非自治F-N 系统在带参数的空间中全局吸引子的存在性

周康宝， 李晓军

(河海大学 理学院，江苏 南京210098)

1 预备知识

考虑Ω ⊂Rn为有界光滑区域，考虑下面非自治方程:

初值条件和边界条件为

其中a，λ，b 是非负常数，f ∈L2(Ω)，g ∈L2(Ω)。h 是一个非线性光滑函数，且满足

且存在L ＞0，使得

当ε(t )是不依赖于时间t 的常数时，在文献［1］中作者研究了式(1.1)～(1.4)全局吸引子的存在性。考查系统(1.1)～(1.4)中ε(t)与时间t有关，且由于ε(t)在无穷远处衰减为0，因而具有奇异性，主要源于系统(1.2)变为保守系统。这在运用经典的方法得到吸收集的存在性时带来一定的困难，为得到时间导数项或-Δ 项依赖于时间参数的波方程的全局吸引子的存在性，作者分别在文献［2］中将时间参数并入过程所定义的空间，给出在依赖于参数t 的空间中全局吸引子的存在性。文中应用文献［3］中的理论，考查系统(1.1)～(1.4)依赖于时间t 的全局吸引子的存在性。

首先给出关于含参数的空间的一些概念对于每个对t ∈R，令Xt是一族依赖于t 的赋范空间，称双参数映射U(t，τ):Xτ→Xt是一个过程，若它满足:

1)U(t，τ)= U(t，r)U(r，τ)，∀τ ≤r ≤t;2)U(τ，τ)是Xτ上的恒同映射。

令Bt(R) = {z ∈Xt:‖z‖Xt≤R}，设A，B 的Hausdorff 半距离为

若对任意的t ∈R，存在Rt，使得Ct⊂Bt(Rt)成立，则称集族C = {Ct}t∈R在Xt中是有界的。

定义1.1 称有界的一族集合{Bt}t∈R是拉回吸收集，如果对任意的R ＞0，都存在t0= t0(t，R)≤t，使得

称过程U(t，τ)是耗散的，若其拥有一拉回吸收集。定义1.2 称集族{Kt}t∈R，Kt⊂Xt，是拉回吸引的，若对任意的ε ＞0，集族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的，其中(Kt)是Kt在Xt中的ε-邻域。若过程U(t，τ)拥有一个非空紧的拉回吸引集，即{Kt}t∈R是拉回吸引的，Kt⊂Xt是Xt中的紧集，则称U(t，τ)是渐近紧的。

定义1.3 称{At}t∈R是过程U(t，τ)依赖于时间的全局吸引子，如果{At}t∈R是拉回吸引的，At⊂Xt是紧集。

为保证吸引子的不变特性，引入下面定义。定义1.4 称U(t，τ):Xτ→Xt是闭的，若对任意给定的则有U(t，τ)x = ξ。

若对固定的T ＞0，U(t，t － T)是闭的，则称U(t，τ)是T-闭的。

由上述定义可知，连续过程，强弱连续过程，闭过程都是T-闭的。下面给出关于依赖时间的全局吸引子存在性的抽象结果，证明如同文献［4-6］。

定理1.1 假定过程U(t，τ):Xτ→Xt是渐近紧的，则存在依赖于时间的全局吸引子{At}t∈R，At⊂Xt，进一步假设U(t，τ)是T-闭的，则{At}t∈R满足不变特性:U(t，τ)Aτ= At，t ≥τ，τ ∈R。

注 上定理给出的全局吸引子没有唯一性，若过程U(t，τ)拥有一个一致有界的紧的拉回吸收集，则定理1.1 中所描述的全局吸引子在吸引意义下是唯一的。

2 主要结果

对于系统(1.1)～(1.4)，令含参量空间Xt:=L2(Ω)×L2(Ω)，令‖·‖表示L2(Ω)范数，定义空间Xt的范数为

同理，定义空间Yt= H2(Ω)×(Ω)，范数为

由ε(t)的假设可知，空间Xt与Xτ等价，空间Yt与Yτ等价，当t →+ ∞时，等价常数爆破。

由标准的Galerkin 方法如见文献［7-9］，有如下结果。

定理2.1 假设式(1.5)～(1.8)成立，那么问题(1.1)～(1.4)在L2(Ω)× L2(Ω)中适定，即对任意的τ ∈R，任意的初值(uτ，vτ)∈L2(Ω)×L2(Ω)，和任意的T ≥0，方程(1.1)～(1.4)存在唯一的弱解(u，v)∈C(［τ，t］;L2(Ω)×L2(Ω))，且该解连续地依赖于初值。

由上述定理可知，在Xt中可以定义过程U(t，τ):

其中(u(t)，v(t))是系统(1.1)～(1.4)的解。引理2.1 假设系统(1.1)～(1.4)成立，则对Xτ中的任何有界集B = Bτ(R)，存在τ0= τ0(B，t)，使得，对式(1.1)两边用ε(t)u 在L2(Ω)中作内积，得到

证 令

对式(1.2)两边用v 在L2(Ω)中作内积，得到

将式(2.1)和式(2.2)相加，并应用ε(t)的假设可得

式(2.3)右边两项可以估计为

应用式(1.7)～(1.8)，由于式(2.3)～(2.5)可以得到

由上式可得

忽略式(2.6)中左边第3 项，对式(2.6)应用Gronwall 引理可得

由上式可知，当τ →－ ∞时，有

由引理2.1 可知，过程U(t，τ)存在一个有界的拉回吸收集{Bt}t∈R，其中

引理2.2 假设式(1.5)～(1.8)成立，则对任意的(uτ，vτ)∈Bτ，存在τ0= τ0(t，Bτ0)，使得

证 对式(2.6)两边在(t，t +1)积分，并应用引理2.1 可得

引理2.3 假设式(1.5)～(1.8)成立，则对任意的(uτ，vτ)∈Bτ，存在τ0= τ0(t，Bτ0)，使得

证 用－ε(t)Δu 对(1.1)在L2(Ω)中做内积可得

上式右边最后一项可估计为

对于式(2.8)右边第2 项，有以下估计:

由式(1.5)～(1.6)可得

此处C 是式(1.5)中的常数。由式(2.8)～(2.11)并应用ε(t)的假设可得

结合引理2.2，对式(2.12)利用一致Gronwall 引理可得

为了估计v 的渐近紧性，需要对v 进行分解:v =v1+ v2，其中v1和v2分别满足

易知，v1满足

故有当τ →－ ∞时，‖v1‖→0。

下面给出v2在H1(Ω)中的正则性。引理2.4 假设式(1.5)～(1.8)成立，则对任意的(uτ，vτ)∈Bτ，有

证 对式(2.15)两边用－Δv2在L2(Ω)中作内积，可得

式(2.16)右边第一项可估计为

从式(2.16)右边第2 项可估计为

那么从式(2.16)～(2.18)可得

结合引理2.3，对式(2.19)利用Gronwall 引理可得

由上式可知，当τ →－ ∞时，有

定理2.2 假设公式(1.5)～(1.8)成立，则公式(1.1)～(1.4)所对应的过程在Xt中有依赖于时间的全局吸引子{At}存在。

证 由引理2.1 可得过程在Xt中有一个依赖于时间的吸收集。由引理2.2 ～2.4 可得系统所对应的过程在Xt中是渐近紧的。利用定理2.1 及定理1.1，可以得到过程在Xt中有依赖于时间的全局吸引子{At}存在。

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