李亚普诺夫直接法在移动机器人轨迹跟踪控制器设计中的应用

郭一军， 刘胜荣， 赵 磊

(黄山学院 机电工程学院，安徽 黄山245021)

移动机器人由于具有较高的机动性和灵活性，能够根据应用需要自主移动到工作空间完成操作任务，应用领域广泛，因此对其的控制问题引起人们的广泛关注。轨迹跟踪控制是机器人运动控制的重要组成部分，机器人编队、避障、导航功能的执行都需要通过机器人底层的运动控制实现。轮式移动机器人是典型的多输入多输出、非线性、欠驱动的非完整系统，对其的运动控制富有挑战性。杨芳等［1］研究了摄像机未标定参数情况下的非完整移动机器人轨迹跟踪问题;马保离［2］研究了基于状态观测器的移动机器人路径跟踪控制问题;张鑫等［3］探讨以两驱动后轮角速度为控制输入的移动机器人轨迹跟踪问题，设计出具有全局渐稳的自适应滑模轨迹跟踪控制器。

受文献［4-8］对轨迹跟踪问题研究的启发，文中基于李亚普诺夫直接法的轨迹跟踪控制器设计方法，在对系统运动学的分析的基础上建立轨迹跟踪系统误差模型，并考虑系统运动学约束;然后选择合适的误差状态变量构造候选李亚普诺夫能量函数，结合李亚普诺夫稳定性分析理论，得出系统渐进稳定的轨迹跟踪控制律;在Matlab 环境下对所设计控制律进行了仿真验证，结果表明该控制律可以保证轨迹跟踪误差渐进收敛。

1 轮式机器人运动学模型

文中以Unicycle 类型移动机器人为研究对象。为了说明移动机器人与惯性坐标系的相对位姿，定义惯性坐标系XOY，以移动机器人两驱动轮轴线中心为原点，线速度方向为横轴，垂直与线速度方向为纵轴，定义移动机器人本地参考坐标系xoy。假设机器人质心位于两驱动轮轴线的中心，则实际机器人的位姿在惯性坐标系下可以表示为向量

其中，x，y 为其质心的坐标;θ 为其航向角，即机器人瞬时前进方向与X 轴的夹角。同时定义期望位姿为

该位姿由虚拟机器人给定。

如果假设两驱动轮与地面间满足“纯滚动无滑动”的情况，移动机器人的运动学方程可表示为

移动机器人位姿误差表示如图1 所示。

图1 移动机器人位姿误差表示Fig.1 Posture errors of the mobile robot

由图1 可以看出，虚拟机器人坐标系(xvoyv)以vr方向为x 轴正向，以vr方向绕x 轴正向逆时针旋转90° 为y 轴正向，在该坐标系内轨迹跟踪误差矢量e =［xeyeθe］T有如下方程成立［9］:

对式(2)求时间导数可得轨迹跟踪运动学误差模型

式中:v，w 为跟踪机器人的线速度和角速度;vr，wr为虚拟机器人的线速度和角速度。

2 轨迹跟踪控制器设计

对非完整移动机器人设计轨迹跟踪控制器就是依据系统误差模型，设计v，w 使得误差系统式(3)的状态变量对于任意初始误差，在控制律作用下［xeyeθe］T有界且满足

以实现对给定参考轨迹的跟踪。

取候选李亚普诺夫函数

显然当e ≠0 时，V(e)为正定函数，对V(e)求时间导数可得

式中，c1，c2为大于0 的常数。所以由李亚普诺夫稳定性理论可知，在控制律v，w 作用下，系统式(3)的平衡状态是全局渐进稳定的。证 在控制律作用下，

也有界。

又因

其中，Γ = ［xecosθe+ yesinθe］。由于有界，所以)必定有界，从而)一致连续，根据Barbalat 引理有

故

3 仿真实验分析

为了验证设计控制律的有效性，在Simulink 仿真环境下对移动机器人轨迹跟踪系统进行研究。给定轨迹为单位圆，即选取虚拟机器人的控制输入和初始条件:

设定跟踪机器人的初始条件为

在反馈通道叠加零均值高斯白噪声信号，图2 和图3分别为移动机器人对X 轴向和Y 轴向给定参考轨迹跟踪效果。

图2 X 轴向轨迹跟踪曲线Fig.2 Curves of X axis trajectory tracking

图3 Y 轴向轨迹跟踪曲线Fig.3 Curves of Y axis trajectory tracking

图4 为机器人跟踪过程中位姿误差变化曲线，图5 为X 轴向轨迹和Y 轴向轨迹组合后的移动机器人几何轨迹跟踪效果。

图4 位姿误差变化曲线Fig.4 Curves of posture errors

图5 几何轨迹Fig.5 Trajectory of mobile robot

仿真结果表明，在文中所设计速度控制律的作用下，轨迹跟踪误差具有满意的收敛特性，位姿误差能以较快的速度收敛到零，这说明轨迹跟踪控制系统的有效性和符合全局渐近稳定特性。

4 结 语

文中依据系统动态误差模型，基于李亚普诺夫稳定性理论，设计了具有全局渐进稳定性的轨迹跟踪控制器。该方法设计过程简单，控制器参数调节方便，系统的控制效果良好，具有较强的鲁棒性。

［1］杨芳，王朝立.不确定非完整移动机器人的轨迹跟踪控制［J］.控制工程，2012，19(2):258-261.

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［2］马保离.基于观测器的轮式移动机器人路径跟踪控制［J］.控制理论与应用，2007，24(5):756-760.

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