还是画图好

黄琴+张兴筑

有这样一道题：矩形的长是4cm，宽是3cm，若将其长增加xcm，宽增加2xcm，则面积增加ycm2。试写出y与x之间的函数关系式。以下是课堂教学片断。

生1：因为增加的面积=新矩形的面积-原矩形的面积，所以y=（4+x）（3+2x）-4×3=2x2+11x。

师：请同学们再想一想，还有其它的方法吗？

虽然经过思考，但是也没有学生想出其它的方法来。

师（提示）：此题与矩形有关，而矩形又是大家非常熟悉的图形，请同学们想一想，你还能干什么？

生2：可以画图。

学生在草稿纸上画图，这时，我到学生中间进行指导。不一会儿，很多学生就画出了图形（如图1，阴影部分的面积就是增加的面积）。

[A][B][[2x]][C][D][E][H][F][I][J] [3][4][图1]

师：可以小组讨论，利用所画的图形，寻找其它的表示方法。

虽然阴影部分的面积不能直接表示出来，但是可以把阴影部分的图形分割成几个基本图形，这样增加的面积即阴影部分的面积就很容易表示出来了。

生3（小组代表）：连接CF，这样就把阴影部分分割成梯形BCFJ和梯形CDEF，所以增加的面积（y）=两个梯形的面积的和。

生4（小组代表）：连接CE、CF和CJ，把阴影部分分割成4个三角形，所以增加的面积（y）=4个三角形的面积的和。

生5（小组代表）：延长BC交EF于点H，把阴影部分分割成矩形CDEH和矩形BHFJ，所以增加的面积（y）=两个矩形的面积的和。

生6（小组代表）：延长DC交FJ于点I，把阴影部分分割成矩形BCIJ和矩形DEFI，所以增加的面积（y）=两个矩形的面积的和。

生7（小组代表）：延长BC交EF于点H，延长DC交FJ于点I，把阴影部分分割成矩形CDEH、矩形BCIJ和矩形CHFI，所以增加的面积（y）=3个矩形的面积的和。

……

原来还有这么多的方法，当初为什么没有发现呢？其原因是学生没有想到利用图形来寻找解决问题的方法。有了图形，不仅问题得到解决，而且渗透数形结合的数学思想。学生感叹道：“还是画图好！”

教学反思

因为我们生活在一个图形的世界里，所以学生空间观念的形成往往离不开几何图形，学会画图，学会利用图形来分析和解决问题是学好数学、培养空间观念的一项基本技能。

一、图形生活化

在现实生活中感知图形。生活离不开图形，图形让生活变得更加丰富多彩，对图形的认识既是现实生活的需要，又是数学学习的一个重要内容，因此，在教学中要重视图形与现实生活的联系。教学中要把学习内容与学生的生活经验联系起来，会根据物体的特征抽象出几何图形，又要会根据几何图形想象出现实生活中的实际物体。

在实验操作中认识图形。通过实验可以让学生在动手操作中积累生活经验，观察实验发生的过程和结果。在教学中凡是能动手做的实验，都要精心设计，提前准备。如在学习圆锥体的侧面展开图时，让学生亲手做一个带底的圆锥体，并准备好一把剪刀，课堂上师生一起动手，把圆锥体的侧面沿母线剪开再展平得到一个扇形，由于学生亲手操作，很容易发现展开的扇形与圆锥之间的关系。另外，要让学生感受到我们的生活在变，生活中的图形也在变，不断变化的图形更能培养学生的空间观念。如把长方体加工成一个体积最大的圆柱体；图形的平移、旋转、对称、图形的相似、平行四边形如何变成矩形或菱形或正方形等，这些都可以通过实验来描述图形的运动和变化。

二、图形功能化

在学习新知识的过程中体会图形的功能。几何学习的过程都离不开图形，其实，在代数的学习过程中也要经常利用图形来帮助我们理解所学的知识。如在学习完全平方公式[（a+b）2=a2+2ab+b2]时，一些学生总是把公式记忆成[（a+b）2=a2+b2]，之所以出现这样的错误，是因为这些学生没有理解公式的意义，为了帮助学生对该公式的理解，我没有让学生直接看教材，而是让学生自己画图（如图2），根据图形学生对完全平方公式有了更深刻的理解，并且在运用该公式时大脑中就会浮现图形的表象，这样对公式才能运用自如，而且很少出错，是图形帮了大忙。

[图2]

在解决问题的过程中感悟图形的功能。在上面的案例中，在没有图形的背景下，学生的思维打不开，解题方法也单一，正是有了图形，才让学生有了施展才能的空间，学生的智慧才得以展示。正因为图形在数学学习中起着非常重要的作用，所以要结合教学内容指导学生学会画图、学会识图，学会利用图形解决问题，感悟图形的功能。

三、图形习惯化

养成画图的好习惯。学习几何或解答几何题当然要画图，即使原题有图，也要让学生再画一遍；在学习代数时，能画出图形的要求学生一定要画出图形，因为图形既能帮助我们理解所学的知识，又能帮助我们解决问题。如在解答有关一次函数的问题时，原题往往没有图形，学生理解起来比较困难，解答也不知如何下笔，但是，学生知道一次函数的图像是一条直线，只要能在平面直角坐标系中画出这条直线，问题的解决就容易多了。

养成用图的好习惯。画图是基础，画图的目的是要利用图形解决问题，因此，用好图形才能显示图形的功能和价值。用好图形，首先要学会看好图形，观察图形是由哪些基本图形构成的，寻找图形与所学知识或题目之间的关系；其次要学会添割补图，会把一个不规则的图形分割成若干个基本图形或补全成某个基本图形；第三，要学会添加辅助线，恰当的辅助线有助于说理；第四，学会观察图形的运动或变化，观察图形在运动或变化过程中所发生的结果。

俗话说习惯成自然，但是习惯的养成可不是一件容易的事，只有让学生悟出图形在数学学习中的价值和作用，那么学生才会自觉养成画图、用图的习惯，并持之以恒，良好的习惯才能养成。

责任编辑 陈建军