原题精彩 变式更精彩

沈岳夫

在试卷讲评课上，教师对小题（填空题、选择题）往往不作详细分析，或仅仅核对一下答案.笔者认为，有些小题虽然难度不大，但它是复习所学基础知识，训练学生思维的极好素材.因此在教学中，要引导学生研究这些小题的解法，理解它的本质，探究它的变式及拓展.本文以2014年6月我校九年级数学独立作业中的一道选择题为例，做一些探索.

一、题目呈现

题目：如图1，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（     ）

A. 2            B. 2

C. 4             D. 7

解：如图2，过A点作AD⊥l3，过C点作CE⊥l3，垂足分别为D，E. 易证Rt△ADB≌Rt△BEC，得BE=AD=3.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC= = ，在Rt△ABC中，得AC= BC=2 ，所以选A.

点评：解答本题的关键是作好辅助线，作出平行线间的距离，构造出“一线三等角”型基本图形（我们把具备三点在同一条直线上，如图2中的点D，B，E，且∠ADB=∠ABC=∠BEC的图形称为“一线三等角”型基本图形），运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.此题有一定难度，主要考查学生用变换的方法构造基本图形解决问题，提高学生运用图形变换解决问题的意识.

二、变式探究

对于一些“典型”的“熟题”，教学中应该采用“一题多变”的基本方法，力争让学生学透.因为是“熟题”，解决此类题目可以起到“温故而知新”的效果;因为是“典型”，题目必定包含有不同的解决方法，方法越多，对显性知识技能的训练就越到位，解决此类题目可以达到“知识与方法”同步提高的效果.在一题多解教学中，首先要注重通性通法，其次才是研究最优解法，最后要对研究的问题从知识技能、解题规律、思想方法等角度进行归纳、总结、反思，帮助学生积累解题经验，进而增加学生思维的宽度，达到解题效果的最大化.

变式题：如图3，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，求△ABC的边长.

分析：此题看似只把“等腰直角三角形”变成“正三角形”，但思维含量提升，难度增加.那么该怎么解呢？笔者悉心探究给出以下几种解法，以飨读者.

（一）构造“一线三等角”   通性又通法

解法1： 如图4，延长BA到点F，使AF=BA，连结CF.由题意，易知∠AFC=30°，∠BCF=90°，则 =tan∠FBC= . 作FE⊥l3于点E，作BD⊥l3于点D.FE分别交l1，l2于点G，H，这样就构造出了“一线三等角”的模型.

因为l1∥l2，且A是BF的中点，所以G是FH的中点，进而得FG=GH=1，FE=4.易证Rt△CEF∽Rt△BDC，得 = = ，解得DC= .所以BC= = .

（二）构造“等距”平行线   经典又给力

解法2： 如图5，作l4∥l3，且l4到l3，l2的距离为“1”，延长AB交l4于点D，由l1∥l2∥l4，且平行线间的距离相等，所以AB=BD，而AB=BC，连结DC，可知∠ACD=90°，于是 = .由于DE=1，AF=3，又易证Rt△CFA∽Rt△DEC，所以 = =tan30°，解得CF= .所以AC= = .

（三）构造“等积”变换   独特又精彩

解法3： 如图6，延长AB交l3于点G，作BE⊥l3于点E，作AD⊥l3于点D，作CF⊥AB于点F.易证Rt△GBE∽Rt△GAD，则 = = .设GB=2x，则GA=3x，AB=x，BF= x，CF= x.由S△BCG= CG·BE= GB·CF，解得CG= x2.在 Rt△CFG中，CF2+FG2=CG2，即（ x）2+（2x+ x）2=（ x2）2，解得x= ，所以AB= .

（四）构造“二元二次”方程组   新颖又别致

解法4： 如图7，作BE⊥l3于点E，作AD⊥l3于点D，AD交l2于点F.设CE=x，CD=y，则BF=x+y.因为AB=BC=CA，所以根据勾股定理得x2+22=y2+32=（x+y）2+12，经组合，整理得y2+2xy=3，x2+2xy=8.解得x=4y，3x=-2y（舍去）.把x=4y代入，得y2= .所以AC= = .

（五）构造相似三角形   常规又实在

解法5： 如图8，分别过A，C作l2的垂线AE，CF，垂足为E，F. 过B作△ABC的高BG. 设AD=x，则CD=2x，于是，DG=CD-CG= ， BG=BC·sin60°= x. 由Rt△BDG∽Rt△CDF，得 = .得DF= .又Rt△ADE∽Rt△CDF，得 = = ，所以DE= ，因此AD2= ，所以AC=3x=3AD= .

（六）构造“旋转变换”   灵活又方便

解法6：如图9，过A，C作AE，CF垂直于l2，E，F是垂足.将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交l2于点G.由作图可知：∠DBG =∠DBA+∠ABG=∠CBF+∠ABG=∠ABC= 60°，AD =CF=2.因此在Rt△BDG中，∠BGD=30°，AG=2，DG=4，所以BD= .那么在Rt△ABD中，得AB= = .

（七）构造“辅助圆”   直观又简捷

解法7： 如图10，设点B关于l3的对称点是E，连结AE，CE，延长EB交l1于点G，则CE=CB，而CA=CB，所以点A，B，E在以C为圆心，CA为半径的圆上，易得∠AEB= ∠ACB=30°.设AG=x，则在Rt△AEG中，得AE=2x，而GE=5，由勾股定理得4x2=x2+25，得x2= .在Rt△ABG中，得AB2=12+AG2，所以AB= .

行文至此，前面梳理了7种解法，实际上此题的解法还不止这些.当学生对某些知识点、某些基本图形理解得较为深入时，就会首先考虑到较简洁的解法.例如，对“一线三等角”理解较为深入时，就会选取解法1、解法2;对会善用“面积”作桥梁的，就会选取解法3;若想到用勾股定理、方程思想解决问题的，就会选取解法4;若能运用两次相似的知识来解决问题，可以选取解法5;若能用通过图形变换的方法，就会选择解法6;若对圆知识理解深刻，会构造圆心角、圆周角的，就会选取解法7.亲爱的读者，你看了以上的几种解法，是不是产生了一种跃跃欲试的冲动，那你就动起笔来，思考、挑战一下拓展题吧.

拓展题：如图11，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，以AB为底的等腰三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，且∠ACB=α，求AB的长.

综上可以看出，每个优秀的数学题目中都包含着大量基础知识、基本方法与技巧策略，都蕴含着数学的方法、思想等本质.在解题教学中，我们一定要积极引导学生观察题目的表象、探求解题方法、整理解题思路、总结解题规律、归纳解题思想，着眼于学生思维的发展.解题教学不是让学生为了解题而解题，而是通过解题把数学方法和数学思想浓缩，只有这样，才能真正有效地促进学生思维的灵活性、广阔性和深刻性.endprint