解答中考数学中的“穿过型”问题

王建新

已知两个几何图形，其中一个图形保持静止，另一个图形沿着直线方向作匀速运动，并且在运动过程中会从静止的图形中穿过，我们把这类数学问题叫做“穿过型”中考题，它是“运动型”问题的一个分支.

一、一个圆从另一个圆中穿过

例1 （2013年山东泰州）如图，⊙O的半径为4cm，直线L与⊙O相交于A、B两点，AB=4 cm，P为直线L上一动点，以l cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点.设PO=dcm，则d的范围__________.

分析：先求出两圆外离和内含时d的范围.再根据“点P在直线L上”，利用垂线段最短，那么PO必然大于或等于点O到直线L的距离.

解：当两圆外离时，d>5；当两圆内含时，d<3.

过点O作OM⊥L于M，则

AM= AB=2 .

在Rt△AOM中，由勾股定理，得OM= = 2=2，即d≥2.

∴d>5或2≤d<3.

点评：由于两圆的圆心没有固定在一条直线上，因此如果两圆没有交点，除了要考虑两圆外离和内含两种情况外，还要注意考虑利用垂线段最短，求出PO的最小值.

二、一个圆从正方形中穿过

例2 （2013年湖南衡阳）如图，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为是S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）

分析：圆从左向右匀速穿过正方形时，可分五个阶段：①圆与正方形刚好接触；②圆的一部分开始穿进正方形；③整个圆在正方形内；④圆的一部分开始穿出正方形；⑤圆刚好完全穿出正方形.

解：当圆与正方形刚好接触时，S等于正方形的面积，此时图象与纵轴交于原点上方的一点；当圆的一部分开始穿进正方形时，由于圆占据正方形的面积逐渐增加，因此S逐渐减小，此时图象是一条匀速下降的线段；当整个圆在正方形内时，S保持不变，图象是一条水平的线段；当圆的一部分开始穿出正方形时，由于圆占据正方形的面积逐渐减少，因此S逐渐增大，此时图象是一条匀速上升的线段；当圆刚好完全穿出正方形时，S仍然等于正方形的面积，此时图象恢复最大值.据此答案选A.

点评：上述解法综合考虑了圆运动的所有情况.实际上我们也可以考虑圆运动的部分情况并结合排除法求解，如根据圆与正方形刚好接触时，S等于正方形的面积，据此可排除选项B、C；根据整个圆在正方形内时，S保持不变，据此又可排除选项D，这样也可选出正确选项A.另外请同学们思考：圆的半径r与正方形的边长a满足什么关系时，S与t的大致图像为选项D.

三、一个正方形从另一个正方形中穿过

例3 （2013年黑龙江牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形.设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（ ）

分析：本例同例2的不同之处在于，例2是圆穿过正方形，而本例是正方形穿过正方形.另外如果仅从线条的趋势无法选出正确选项，还应从两个正方形边长的具体数值考虑才能选出正确选项.过程留给同学们完成.

反思：当两个正方形的边长满足什么关系时，s与t的大致图象为选项D.

四、一个三角形从另一个正方形中穿过

例4 （2013年辽宁铁岭）如图甲，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图甲所示的位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动.设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是（ ）

分析：三角形从左向右匀速穿过矩形时，可分五个阶段：①三角形从点E运动到点A；②三角形的一部分开始穿进矩形；③整个三角形在矩形内；④三角形的一部分开始穿出矩形；⑤三角形刚好完全穿出矩形.

解：当三角形从点E运动到点A时，S等于零，此时图象是x轴上的一条线段，据此可排除选项A、C；当三角形的一部分开始穿进矩形时，S不断增加，而且在单位时间内增加的面积不相同.选项B、D都符合这个趋势，不同之处在于：选项B在单位时间增加的速度慢，选项D在单位时间增加的速度快，到底是选择B选项还是选择D选项呢？如图乙，我们可以设想Rt△EFG从图乙所示位置出发做相同的运动，通过对比，不难发现：如果Rt△EFG从如图乙所示的位置出发，当三角形的一部分开始穿进矩形时，S在单位时间增加的速度必然很快，故选D.

点评：本题的难点在于对选项B、D的判断.正如解（证）几何题作辅助线那样，我们可以作辅助图（如图乙）.通过将原图与辅助图形进行对比，我们巧妙地突破了难点.本题如果不借助辅助图，需要用字母表示出直角三角形的两条直角边长以及矩形的长AB，并求出S关于t的函数关系式，非常麻烦.

（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇中心学校）endprint