非线性扰动的时滞广义大系统的鲁棒稳定与H∞控制

赵 乐， 马跃超， 刘德友

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

非线性扰动的时滞广义大系统的鲁棒稳定与H∞控制

赵 乐， 马跃超， 刘德友

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

针对一类非线性扰动的时滞广义大系统，研究其鲁棒H∞混合反馈控制器的设计问题.基于有界实引理，应用线性矩阵不等式方法，构造Lyapunov函数，进而得出条件使得不确定广义大系统渐进稳定并且可以解得H∞混合控制器.求解对应的线性矩阵不等式(LMIs)可以得到所需的鲁棒H∞控制器，使在控制器作用下的闭环系统渐进稳定，且满足了一定的性能指标，并且抑制了干扰的影响.

非线性扰动； 时滞依赖； 广义大系统； 分散H∞混合控制

0 引言

近些年来，有关不确定大系统鲁棒控制的研究取得了许多成果[1-4].而广义系统又是比正常系统更加广泛的一类系统，能更好的描述实际生产过程，且广义大系统理论在许多实际问题如：工程技术，社会经济，生物生态等各领域都有应用.因此研究广义大系统有重要意义，而且在广义大系统控制方面也取得了成果.如文献[5]针对带有控制输入时滞和关联时滞均为时变的不确定时滞大系统，利用线性矩阵不等式的方法，研究了其鲁棒镇定问题.文献[6]对具有输入时滞的非线性不确定时滞系统,研究其鲁棒非脆弱H∞控制器设计问题.文献[7]利用稳定理论和矩阵理论，研究了广义大系统的分散鲁棒状态反馈保性能H∞控制率问题.关于具有参数不确定性，广义时滞大系统的状态反馈控制器设计问题都在很多文献中体现.而对带有非线性扰动的广义时滞互联大系统的混合控制及H∞控制的研究比较少，本文通过构造广义Lyapunov函数及线性矩阵不等式来研究非线性广义时滞大系统的混合控制器的设计方法，并得出了使其稳定及H∞控制器存在的条件，使闭环系统在保持一定的H∞性能条件下渐进稳定.

1 问题描述与准备知识

考虑一类由N个子系统∑i构成的广义非线性时滞大系统∑，子系统∑i为

(1)

其中：xi(t)∈Rni；ui(t)∈Rmi；ωi(t)∈L2([0,∞],Rri)；zi(t)∈Rqi分别是系统的状态向量、控制输入、干扰输入和控制输出；Ei,Ai,Adi,Bi,Di,C1i,C2i,Cdi,Hij是已知的适当维数的实常矩阵；Ei是奇异矩阵且rank(Ei)=ri≤ni；ΔAi(t),ΔAdi(t)是适维不确定矩阵且满足如下条件：

(2)

非线性函数fi(·)满足条件：

∃ai,bi,di>0:‖fi(·)‖≤ai‖xi(t)‖+bi‖xi(t-di(t))‖+di‖ωi(t)‖.

(3)

定义1 系统(E,A)是正则的，如果det(SE-A)不全等于零；系统(E,A)无脉冲，如果(E,A)正则且deg(det(SE-A))=rank(E).

假设1 系统(Ei,Ai,Bi)稳定且无穷能控.

对于系统(1)，若采用反馈控制律

ui(t)=Liyi(t)+Kixi(t)+Kdixi(t-di(t)),t≥0,i=1,2,…,N，

(4)

则闭环系统为：

(5)

定义2 考虑带有控制器(4)的系统(1)，且满足下列条件：当ω(t)=0, 带有控制器(4)的闭环系统(1)是渐进稳定的；在初始条件下ω(t)和z(t)有界：

其中:γ>0. 在上面的条件中，系统(1)在控制器(4)作用下是渐进稳定的，控制器(4)称为系统(1)的H∞混合控制器.变量γ称为H∞混合控制器的性能指标.

2 主要结果

引理2[8]对适当维数的实矩阵A,B,X,Y,Z和奇异矩阵S，则有：

(6)

引理3[9]若X,Y为具有适当维数的矩阵，对任意的矩阵Γ=ΓT>0，和任意常数γ>0，则有：

XTY+YTX≤XTΓY+YTΓ-1X,XTY+YTX≤γXTY+γ-1YTX.

(7)

引理4[10]对任意常数矩阵Z=ZT>0，有下面积分不等式：

(8)

(9)

则在控制器(4)的作用下，闭环系统(5)渐进稳定且具有H∞性能指标γ.

证明 考虑闭环系统(5)和Lyapunov-Krasovskii函数：

(10)

对式(10)沿闭环系统(5)求导并由引理3和条件(3)得：

又由条件(2)和引理2可得：

(11)

(12)

由Schur式(12)等价于式(9)，所以

(13)

因此，∀s≥0，有

证毕.

3 总结

本文利用Lyapunov和线性矩阵不等式方法，针对具有不确定性和非线性扰动的时滞广义大系统，考虑到不确定性和非线性扰动对此系统稳定性的影响，研究了使该系统稳定及H∞混合反馈控制器的设计方法，在保证闭环系统满足一定的性能指标条件下，使闭环系统渐进稳定，抑制干扰的影响.

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(责任编辑：王浩毅)

Robust Stabilization andH∞Hybrid Control for Nonlinear Time-delay Singular Large-scale Systems

ZHAO Le， MA Yuechao， LIU Deyou

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The research of stabilization andH∞control for the nonlinear large-scale time-delay systems with nonlinear perturbation was studied. Based on the bounded real lemma, LMI method and a novel Lyapunov-Krasovskii functional, a new delay-dependent sufficient condition for the existence of stabilization and hybrid controller had been given. The controller could be obtained by solving the corresponding linear matrix inequality. This controller designed could make the closed-loop systems asymptotically stable,as well as satisfyingH∞properties to achieve disturbance attenuation.

decentralizedH∞hybrid control； singular large-scale system； time-delay； nonlinear perturbation

2015-07-25

国家自然科学基金资助项目，编号61273004；河北省自然科学基金资助项目，编号F2014203085.

赵乐(1990—)，女，山东德州人，硕士研究生，主要从事复杂大系统研究，E-mail：zhaole200907036@163.com.

赵乐，马跃超，刘德友.非线性扰动的时滞广义大系统的鲁棒稳定与H∞控制[J].郑州大学学报：理学版，2015，47(4)：43-46.

O231.2

A

1671-6841(2015)04-0043-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.008