，这与引理1矛盾，所以f（a）=a.

推论8：若f（x）为一个二次函数，且a，f（a），f（2）（a），f（3）（a）成等差数列，则f（a）=a.

解析：因为a，f（a），f（2）（a），f（3）（a）成等差数列，若公差d≠0，则f（a）-a=f（2）（a）-f（a），f（2）（a）-f（a）=f（3）（a）-f（2）（a），将两式两边分别除以f（a）-a和f（2）（a）-f（a），得得到矛盾，所以d=0，故f（a）=a.

五、小结

综上，一些函数的证明问题，我们若能根据它的条件和结论，利用其图形的特点，数形结合，巧用反证法，不但可以有效地优化解题的方法，筒化解题的步骤，而且有利于将函数和数列、集合等其他数学知识联系在一起，培养学生的数学思想，提高学生的数学情操.但涉及函数迭代的试题之多，方法多样，是非常很复杂的，这里只做了一些简单的介绍，其他美妙的考题，等待着有兴趣的读者去继续研究.

1.冯克勤，余红兵，编著.整数与多项式［M］.北京：高等教育出版社，1999.

2.冯贝叶.多项式和无理数［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.

3.梁懿涛.高校自主招生数学试题中集合与函数问题的归类分析［J］.中学数学研究，2013（5）.

4.凌明灿.自主招生专题——函数迭代与不动点问题［J］.中学数学杂志，2013（7）.FH