有效操作，直抵概念本质

郑秀铭

“倍的认识”在人教版实验教材中是安排在二年级上册“7的乘法口诀”之后的，主要让学生通过实际操作，获得大量的感性认识，逐步形成“倍”的概念，并利用以前所学习的知识，让学生理解“求几个几就是求一个数的几倍是多少，用乘法计算”。新教材把这部分知识向后推移至三年级上册，这是考虑到等除法知识学习之后再教这部分内容，让学生对“倍”的知识学习会更完整。新教材中，例1保留原有的内容，但更注重通过有效的情境引导学生通过观察、圈、摆等活动，帮助他们获得大量的感性认识，逐步建立“倍”的概念，理解倍的意义。所不同的是新教材中例2和例3教学，是从现实生活的问题解决中，帮助学生理解求一个数是另一个数的几倍用除法计算，以及求一个数的几倍是多少用乘法计算。这样的设计使学生对“倍”的概念了解更全面，理解深刻，充分展示“倍”的知识内涵，更显科学与合理。基于这样的认识，第一节课主要是学生接触“倍”的概念，目的是通过活动让学生逐步建立倍的概念，理解倍的概念。因此，本节课笔者设立了以下教学目标：1.通过探究活动帮助学生建立倍的概念，理解倍的意义；2.通过学习培养学生观察、操作、推理、迁移以及口头表述能力；3.注重培养学生认真观察、善于思考的良好学习习惯和学习数学知识的兴趣。下面谈谈笔者在“倍的认识”教学中，围绕“观察操作—有效展示—分享思考”的方式，引导学生有效操作，层层深入理解“倍”的概念。

一、观察操作，初识概念

观察与操作是引导学生有效理解概念的一个平台。通过观察与操作，学生能够在数形结合中找到理解概念的支撑点。学生在独立观察、操作与合作探究中，逐渐接近概念、认识概念。

本节课在学生认真观察情境后，让学生带着问题寻找有价值的数学信息：从图中你能获取哪些数学信息？当学生找出“胡萝卜2根、紫萝卜6根、白萝卜10根”的信息后，分三步进行教学：1. 说一说：利用以前学过的知识说一说胡萝卜和紫萝卜之间的关系，让学生说出6根里有几个2根，目的是让学生知道这里面也蕴含着二年级学习过的“几个几”的知识。当学生说出是3个2根时，教师可以告诉学生：此时可以说紫萝卜的根数是胡萝卜根数的3倍。2. 圈一圈：让学生根据胡萝卜和白萝卜的关系圈一圈，看白萝卜根数里有几个胡萝卜根数，并说一说——白萝卜根数是胡萝卜根数的几倍？即白萝卜的根数是胡萝卜根数的5倍。3. 议一议：观察上面的两次操作的结果，让学生说一说——有什么发现？引导学生总结出——一个数里有几个另一个数，就可以说一个数是另一个数的几倍。

上述三步走的形式，自然地以旧引新，实现了新旧知识的有效对接，扫平了学生初识倍的概念时的认知障碍，为后续进一步建构倍的概念提供了可能。

二、二次操作，建构概念

概念教学过程中应该要引导学生进行多次操作活动，在积累一定活动经验的过程中，慢慢建立起概念丰富的表象。第一次操作，由于学生对本概念认识处于初级阶段，学生的操作比较机械、随意，对倍的概念的认识还很模糊，并未构建起一个完整的倍的概念。这个时候就有必要引入二次操作，通过第二次有目的的操作，学生从被动无序操作向主动有序操作迈进。在操作与思辨中，模糊的倍的概念才会慢慢变清晰，从而在学生的头脑中逐渐建构起完整的倍的概念。

本环节二次操作分三步进行。1. 摆一摆：第一行摆3个、4个、5个圆片，要求第二行摆的是第一行的3倍，请各小组合作摆一摆，并说一说摆的理由。2. 分享展示：学生展示第一行摆3个○，第二行摆9个○，第二行有3组的3个○，所以第二行摆的圆片个数是第一行的3倍；接着让学生展示第一行摆4个○和5个○，第二行分别摆12个○和15个○，并让学生说一说为什么第二行摆的是第一行的3倍。3. 思考：观察摆的结果你有什么发现？学生通过讨论得出：谁的3倍就摆3个谁。通过上述活动，让学生对“倍”有更进一步的理解。

三、思维操作，直抵本质

二次操作虽然可以让学生对倍的概念有进一步的认识，但是学生对倍的概念还是停留在利用直观操作来认识倍的概念阶段，没有上升到对倍的概念本质的理解。因此在前面两次操作的基础上，必须引导学生脱离实际操作，利用头脑想象摆的过程，摆脱实物的束缚，在思辨中发现共性，从而脱离具体数量，真正地从知识的角度去诠释倍的概念。

因此，本环节笔者变化操作方式，让学生不动手摆，而是直接思考怎么摆。即如果教师把第一行摆3个、4个、5个的条件中的“3个、4个、5个”去掉，变成括号，提问：还可以怎么摆？也能使得第二行摆的数量是第一行的3倍？要求学生思考、描述出不同的摆法，再引导学生讨论这些不同摆法的异同点，重点思考“每次摆的圆片数量不同，为什么都可以表示第二行圆片的数量是第一行圆片数量的3倍”。这样思维操作活动，使学生脱离具体的数量思考倍的意义，即如果选定一个量为标准量，即1倍数，那么第二个量有几个这样的标准量，就是第一个量的几倍。思维操作时，学生更加关注操作背后的思维，更深刻地认识了1倍数、倍数和几倍数之间的真正联系与区别，使学生脱离直观去深入地理解倍的概念的本质内涵。

笔者觉得学生是学习的主人，整个数学概念的学习过程必须以学生为主体，教师只是引导者与合作者。本节课的教学，笔者彰显学生主体地位，让学生在学习的过程中，既通过独立操作自主地学习数学知识，又在合作与思辨中一步步揭示“倍”的概念内涵。在“观察操作—有效展示—分享思考”大框架的引领下层层递进，让学生通过动手摆、认真思考和有效说理，使学生的脑海里关于倍的概念的表象在观察与操作、独立思考与合作探究中，找出知识间的共同特征，从而逐渐形成较为清晰的“倍”的概念。最后，通过脱离实物在脑中操作思考，完成对倍的概念本质的准确诠释。

（作者单位：福建省罗源县实验小学 本专辑责任编辑：王彬）