圆锥曲线的切线

张和平

直线和圆锥曲线的位置关系中，相切是一种特殊而重要的关系，在各种级别的考题中，也常常出现切线的身影，而且圆锥曲线本身就是其切线族的“包络”，但课本对切线的描述却十分吝啬，因此笔者从定义、作法、性质等方面对圆锥曲线的切线进行了一些探究，现把探究的结果整理成文，望同行们指正.

一、圆锥曲线切线的定义

设P（x0，y0）是圆锥曲线C上一定点，P（xn，yn）是该曲线的动点，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线C在P处的切线.

二、圆锥曲线切线的作法

下面以椭圆为例，介绍切线的尺规作法.

1. 过椭圆上一点作椭圆的切线.

作法：以点M为圆心，MF2长为半径作⊙M，再以F1为圆心，2a长为半径作⊙F1，两圆相交于点A、B，连接AF2，BF2，过点M分别作AF2，BF2的垂线，两垂线就是所求的切线（证明略）.想说明一下的是，山东实验中学的宋文革老师曾在文（1）中介绍过切线的作法，但他的作法是先求出切线的方程，把方程化为截距式后，利用比例作出截距，再得切线，作法较繁锁，而且还有错 双曲线和抛物线的切线都有类似的作法，此处不再赘述.

三、切线的性质

类似于圆的切线，有心圆锥曲线（椭圆和双曲线）也有一些类似于圆的性质.

性质1：有心圆锥曲线的切线及过切点的直径斜率存在时，则切线和过切点的直径所在直线的斜率之积为定值（对应于圆中：切线垂直于过切点的半径）.

性质2：过有心圆锥曲线外一点P作曲线的切线PA、PB（A、B为切点），则直线PO（O为坐标原点）平分线段AB.

由于圆锥曲线有自己特有的准线和焦点为，所以它们还有一些圆所没有的性质，现给出其中的两条典型性质：

性质4：过准线上一点作圆锥曲线的切线，则切点弦过焦点.

性质5：过圆锥曲线焦点弦两端点的切线必相交且交点在准线.

限于篇幅，本文不再给出以上性质的证明.

责任编辑 罗 峰