考虑准则依赖的多准则变权决策新方法

孙永河，杨世旭，段万春

昆明理工大学 管理与经济学院，昆明 650093

1 引言

多准则决策是决策分析领域一个重要的研究课题。随着大数据时代的来临，如何科学解决社会经济系统大量存在的非线性、复杂性以及涌现性等问题是目前复杂性科学与复杂决策领域专家学者面临的一个重要挑战[1]。在此情景下，传统的多准则决策方法因假设各准则的独立性而使得其合理性、适应性以及有效性均受到了质疑和批判[2-3]。迄今，针对准则间存在关联的多准则决策问题，学术界主要有三类处理方法。第一类是基于模糊测度和模糊积分（如Choquet、Sugeno积分）的方法。该方法最先是由日本学者Sugeno于上世纪70年代最先提出，近年来在多准则决策领域得到了大量应用[4-5]，然而当准则数量较多时，通常会陷入模糊测度值确定的指数灾难困境，之后Sugeno、Grasbisch等学者试图基于λ模糊测度以及k加模糊测度摆脱上述困境，但仍存在评价专家难以确定属性（集）的模糊测度信息等诸多不足[2]。第二类是网络分析法（Analytic Network Process，ANP），它是美国匹兹堡大学著名运筹学家Saaty教授于1996年提出的一种超越层次分析法、更具普适性的复杂系统决策分析方法。随着近10年来掀起的ANP应用热潮，人们也逐步发现ANP在构造准则内部依存矩阵时暴露出的突出问题，如文献[6]明确指出ANP使用“相对甲来比较甲和乙”的比较逻辑也必然会使决策者的比较判断结论存在明显的主观随意性和武断性。第三类是非线性加权影响测度体系（Weighted Influence Non-linear Gauge System，WINGS）。文献[7]试图将准则与方案共同视为系统因素，通过对系统因素分析揭示出准则之间的关联关系，但按WINGS方法的运行机理，决策分析者对准则之间的直接影响关系进行判别时，实质并未直接反映方案与准则之间的内在关联机理，因此在处理多准则决策问题上暴露出一定的局限性。

基于上述认识，本文在相关基础理论概述的基础上，通过系统阐述新方法构建的理论思想，融合ANP、改进后的WINGS以及数据包络分析（Data Envelopment Analysis，DEA）技术思想提出一种考虑准则依赖的多准则变权决策方法。

2 相关理论基础概述

2.1 网络分析法

与传统层次分析法不同，ANP不仅从结构上突破了层次分析法所采用的递阶层次结构限制，而且允许元素集（层次）内部元素之间存在相互依赖关系，因此其具有较强的普适性，近年来该方法在国内外得到大量的应用和推广[8-11]。若某系统内部有N个元素集，记为M1,M2,…,MN，则反映这些元素集之间直接影响关系的ANP系统超矩阵为：

其中，ϖij为列随机分块矩阵，反映的是因素集i对j的影响矩阵 (i,j=1,2,…,N)，当ϖii≠0(∀i∈1,2,…,N)时，则说明元素集Mi内部依赖（依存）。

当超矩阵ϖ为非列随机矩阵时，需要将其转化为如下式（2）所示的列随机矩阵ϖ′。

通过求式（2）的极限矩阵或求Cesaro和，即可得出ANP系统各因素相应的极限（或平均极限）权重。

2.2WINGS方法

WINGS方法是波兰学者Michnik于2013年新提出的一种系统因素分析方法。设某复杂系统内部有l个因素e1,e2,…,el，WINGS方法的基本步骤如下[7]。

步骤1构造e1,e2,…,el之间的直接影响矩阵M=[mij]l×l。其中，矩阵M对角线上的元素mii为因素ei自依赖强度，用标度0、1、2、3、4分别表示自依赖强度从无到极大按自然数逐级递增。mij(i,j∈N+，且i,j∈[1,l],i≠j)反映因素ei对ej的直接影响关系，仍用0、1、2、3、4予以标度（表征相应的影响强度从无到强逐级递增）。

步骤2按下式将矩阵M规范化，形成规范化直接影响矩阵M1。

步骤3求解综合影响矩阵M2，计算式如下：

步骤4计算系统各因素的中心度和原因度。由于各因素的影响度向量和被影响度向量分别为：

因此依据WINGS规则，系统各因素的中心度和原因度的向量可用下式予以反映。

2.3 数据包络分析

DEA作为一种测度多输入、多产出决策单元相对效率的数学规划方法[12-13]，迄今已在诸多学科领域得到了大量的推广应用。基本的DEA-CCR模型如下：

式（7）中，n为决策单元数，yrj、xij分别为第j个决策单元的产出和投入，vr、φi表示相应产出、投入的虚拟权重，产出及投入指标个数依次为s和m，ε为非阿基米德无穷小。另外，为使模型（7）对各决策单元有更强的甄别能力，通常需要在该模型的基础上添加权重置信域约束。

3 考虑准则依赖的多准则变权决策实现方法

3.1 方法构建的理论思想

设某多准则决策问题有L个相互依赖的准则以及K个方案，分别记为C1,C2,…,CL、A1,A2,…,AK，且决策者给出方案Ak在各准则上的效用值记为λk,η(∀η=1,2,…,L,k=1,2,…,K)。由于考虑了各准则之间的相互依赖关系，因此传统基于加权和法的多准则决策模型不再适用。基于上述问题描述和ANP基本理论知识可知，该复杂多准则决策问题此时可视作一个包括准则集和方案集的ANP决策问题。其分析结构详见图1。其中，弧型箭线表示准则集内部依存。

图1 考虑准则依赖的多准则决策问题ANP分析结构

相应地，按照ANP方法机理，即可得出与图1结构相匹配的ANP未加权超矩阵W。

分析图2可知，超矩阵W由分块随机矩阵W11、W21、W12所组成。W11表示准则集内部依存子矩阵，W21反映的是方案集对准则集的影响子矩阵，W12为准则集对方案集的影响子矩阵。

图2 图1所示结构相应的ANP未加权超矩阵

命题1考虑准则依赖的多准则决策问题相应的ANP加权超矩阵W1的极限矩阵存在。

证明由于图1所示的ANP变权分析结构考虑了准则之间的依赖关系，因此未加权矩阵W中的分块矩阵W11是非零矩阵。另外，依据未加权超矩阵与加权超矩阵之间的关联关系，可以给出加权超矩阵W1的表达式为：

其中，常系数β1,β2＞0，且β1+β2=1。

分析式（8）可知，W1不仅为非负不可约矩阵，而且分块矩阵β1W11仍是非零矩阵，因此依据文献[14]推论可知W1的极限矩阵(W1)∞存在，证毕。

由命题1可知，图1所示分析结构是稳定的，显然采用ANP方法解决准则依赖的多准则决策问题是可行的。

通过上述分析可以看出，本文所提方法的核心在于构建出图2所示的未加权超矩阵W，其构建的理论框架如图3所示。

图3 未加权超矩阵W构建的理论框架

需要强调的是，图3中超矩阵W的构造有两个核心技术（用带圆圈的数字予以表达）。其一，子矩阵W12的构造运用了DEA的技术方法，这是因为：基于评价方案对各准则的相对权重予以判别，这意味着允许各方案选取最为有利于自身的虚拟准则权重，而该思路恰与DEA-CCR模型的分析思路完全一致。为此，可将W21中的数据视作DEA模型的产出，构造产出型CCR模型，并通过求解该模型得出W12中的准则权重信息。其二，反映准则之间相互依赖关系的子矩阵W11在构造时抛弃了传统ANP所使用的构造机理模糊不清的两两比较法，取而代之的是采用判断机理更为明确的改进WINGS的构造方法。

3.2 具体的方法实现步骤

基于上述方法构建思想，下文给出具体的方法实现步骤。即：

步骤1将已知效用偏好评价值λk,η规一化，得出子矩阵W21。其计算式为：

步骤2基于W21构造各方案相对效率评价的DEA模型。将多准则决策中的方案Ak(∀k=1,2,…,K)视作决策单元，向量λ′k=(λ′k1,λ′k2,…,λ′kL)＞0 视作DEA的产出向量，显然从DEA视角分析，由于各决策单元只有产出而无具体的投入，因此按下式（10）可给出添加虚拟权重置信域约束的CCR模型。

步骤3求解模型（10），并根据求解结果构造子矩阵W12。记反映决策单元φ相对效率评价的最优虚拟准则权向量为μφ=(μφ1,μφ2,…,μφL)T，∀φ=1,2,…,K。分析权向量μφ可知，它恰恰表示的是因决策单元（方案）不同而不同的各准则的相对权重，因此方案集对准则集的影响矩阵可用向量组μ1,μ2,…,μK予以表达，并进一步将该矩阵归一化，从而构造出子矩阵W12，参见下式。

步骤5构造考虑准则依赖多准则变权决策复杂问题的超矩阵。按ANP规则，依据前述子矩阵W21、W12、W11及零矩阵可构造如下的未加权超矩阵W。

由于超矩阵W是非列随机矩阵，因此按ANP要求需要对子矩阵W11、W21进行加权（详见式（8）），得出加权超矩阵W′1。需要说明的是，按Saaty教授在ANP软件Superdecisions的使用说明中指出，无特定关于准则集、方案集相对重要权重判断信息的情境下，ANP软件默认β1＝β2＝0.5 。此时，加权超矩阵W′1的具体形式为：

步骤6求解W′1的极限矩阵，根据求解结果实现对各方案的优选排序。基于命题1可知，W′1的极限矩阵有唯一解，因此可直接求解得出各方案的极限排序权重，并依据这些权重的大小对各方案进行优劣排序。

3.3 方法的变权机理

与传统多准则决策固权评价模式（即采用的固定不变的准则权重体系）明显不同，作者给出的上述决策方法本质上体现了变权决策的评价模式（即准则权重是随方案（集）的变化而发生变化）。在式（15）超矩阵构造过程中，具体的方法变权决策机理主要表现为如下两方面。

一方面，从上述方法实现步骤2、3可知，W12实质是基于W21和求解DEA模型（10）而导出的。在该模型中，虚拟准则权重μk,η反映的是在第k个方案下第η个准则的相对权重，由DEA模型原理可知，它是方案集Q(Q={1,2,…,K})、方案Ak效用值λk,η(k=1,2,…,K;η=1,2,…,L)和方案k的函数，即：μk,η=f(k,Q,λk,η)。由此可见，μk,η会随待评价方案不同而呈现非线性变化。

另一方面，由步骤4论述可知，式（14）所示的内部依存子矩阵W11中的元素，反映的是考虑点依赖偏好关系的准则权重，这些准则权重（记为wij(i,j=1,2,…,L)在导出时均是依赖于特定决策情境ρ（包括方案集Q、决策环境ξ），换言之，它们之间可表达为wij=g(Q,ζ,…)的函数形式，从而可知wij一般而言会因方案集不同而发生变化。

4 实例对比验证

某大学信息系统与管理科学工程系拟对5位教学科研型教师从科研、教学两方面进行年度考核。在该实际评价与决策问题中，科研、教学两方面可视作两个准则（即C1、C2），5位教师作为待评价方案（记为A1,A2,…,A5）。显然，评价准则C1、C2之间存在相互依赖关系。系统决策者根据5位教师的教学、科学业绩给出了如表1所示的效用偏好值。

表1 各方案在准则C1、C2上的效用偏好评价值

依据学校对教学科研型教师考评的相关政策，决策者给出如下定性认识：第一，若属于教学科研型的教师在教学或科研任一准则下的业绩较差（效用偏好值极小）时，则不宜获得较好的综合考评结果。第二，当出现某些教师在教学、科研两方面的综合考评值相等（近似相等）时，科研业绩突出的教师应获得更好的评价结论。按照前文给出的方法步骤，首先，由表1数据和式（9）易求知子矩阵W21为：

然后，决策者结合学校实际分析给出教学、科研之间的虚拟权重约束为：

基于W21数据和式（17），通过式（10）、（11）求解得出子矩阵W12的计算结果。即：

接下来，请决策者运用步骤4所述的改进WINGS方法，分别给出在准则C1、C2作为控制准则下C1、C2之间的直接影响矩阵为：

再基于D1、D2按步骤4方法原理推导得出如下反映准则之间依赖关系的内部依存子矩阵W11。

最后，通过联立W21、W12、W11和零矩阵，按照前述步骤5、6计算出方案A1,A2,…,A5最终的极限排序权重为：0.056、0.061、0.079、0.080、0.058（其规一化权重分别是 0.168、0.183、0.237、0.240、0.174）。显然各方案的优劣排序为：A4≻A3≻A2≻A5≻A1。

由表1可知，方案A1、A5分别在科研与教学上的效用偏好值较低，按决策者形成的第一点定性认识，这两个方案最终的综合考评结果应较差，这与上述各方案的优劣排序结果完全一致。另外，从方案A3、A4的最终排序权重值看，两者近乎等值，由决策者给出的定性认识2可知，在此情境下，科研表现突出的方案在综合考评结果上应相对较优，因此结合表1第4~5行数据信息可以推断出A4≻A3，这与本文所提方法得出的排序结果也完全相符，说明该方法是合理的、可行的。

为进一步验证考虑准则依赖的多准则变权决策方法（下文简称新方法）的科学有效性，下文将其与传统固权评价法及假设准则相互独立的多准则变权决策方法进行对比分析。

为保证不同方法有共同的信息基础，这里借鉴文[15]的方法对比思路，基于表1数据、新方法得出的方案排序权重信息以及准则因素固权与变权之间存在的联系机理，近似地拟合该实例中教学准则与科研准则的固权，具体的二次规划拟合模型如下。

其中，σh(h=1,2,…,5)为第h个方案的拟合误差，σ1、σ2为常系数；b1、b2表示中间变量；p1、p2分别表征拟合前教学、科研因素的固权，w1、w2为拟合后相应准则因素的固权。

求解式（18），从而得出w1、w2分别是0.954、0.046。依据传统多准则固权集成的加权和法，由表1数据信息和导出的固权信息，计算得出在固权模式下各方案的效用偏好排序权重值（详见表2第3行），从而可知A1,A2,…,A5的优劣排序为A1≻A3≻A4≻A2≻A5，显然最优方案为A1，这与决策者第一点定性认识相悖。因此可以推知，多准则固权决策方法难以有效反映系统决策者的特定偏好，较之于新方法有明显劣势。

表2 采用不同方法得出的方案复合排序权重

此外，假设在新方法中不考虑准则因素之间的相互依赖关系（即假定各准则相互独立），则在新方法中内部依存矩阵W11为零矩阵。在这种情况下，最终可得出各方案的复合排序权重，参见下表2第4行。显然易知，各方案的优选排序为：A3≻A4≻A2≻A1≻A5。从各方案的优选排序权重看，A3、A4的排序权重极为接近，按决策者给出的第二点偏好认知，此时应有A4≻A3，但这一结果恰好与假设准则相互独立的多准则变权决策方法得出的评价结果相反，由此可见，准则的相互依赖性在实际多准则决策问题中不应忽视，否则极有可能得出错误的方案评价结论。

综上所述可知，较之于传统多准则固权决策方法和假设准则相互独立的多准则变权决策方法，此文所提新方法更为科学、可行，且在新方法运算过程中没有遇到任何困难，充分说明新方法是科学合理的，对解决复杂情境下的多准则变权决策问题有着较强的实际应用可操作性。

5 结论与讨论

为克服传统考虑准则关联的多准则决策方法存在难以有效反映复杂决策问题内在复杂性、非线性等机理特征，本文基于改进的WINGS方法、ANP方法、DEA技术方法，提出了一种全新的、考虑准则依赖的多准则变权决策方法，从本质上实现了系统准则之间的相对权重联系因方案（集）不同而不同的变权机理。本文的主要创新之处在于：其一，研究视角创新，将多准则决策问题合理转化为包括准则集与方案集的特殊ANP决策问题，并运用ANP最核心的超矩阵技术原理实现了对方案的变权评价，有效反映了复杂问题蕴含的非线性、涌现性等特征。其二，评价与决策的具体实现方法创新。虽然作者沿用了ANP的系统结构体系，但超矩阵构造时却突破了目前在学术界饱受争议的传统ANP所使用的两两比较判断法，采用的却是更易于操作且相对较为成熟的改进WINGS和DEA方法。一方面，在构造准则之间的内部依存子矩阵时，不仅强调指出在改进WINGS决策判断过程中要添加情境依赖约束条件，而且充分考虑到WINGS方法中的“影响”（特指一般意义上因素之间的影响关系）概念在内涵上区别于ANP方法中使用的“影响”概念（指因素之间的相对重要性影响），且通过中心度这一指标搭建出两种方法有机融合的科学机理。另一方面，通过求解带置信域的DEA模型，有效构造出方案集对准则集的影响矩阵，直接实现了对决策准则的变权评价机理。

最后，通过一个实例对比验证结果表明，新方法相对于传统多准则固权决策方法和假设准则相互独立的多准则变权决策方法更具科学可行性。

提出的新方法在使用过程中，若决策准则数量L较大时（比如几百甚至更多时），则待解决的问题显然更为复杂。在此情境下，一方面可采用改进WINGS方法、因子分析等技术，找出系统的关键准则，抓住事物的主要矛盾予以分析，从而降低问题的复杂性。另一方面，可将此文所提新方法的步骤1~4进行计算机编程，求解出分块矩阵W11、W12，然后将这些权重信息输入到ANP软件Superdecisions，应用该软件可方便地实现步骤5和6的计算，最后得出各方案的优劣排排序结果。

需要强调指出，由于此文第4部分给出的案例对比分析是一个较为简单的实例，表面上看以其来说明所提方法可行性、实用性有一定的局限，但其对比验证机理对于实践中更为复杂的实例同样也是适用的，限于篇幅，这里不再采用更多的实例验证方法的科学可行性。另外，从发表在国内外权威期刊中的多准则决策方法相关论文成果看，对新方法的实用性检验目前仅停留在算例分析或案例应用层面，能够对相关方法进行对比分析的文献尚不多见[16]。因此从该视角看，此文给出的实例对比验证分析也体现出一定的理论创新价值。当然，新方法的优越性仍需今后通过大量的实践应用予以进一步检验。

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