构造法在数学解题中的一些简单应用

王燕兵

摘 要： “构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有重要作用.本文从“构造函数”、“构造数列”等常见构造及“构造模型”等特殊构造出发，例谈构造法在数学解题中的运用.

关键词： 构造法 化归 数学解题

近年来，构造法的应用逐渐为高考所重视，在竞赛中有着一定的地位.下文结合一些常见的例题介绍构造法在解题中的运用.

1.构造代数式

在解决某些数学问题时，利用矛盾对立统一性，可以充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数与式，架设解决问题的桥梁.

2.构造函数

在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段.构造函数证（解）问题是一种创造性思维的过程，具有较强的灵活性和技巧性.在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标.

易证f（x）在R上是奇函数且单调递增

∴f（x）=-f（y），即f（x）=f（-y）.

又∵f（x）是增函数，∴x=-y即x+y=0.

3.构造方程

方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关.根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解.构造方程是初等代数的基本方法之一.

说明：有些不等式的证明，如果借助已知条件的特点，通过构造二次函数来处理就会非常简捷，这种例子很多.

4.构造数列

在处理与正整数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径.如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解.

如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，就可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论.

其几何意义是平面内动点P（x，0）到两定点M（2，3）和N（5，-1）的距离之和（如图1）.

为求其值域只要求其最值即可.

易知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时，

综上，构造法体现了数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是凭空“臆造”，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、发现问题的各个环节及其中的联系，从而为寻求解法创造条件.但还必须指出，构造法并非是解题唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，又能用其他方法求解，应在学习研究的过程中注重對学生创造性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性地构造解决问题的有利条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验.