三侧恒温下组分对2D-FGM板瞬态温度场的影响研究

张宏建，黄志刚，李梦林

（北京工商大学 材料与机械工程学院，北京 100048）

0 引言

功能梯度材料（FGM）是一种由两种或两种以上性质完全不同的材料组成的新型复合材料，其各组分材料所占的体积分量随空间位置的改变呈连续变化，其宏观物性系数也表现出随空间位置连续变化的性质。根据结构使用要求，基于计算机辅助设计和优化，应用先进材料制作工艺将两种或两种以上性质完全不同的材料组合在一起，以达到不同材料优点充分体现的目的。合成的结构在内部材料性质和组分具有连续梯度变化的性质，在外力或温度变化作用下，结构的性质和功能也会呈梯度变化[1，2]。

由于功能梯度材料（简称FGM）在航空、航天以及核反应堆等超高温工作环境中的应用日益广泛，分析该材料组成物体的热传导问题十分重要[3，4]。许杨健[5，6]等用有限元法和有限差分法研究了FGM 板在第一类和第三类热边界作用下的常物性和变物性瞬态热传导问题。Jin Zhihe[7]等研究了有限冷却/加热率下FGM 板热传导问题的渐近解。本文应用有限单元法求解该问题，主要研究了三侧恒温下组分对常物性2D-FGM 板瞬态加热温度场的影响。

1 分析模型与描述

研究常物性二维FGM 平板在不同边界温度函数作用下的温度场分布。其热传导微分方程可通过热力学第一定律来建立，即结构中一微元体由于温度变化产生的热量等于外热源传入微元体的热量和内热源产生的热量之和。可表示为：

式中：dQch—储存到微元体中的热量；dQsh—内部热源提供的热量；dQT—微元体升温所需的热量。

模型图如图1 所示。单位时间传入微元体热量dQch=单位时间微元体热源生成热量dQsh=qvdxdy；式中：qv—热源强度；单位时间微元体温度改变所需热量式中，ρ—微元体密度（kg/m3）；cρ—微元体的定压比热（J/（kg·K））。微元体热传导微分方程可表示如下：

图1 热传导微分方程推导模型Fig.1 The applied model of twodimensional heat conduction equation

将式（2）左右两侧同时对研究区域积分，结构热传导微分方程如下：

式中：kx，ky—热导率。

2 算例与分析

2.1 模型选取

以图2 所示，由Al 1100，Ti-6Al-4V 和ZrO2三种材料组成的二维金属/金属/陶瓷FGM 平板为主要研究模型，研究第一类换热边界条件下模型的瞬态温度场分布以及组分对板的影响。本文结合FGM 实际应用环境和边界条件对研究模型作如下假设：

（1）二维功能梯度板上边界为陶瓷ZrO2材料，下边界左面是金属Al 1100 材料，右面是金属Ti-6Al-4V 材料，其物性系数是坐标x，y 的连续函数。

（2）该板的加热边界条件为：初始温度为已知值T0，突然在四周边界施加第一类换热边界条件为Ta，Tb，Tc以及Td。

图2 第一类换热边界条件下的2D-FGM 板Fig.2 The first kind of heat transfer boundary conditions of 2D-FGM plates

（3）该板周边绝热，内部无内热源。

该分析模型宽度为l，厚度为b。模型与坐标系选取如图2 所示。

2.2 有限元解析解

将平面离散成N 个三角形单元，单元面积为S，三个节点按逆时针转向以i，j，k 表示。时间过程划分为n个间隔△tn，n=2，3，…，N。全部节点在瞬时tn-1的温度值为Tn-1。在△tn内，在对流换热边界条件下，常物性FGM 板瞬态温度场热传导问题的有限元基本方程[8]为：

2.3 正确性检验

设平面矩形区域宽为l=40mm，厚为b=10mm。矩形区域四周均作用第一类边界条件0K，初始温度为300K。根据有限元基本方程，使用Fortran 计算机高级语言编写了平面网格自动划分程序和常物性FGM 平面热传导有限元计算程序，将矩形区域划分为1701 个节点，3200 个单元。并应用数学分析方法得到简化后的解析结果，与有限元程序结果进行对比，检验研究结果的正确性。

表中FEM 表示有限元解，MAM 表示数学分析解，并选取了平面区域水平中线上7 个点的温度值。计算t=1.0s，3.0s，5.0s 时该研究模型特殊非均匀材料平面温度场。

表1 温度场正确性检验Tab.1Testifyingtemperaturedistributionaccuracy

从以上误差分析可知，在每一时刻两种热传导解的最大误差都远小于5%，这是可以满足工程要求的。

3 结果与讨论

上边界加热温度Tb为900K，左右下边界温度值Tc、Td和Ta取300K 时，初始温度为300K，t=1.0s 时刻形状分布系数mx对板影响的温度场结果如图3 所示。

（1）2D-FGM 板平面几何结构及其外在温度载荷关于轴对称，在不同组分形状分布系数下，系数由小到大，瞬态温度场分布图3（a）～（c），由关于轴a=0.5 对称变为非对称再到对称。

图3 mx对板影响图Fig.3 mxeffects on board

（2）随着组分形状分布系数的递增，图示温度分布线条稀疏程度越来越稀。

（3）随着系数的增加，2D-FGM 板内部的高温区不断向两侧和下侧逐步扩展。

4 结论

使用Fortran 计算机高级语言对常物性FGM 平面热传导问题的有限元算法进行了程序编写，并应用解析方法对该计算程序进行了正确性检验。

组分形状分布系数mx对2D-FGM 热传导性能的影响巨大，加热时mx从0.05 增加到10.0 导致结构内部最低等温线值提高了62%。该参数能迅速提升2D-FGM 的热传导能力：在加热情况下，随着mx增大，t=1.0s 时刻的区域最内部等温线值会不断攀升。

[1]郑子樵，粱叔全．功能梯度材料的研究与展望[J]．功能材料，1992，1.

[2]季孟波，洪燕，何安国，等．功能梯度材料及其复合电镀制备现状与进展[J]．电镀与精饰，2005，5.

[3]韩杰才，徐丽，王保林，等．梯度功能材料的研究进展及展望[J].固体火箭技术，2004，3.

[4]仲政，吴林志，陈伟球．功能梯度材料与结构的若干力学问题研究进展[J].力学进展，2010，5.

[5]许杨健，涂代惠.对流换热边界下变物性梯度功能材料板瞬态温度场有限元分析[J].复合材料学报，2003，2.

[6]许杨健，赵志岗.梯度功能材料板瞬态温度场有限元分析[J].功能材料，1999，1.

[7]JIN Z H. Heat conduction in a functionally graded plate subjected to finite cooling/heating rates:an asymptotic solution [J].Materials，2011，12.

[8]王洪纲．热弹性力学概论[M]．北京：清华大学出版社，1989．