2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

☉浙江省湖州市双林中学 李建潮

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

☉浙江省湖州市双林中学 李建潮

一、赛题的“根”

2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题（以下简称“赛题”）：设实数a，b，c满足a+b+c=1，abc＞0，求证：bc+ ca+ab＜

看赛题，笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题：（2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题，以下简称“试题”）设非负实数a，b，c满足a+b+c=1，求证：bc+

从结构看，试题（2）与赛题（1）如出一辙，且当a，b，c都是正数时，只需由（2）式去证明（1）式即可.不得不说，试题（2）就是赛题（1）的“根”.伴随而至，探究“根”的证法也随之凸现出来……

二、试题“根”的新证

下面是关于“根”的两种新颖证法.

证法1：（消元法）不妨设0≤a≤b≤c，则由a+b+c=1，知0≤a≤.于是（bc+ca+ab）-abc=a（b+c）+bc≤a（b+c）+（1-a）2（4-9a）（因（1-3a）2≤

移项，试题（2）获证.

证法2：（抽屉原则）注意到当a=b=c时（2）式取得“=”号这一题眼，对任意的三个实数a，b，c，由抽屉原则，知其中必有两个同时不小于（或不大于），不妨设这两个实数是b，c，则≥0，即3（b+c）≤1+9bc.

于是4（bc+ca+ab）=4bc+4a（b+c）≤（b+c）2+4a（b+c）=（b+c）（4a+b+c）=（b+c）（1+3a）=（b+c）+3a（b+c）≤（b+c）+ a（1+9bc）（因a≥0）=1+9abc.

由此，试题（2）获证.

以上两种证法足以让本来的试题（2）“老树发新芽，旧貌变新颜”.

三、赛题“根”的证明

用“根”（2）式极易证明赛题（1）.

证明：由abc＞0，知a，b，c都正，或一正二负.

当a，b，c中一正二负时，不妨设a≤b＜0＜c，则bc+ca+ ab=a（b+c）+bc=a（1-a）+bc＜0.

（1）式显然成立.

综上，赛题（1）得证.

据上所证，建议把赛题（1）更改为：设实数a，b，c满足a+b+c=1，abc＞0，求证：bc+ca+ab≤

四、盘“根”错节

看下面关于试题（2）的第三种证法.

证法3：试题（2）等价变形为：-1+4（bc+ca+ab）-8abc≤abc⇒1-2（a+b+c）+4（bc+ca+ab）≤abc⇒（1-2a）（1-2b）（1-2c）≤abc⇒（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc（因为a+b+c=1）.

以上最后一个不等式实为1983年瑞士数学竞赛的一道试题：已知a，b，c都是正实数（笔者注：改为“都是非负实数”，证法与结论不变），试证：（b+c-a）（c+a-b）（a+ b-c）≤abc.（4）

所以，试题（2）成立.由此可见，（4）式系试题（2）的“根”，而试题（2）又系赛题（1）的“根”——盘“根”错节，大饱眼福.

五、“根”的延伸

深入探究（4）式，获其延伸.

引申1：设a，b，c都是正数，则（a+b+c）3（b+c-a）（c+ab）（a+b-c）≤27（abc）2.（5）

引申2：设a，b，c都是实数，则（a+b+c）3（b+c-a）（c+ab）（a+b-c）≤［8abc+（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）］2.（6）以下只给出引申2的证明.

证明：令b+c-a=2x，c+a-b=2y，a+b-c=2z，解出a=y+z，b=z+x，c=x+y.

代入（6）式化成：［2（x+y+z）］3·2x·2y·2z≤［8（y+ z）（z+x）（x+y）+2x·2y·2z］2⇒3xyz（x+y+z）3≤［（y+z）（z+ x）（x+y）+xyz］2.（7）

注意到代数恒等式：（y+z）（z+x）（x+y）+xyz=（x+y+z）·（yz+zx+xy），知（7）式即为3xyz（x+y+z）3≤（x+y+z）2（yz+ zx+xy）2⇐3xyz（x+y+z）≤（yz+zx+xy）2.（8）

而由常见不等式：（a+b+c）2≥3（bc+ca+ab）（a，b，c∈R），易知不等式（8）成立.

因此，引申2得证.

值得一提的是，引申2是一个全新的不等式.

1.侯典峰.一道预赛解答题的另证［J］.中学数学（上），2010（12）.F