数学教学情境的设计要有“境”可设

祝要辉

数学课堂教学要从学生的经验和已有知识出发，创设生动有趣，有助于学生自主学习、合作交流的问题情境. 要善于利用学生认知发展的不平衡，创设能引起学生认知冲突的问题情境.可见，创设好的问题情境是数学课堂的关键，将直接影响着数学课堂的有效性.下面笔者结合教学中几个案例来谈谈创设教学情境的一些思考，不妥之处恳请指正.

一、案例与启示

“任意角的三角函数”引入的改进.我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦和正切等三角函数.前几节课我们又把锐角推广到了任意角，锐角三角函数也能推广到任意角吗？怎样推广？本节课就来研究这个问题——任意角的三角函数.

这样设计问题情境不仅明确了本节课的主题，而且说明了产生这节课的知识背景，也能促使学生迅速集中到新知识的探究中来.进一步思考后会发现，问题情境创设过程中仅仅关注了认知的广度，对认知的方式与认知的结构思考得较少，并且不能有效引起学生认知的冲突，于是对本节课的问题情境进行了如下改进.

教师直接板书课题“三角函数”，促使学生回忆初中所学的三角函数的知识，结合学生的回答，进一步板书图1及sinA= ，cosA= ，tanA= .我们知道，借助于直角三角形定义的三角函数中必须是锐角.当我们把角的概念进行推广后，如何定义三角函数才更合适呢？有效引起学生认知冲突，并补全课题“任意角的三角函数”，在“任意角”上加着重号，同时提出“新三角函数定义不能与原定义产生矛盾”，让学生带着问题阅读教材效率就会高，明白了定义任意角的三角函数的本质是更换了工具（直角三角形换成平面直角坐标系）后，如图2，新知识也就会融入到原有的知识体系中来，这样便会产生三角函数概念的同化效应.

从案例可以看出，创设教学情境首先要考虑的就是学生的经验和已有的知识，即学生知道了什么？怎么知道的？以什么方式知道的？这其实包含了认知的广度、认知的方式和认知的结构三方面的含义，在学生已有的知识范围内选择合适的教学情境作为切入点，用合适的方式激活学生的认知，实现认知结构的有效对接，为学生的思维发展提供平台.其次要考虑的是教材的结构特征与编写者的意图，现行高中数学教材“模块整合，螺旋上升”导致同一知识模块分布在不同的章节中. 创设教学情境时要理清各个模块之间的逻辑关系，用思想方法来统领模块知识. 作为教师也只有领会了教材的结构特征与教材编写者的意图才能从宏观上把握教材、理清知识脉络，设计出合乎情理的教学情境.

二、教师应做到有“境”可设

俗话说：“良好的开端是成功的一半.”好的问题情境能迅速引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣.教学中我们可以从教材的编写意图、习题使用功能、思维训练有效角度和基于学生理解的角度创设好的问题情境，使学生自然而然地进入最佳学习状态.

（一）从教材编写意图角度设“境”

人教版主编寄语中说：“数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成的、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味.”这句话包含两方面：一是知识的逻辑顺序自然;二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然.“平面向量”是人教版数学的一章，第一节课包括“章引言”和“平面向量的实际背景及基本概念”两部分.“章引言”（包括“章头图”）起“导游图”作用，是这一章学习的“先行组织者”，为避免空洞的说教，可以渗透到具体的教学内容中，最好不作抽象的讲解.对于向量概念的教学必须让学生经历概念的形成过程，让学生感受引入向量概念的必要性. 这里可以创设这样一个教学情境，比如甲、乙两车分别以v1=40km/小时，v2=50km/小时的速度从同一地点向北行驶，两小时后它们相距20km/小时;甲、乙两车分别以v1=40km/小时，v2=50km/小时的速度从同一地点出发，甲车向北，乙车向南，两小时后它们相距180km.它们的行驶速度一样，为什么两小时后它们的距离相差这么大呢？让学生在问题情境中感受到“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容.再让学生举出一些既有方向，又有大小的量（如重力、浮力、作用力等），让学生举尽量多的不同例子，就会迫使他们开动脑子，形成百花齐放的场面. 而且在举例过程中有独立思考、合作交流，甚至有争辩，学生就能深度参与其中，这也就形成了促进概念理解的机制.这时教师进一步追问：生活中有没有只有大小没有方向的量（面积、身高、体重等）？举例后要让学生讲理由，并让其他学生补充，相互启发、相互交流的局面自然而然地就出现了.通过这些典型实例，让学生领悟到向量概念的本质属性，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做好准备.最后教师总结：由同学们的举例可见，生活中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向. 数学中对位移、力这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量.

（二）从习题使用功能角度设“境”

问题情境是学习数学的第一道门槛，直接影响着课堂教学的有效性.创造性使用教材，创设合适的教学情境，把数学知识放到一个生动活泼的现实生活中里，就可以让学生体验到数学原来是那么贴近生活，那么丰富多彩. “三角函数模型的应用”情境问题：半径为4m的水轮，中心距离水面2m.已知水轮自点A开始逆时针每60秒转动4圈，水轮上点P距离水面的距离y（m），y与时间x秒之间的关系：当0≤x≤10时，y=Asin（ωx+φ）+2，求该函数的解析式.该题目作为习题无可厚非，但是很难体现数学与生活的联系，由于学生对水轮不太熟悉，所以很难激起学生的兴趣.不如从学生的生活情境设计问题，用强烈的丰富的感性材料，创设出使学生跃跃欲试、寻根问底的情境. 把抽象知识具体化，引导学生主动建构数学知识，培养学生理论联系实际、学以致用的意识，提高学生解决实际问题的能力.这里我们可以把上题与摩天轮整合到一块，改进为：“上海魔幻世界摩天轮城”内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心O距离地面200m高，直径170m（如图3、4）.摩天轮沿逆时针方向做匀速运动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P的起始位置在最低点处（即时刻t=0分钟的位置）.已知在时刻分钟时点距离地面的高度f（t）.①求20分钟时，点P距离地面的高度;②求f（t）的函数解析式.这样的问题情境是学生喜闻乐见的，并且改进后的问题本身具有一定的难度和坡度，适合学生的实际水平，能造成一定的认知冲突.通过让学生收集、整理、分析相关信息，能保证大多数学生在课堂上保持积极的思维状态.endprint

（三）从思维训练有效角度设“境”

问题改编后不仅承载了原有的知识内容、思想方法，还被赋予了新的问题情境，蕴含了新的数学思想方法. 因此变式训练课能有效避免重复训练，让学生跳过重复计算，把关注点迅速集中到改编问题的中心，可以解决学生解题缺乏思路的问题.在高三的平面解析几何复习中，为了解决学生解题缺乏思路问题，引入这样的问题串：已知过点A（ ，0）的直线l与椭圆G： +y2=1相交于点B，C.①如图5，若以BC为直径的圆经过坐标原点O，如何求BC？②若AB=BC，如何求BC？③若S△OAB=S△OBC，如何求BC？④若AB∶BC=1∶2，如何求BC？⑤若S△OAB∶S△OBC=1∶2，如何求BC？⑥如图6，若点D的坐标为（0，-1），且DB=DC，如何求BC？⑦如图7，在椭圆G上能否存在一点D，使四边形OBDC为菱形？若存在，求出BC;否则说明理由.这组问题串妙在“不变中求变”，不变的是七个问题的背景，即同一个椭圆与同一条过定点的动直线相交，提出了变化多样的几何条件.好处在于省去了列方程、消元、求解判别式、得到根与系数的关系等学生熟悉的程序化操作，集中精力思考显现的几何条件中的隐含条件，这有利于难点的突破;更妙在“变中求不变”，在变化多样的几何条件中不变的是转化思想，这有利于学生内化等价转化思想.

（四）基于学生理解的角度设“境”

问题是促使学生探究、积极参与课堂教学的动力.课堂教学中要根据学生原有的知识进行教学，在设计教学情境时要了解学生已有的认知结构，找到学生认知结构中可以用来同化新概念的相关知识，以便使新概念与已有认知结构建立起非人为的、实质性的联系.在双曲线的渐近线的教学之前，学生已经学习了双曲线的范围、对称性、顶点和离心率.这里①反比例函数的图象.②双曲线的范围（x≥a，y∈R，或y≥a，x∈R）.③矩形[过两个实点（两个虚点）分别作x（y）轴的垂线得到的]的对角线等等，这些都是比较合适的引入双曲线的渐近线问题. 但是比较而言，②、③指向性更明确，都与双曲线的方程有着直接或者间接的联系，也更有利于进一步的探究. 而①与双曲线的渐近线的关系就弱得多，这是由于双曲线的方程与渐近线的方程没有“明显”的联系.下面把矩形对角线作为演绎推出双曲线的渐近线的引导性材料，帮助学生建立有意义的学习心向，先在范围与顶点上“旁白”一下，让学生关注“矩形的对角线”，再用几何画板软件画一个具体的双曲线和它的渐近线的图象，将学生的关注提升为理性的思考. 最后是逻辑推理，可以分两个层面进行探究，一是“确定没有交点”，这是浅层次的认识. 可以通过解方程组来解决，也可以通过研究双曲线的方程来解决，设M（x，y）是双曲线在第一象限内的点，则y=  （x>a），因为y=  <  = x，所以y< x;二是“无限趋近”的处理，这是高层次的认识，考虑铅垂线与双曲线、直线y= x的交点间的距离MN随x的增大而无限趋近于0，这样我们就可以把直线线y=± x叫作双曲线的渐近线.

叶澜教授曾说过：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵守固定的线路而没有激情的行程.”因此，教师应不断加强课堂研究，钻研透教材，理解教材的组织结构与编写意图，不断提升自己揭示数学知识所蕴含的科学研究方法和思维过程的能力.在数学课堂教学中创设出好的问题情境，并在特定情境中根据师生、生生互动情况，适时引导学生进行有效探究，使数学课堂因学生的生成而更加精彩.endprint