APP下载

原题精彩 变式更精彩

2015-01-23沈岳夫

关键词:勾股定理变式图形

沈岳夫

在试卷讲评课上,教师对小题(填空题、选择题)往往不作详细分析,或仅仅核对一下答案.笔者认为,有些小题虽然难度不大,但它是复习所学基础知识,训练学生思维的极好素材.因此在教学中,要引导学生研究这些小题的解法,理解它的本质,探究它的变式及拓展.本文以2014年6月我校九年级数学独立作业中的一道选择题为例,做一些探索.

一、题目呈现

题目:如图1,已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是(     )

A. 2            B. 2

C. 4             D. 7

解:如图2,过A点作AD⊥l3,过C点作CE⊥l3,垂足分别为D,E. 易证Rt△ADB≌Rt△BEC,得BE=AD=3.在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC= = ,在Rt△ABC中,得AC= BC=2 ,所以选A.

点评:解答本题的关键是作好辅助线,作出平行线间的距离,构造出“一线三等角”型基本图形(我们把具备三点在同一条直线上,如图2中的点D,B,E,且∠ADB=∠ABC=∠BEC的图形称为“一线三等角”型基本图形),运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.此题有一定难度,主要考查学生用变换的方法构造基本图形解决问题,提高学生运用图形变换解决问题的意识.

二、变式探究

对于一些“典型”的“熟题”,教学中应该采用“一题多变”的基本方法,力争让学生学透.因为是“熟题”,解决此类题目可以起到“温故而知新”的效果;因为是“典型”,题目必定包含有不同的解决方法,方法越多,对显性知识技能的训练就越到位,解决此类题目可以达到“知识与方法”同步提高的效果.在一题多解教学中,首先要注重通性通法,其次才是研究最优解法,最后要对研究的问题从知识技能、解题规律、思想方法等角度进行归纳、总结、反思,帮助学生积累解题经验,进而增加学生思维的宽度,达到解题效果的最大化.

变式题:如图3,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,求△ABC的边长.

分析:此题看似只把“等腰直角三角形”变成“正三角形”,但思维含量提升,难度增加.那么该怎么解呢?笔者悉心探究给出以下几种解法,以飨读者.

(一)构造“一线三等角”   通性又通法

解法1: 如图4,延长BA到点F,使AF=BA,连结CF.由题意,易知∠AFC=30°,∠BCF=90°,则 =tan∠FBC= . 作FE⊥l3于点E,作BD⊥l3于点D.FE分别交l1,l2于点G,H,这样就构造出了“一线三等角”的模型.

因为l1∥l2,且A是BF的中点,所以G是FH的中点,进而得FG=GH=1,FE=4.易证Rt△CEF∽Rt△BDC,得 = = ,解得DC= .所以BC= = .

(二)构造“等距”平行线   经典又给力

解法2: 如图5,作l4∥l3,且l4到l3,l2的距离为“1”,延长AB交l4于点D,由l1∥l2∥l4,且平行线间的距离相等,所以AB=BD,而AB=BC,连结DC,可知∠ACD=90°,于是 = .由于DE=1,AF=3,又易证Rt△CFA∽Rt△DEC,所以 = =tan30°,解得CF= .所以AC= = .

(三)构造“等积”变换   独特又精彩

解法3: 如图6,延长AB交l3于点G,作BE⊥l3于点E,作AD⊥l3于点D,作CF⊥AB于点F.易证Rt△GBE∽Rt△GAD,则 = = .设GB=2x,则GA=3x,AB=x,BF= x,CF= x.由S△BCG= CG·BE= GB·CF,解得CG= x2.在 Rt△CFG中,CF2+FG2=CG2,即( x)2+(2x+ x)2=( x2)2,解得x= ,所以AB= .

(四)构造“二元二次”方程组   新颖又别致

解法4: 如图7,作BE⊥l3于点E,作AD⊥l3于点D,AD交l2于点F.设CE=x,CD=y,则BF=x+y.因为AB=BC=CA,所以根据勾股定理得x2+22=y2+32=(x+y)2+12,经组合,整理得y2+2xy=3,x2+2xy=8.解得x=4y,3x=-2y(舍去).把x=4y代入,得y2= .所以AC= = .

(五)构造相似三角形   常规又实在

解法5: 如图8,分别过A,C作l2的垂线AE,CF,垂足为E,F. 过B作△ABC的高BG. 设AD=x,则CD=2x,于是,DG=CD-CG= , BG=BC·sin60°= x. 由Rt△BDG∽Rt△CDF,得 = .得DF= .又Rt△ADE∽Rt△CDF,得 = = ,所以DE= ,因此AD2= ,所以AC=3x=3AD= .

(六)构造“旋转变换”   灵活又方便

解法6:如图9,过A,C作AE,CF垂直于l2,E,F是垂足.将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交l2于点G.由作图可知:∠DBG =∠DBA+∠ABG=∠CBF+∠ABG=∠ABC= 60°,AD =CF=2.因此在Rt△BDG中,∠BGD=30°,AG=2,DG=4,所以BD= .那么在Rt△ABD中,得AB= = .

(七)构造“辅助圆”   直观又简捷

解法7: 如图10,设点B关于l3的对称点是E,连结AE,CE,延长EB交l1于点G,则CE=CB,而CA=CB,所以点A,B,E在以C为圆心,CA为半径的圆上,易得∠AEB= ∠ACB=30°.设AG=x,则在Rt△AEG中,得AE=2x,而GE=5,由勾股定理得4x2=x2+25,得x2= .在Rt△ABG中,得AB2=12+AG2,所以AB= .

行文至此,前面梳理了7种解法,实际上此题的解法还不止这些.当学生对某些知识点、某些基本图形理解得较为深入时,就会首先考虑到较简洁的解法.例如,对“一线三等角”理解较为深入时,就会选取解法1、解法2;对会善用“面积”作桥梁的,就会选取解法3;若想到用勾股定理、方程思想解决问题的,就会选取解法4;若能运用两次相似的知识来解决问题,可以选取解法5;若能用通过图形变换的方法,就会选择解法6;若对圆知识理解深刻,会构造圆心角、圆周角的,就会选取解法7.亲爱的读者,你看了以上的几种解法,是不是产生了一种跃跃欲试的冲动,那你就动起笔来,思考、挑战一下拓展题吧.

拓展题:如图11,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,以AB为底的等腰三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,且∠ACB=α,求AB的长.

综上可以看出,每个优秀的数学题目中都包含着大量基础知识、基本方法与技巧策略,都蕴含着数学的方法、思想等本质.在解题教学中,我们一定要积极引导学生观察题目的表象、探求解题方法、整理解题思路、总结解题规律、归纳解题思想,着眼于学生思维的发展.解题教学不是让学生为了解题而解题,而是通过解题把数学方法和数学思想浓缩,只有这样,才能真正有效地促进学生思维的灵活性、广阔性和深刻性.endprint

猜你喜欢

勾股定理变式图形
勾股定理紧握折叠的手
用勾股定理解一类题
应用勾股定理的几个层次
一道拓广探索题的变式
聚焦正、余弦定理的变式在高考中的应用
《勾股定理》拓展精练
课后习题的变式练习与拓展应用
问题引路,变式拓展
分图形
找图形