国外教材中关于连续复利讲授的种种错误

2015-01-15高俊科

金融经济 2014年9期

关键词：年利率增长率

摘要：本文分析说明，国外各学科教材中关于连续复利的认识和应用都是错误的。

关键词：年利率；增长率；连续复利

1.问题的提出

通常国外教材[1-5]中讲的连续复利是：

设初始资金为A0，年利率为r，按复利计算，t年后资金总额为

文[6、7]已经详细分析了连续复利公式（3）推导中的问题。连续复利这种概念长时期存在于多学科国外的教材中，但其论述都是不对的。

2.推证中的问题

例12006年机械工业出版社出版的《微积分及其应用》（英文第8版翻译本）用解微分方程和求极限两种方法推证了连续复利模型。

“例4商业：永续复利（这里的”永续复利”即一般书中的连续复利；这个词在该书中第一次出现就是在这个例题中—本文注）假设投入资金p0到储蓄中，年永续复利率为7%，即结存p的增长率为

a）根据所给出的p0和0.07，求满足这个方程的函数。

b）假设投资100美元，1年后结存是多少？

c）多少时间之后所投资的100美元能翻一番？

解：a）P（t）=P0e0.07t

b）p（1）=100e0.07（1）=100e0.07=100（1.072508）≈107.25美元

c）求时间T，使得P（T）=200美元，数T称为倍增时间（doubling time），为了求T，解方程200=100e0.07.T2=e0.07T

在这本《微积分及其应用》用微分方程方法证明连续复利模型的过程中，通过具体数值，从dpdt=0.07p和初始条件p（0）=p0推出了p（t）=p0e0.07t。这也就是从dpdt=kp和初始条件p（0）=p0推出p（t）=p0ekt。

用极限方法证明连续复利模型的过程中，用到了A=p0（1+kn）nt。

这就是说用dpdt=kp（初始条件p（0）=p0）与A=p0（1+kn）nt都能推出p（t）=p0ekt，并且两种推证方法中用到的是相同的参数k，这就更容易让人相信连续复利法的正确性。

这里存在的问题是，尽管在这个例题中把参数k解释为年永续复利率，但参数k的含义是什么还是需要做进一步分析。

如果给出的k是连续复利率，在极限推导方法中，构成的式子A=p0（1+kn）nt已不是复利分期计算模型（2）。这应当是已经说不清含义的一个式子；在方程推导方法中，根据所谓连续复利率k=0.07得出dpdt=kp，也缺乏确切的根据。这如同根据连续化后的式子A（t）=A0（1+r）t（t取实数中）中的r得出dpdt=rp缺乏确切的根据一样。

如果k是（普通）年复利率，则dpdt=kp是不成立的；根据本节以上分析可知，由A=p0（1+kn）nt推p（t）=p0ekt也是不对的。

总之，这里用的两种方法每一种都是不对的。

3.绕开连续复利的困惑讲连续复利

例22009年机械工业出版社出版的《公司理财》（英文第8版翻译本）中有

“例4-15连续复利Linda Defond以连续复利计息方式将其1000美元投资1年。那么，她的投资到了年末将等于多少？

由式（4—9）（指计算式C0×erT——本文注）可得：

1000美元×e0.10=1000美元×1.1052=1105.20美元

这一结果也可很容易地从表A-5（该书中的表A-5包括下表-本文注）中查到。即只要在横拦中找出所给的利率r=10%，在竖栏中找出T，与本例有关的表中的部分为：

连续型复利计息利率（r）

注意利率为的连续计息等价于利率为的年复利计息方式。换句话说，Linda认为将她的资金以的利率连续计息或是以利率年复利是没有差别的”

应该说，作者讲Linda投资的例子和Linda的感受是为了让人们进一步理解连续复利率。该书讲了“Linda认为”，应该从形成“Linda认为”的原因讲起。如果从“她的资金以的利率连续计息或是以利率年复利是没有差别”推出，所谓以的利率连续计息就是普通的以利率计息，就说明“Linda认为”是对的，这就说明了从公式（1）推导出连续复利公式（3）除去根据年利率推导出年利率外没有任何意义，这样就否定了所谓的连续复利公式（3）；如果说“她的资金以的利率连续计息或是以利率年复利是没有差别”是不对的，就应该讲清楚这差别在哪里，让读者进一步体会所谓连续复利的意义。但该书没有对“Linda认为”做进一步做出否定连续复利的分析，而是在“Linda认为”的基础上继续讲连续复利的所谓意义，

4.用理解错误的生物增长规律解释连续复利

例32010年机械工业出版社出版的《衍生工具》（英文翻译本）在论述连续复利公式（3）时说

“乍一看，连续利率似乎与现实不符，但恰恰相反。假设我们要对树的增长建模，树木并不是以离散的方式增长，其增长是连续的，如果假定树木的当前高度是50英尺，每年增长率为5%，树木6个月后的高度将是50e0.05（0.05）=51.266英尺”。

该书此段不是要将连续复利法用到树木增长上，而是要用树木连续增长现象解释连续复利法。

实际上，人们“乍一看，连续利率似乎与现实不符”，就是人们凭中小学知识和生活常识，就感觉到连续利率与现实不符。在这里，人们凭中小学知识和生活常识得出的感觉是正确的。树木增长与这里的复利计算是同一类数学问题，10英尺高的树木，一年增高，一年后就是20英尺；10英尺的树木，一年后长成20英尺高，一年的增长率就是。这里并没有要求树木以离散的方式增长。树木无疑是连续增长的，树木的增长与人们采用离散计算还是连续计算无关。如果树木的当前高度是50英尺，每年增长率，树木6个月后的高度将是英尺，而不会是。我们应当做的是，从对树木增长的计算去揭示连续复利法的荒谬性，而不是相反，所以，该书此段的论述不成立。

5.认为连续复利“可在实际中被用作那种转换非常频繁（例如按日计）的利息的近似”

例41996年上海科技出版社出版的《利息理论》（英文翻译本）中把刻画资金总额A（t）随时间t而增长的关系A′（t）A（t）=λ中的λ称作利息效力。年利率r与年利息效力λ间的关系是该书（第30、31页）叙述说“利息效力是一种有用的概念化手段。它使复利金额的连续增长类似于自然科学中的增长函数。从理论上说，利息最基本的度量就是利息效力，但在实际上，实质和名义利率与贴现率用得更频繁，因为它们更简单，对于多数人来说更易理解，而且大多数金融业务包含的是离散过程而非连续过程。这并不是说利息效力没有实际意义。除掉它是一种有用的概念化及分析工具以外，它还可在实际中被用作那种转换非常频繁（例如按日计）的利息的近似。”

这里的问题是：并不是利息效力“使复利金额的连续增长类似自然科学中的增长函数”，复利公式（1）本身就是“使复利金额的连续增长类似自然科学中的增长函数”。

说利息效力“还可在实际中被用作那种转换非常频繁（例如按日计）的利息的近似”也是不对的。例如，当年利率是10%时，用A（t）=A0（1+10%）t作“那种转换非常频率（例如按日计）的利息的近似”和计算都是对的；用A（t）=A0eλt=A0etlnI1+10%=A0（1+10%）t去作“那种转换非常频率（例如按日计）的利息的近似”和计算，这实际上还是普通复利，这与利息效力或连续复利无关；而用A（t）=A0e0.1t=A0（1+10.517%）t去作“那种转换非常频繁（例如按日计）的利息的近似”则是不对的。总之，这段论述不成立。

6.应用连续复利求等额支付问题

例52007年清华大学出版社出版的《工程经济学》（英文第13版翻译本）有如下例题：

“例4-26连续复利和年度等额支付

假设有个人目前贷款1000美元，采用名义利率是20%的连续复利（m=∞）。计算他在10年里每年等额偿还的金额为多少？

解：利用公式A=P（A/P，r%，N）

但因为附录中没有列出连续复利的（A/P）系数，所以我们用附录D（见该书564页—本文注）中列表的（P/A）的倒数来替代：

A=P×1（P/A，20%，10）=1000×13.9054=256（美元）

在离散复利（m=1）的情况下，同样是这个例子的年度等值是：

A=P（A/P，20%，10）=1000×0.2385=238（美元）”

从这里的解答看，设置此题是要让读者理解离散复利与连续复利在应用上的差别。问题是，e20%=1+22.14%，“采用名义利率是20%的连续复利”就是采用22.14%利率计算，利率20%与22.14%当然是有差别的。给出“采用名义利率是的连续复利（m=∞）”作为解决问题的条件，除去将年利率提20%高到了22.14%外，没能表达出任何别的意义。

其它如1980年John WiIey出版的《EssentiaI Mathe matics for Economists》利用连续复利推导出了资金流现值计算公式，2011年机械工业出版社出版的《期权与期货市场基本原理》（英文第7版翻译本）将连续复利应用到二叉树期权定价模型、B-S期权定价模型，对于连续复利的这些错误应用，文已有详细论述，可以断言，若还有其它关于连续复利的应用，那一定也是不对的。我国高校出版的教材关于连续复利的讲授也都是不对的。

参考文献：

[1] 别莱利曼著，丁寿田、朱美琨译.趣味代数学[M].北京：中国青年出版社，1980.

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[4] .远山启著，吕砚山等译..通俗数学（下册）[M].北京：北京科学技术出版社，1988.

[5] 戴维·鲁珀特著，孙志宾、张键红译.统计与金融[M].北京：中国人民大学出版社，2010.

[6] 高俊科.关于所谓增长率的连续计算问题[J]. 数学的实践与认识，1988（3）.

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[9] 罗伯特E.惠利著.胡金焱、王起、李穎译.衍生工具[M].北京：机械工业出版社，2010

[10] 斯蒂芬.A.罗斯、罗德尔福.W.威斯特菲尔德、杰弗利.F.杰富著，吴世农、沈艺峰、王志强等译. 公司理财（原书第8版）[M].北京：机械工业出版社，2009.

[11] S G Kellison 著，尚汉冀译.利息理论[M].上海：上海科学技术出版社，1996..