浅谈分类讨论思想在数学解题中的应用

文/王芳芳

引言

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，分类讨论思想是一种普遍应用的数学思想，应用较为广泛。作为数学教师，如何发现并挖掘分类讨论思想，并将这一思想传递给学生，已经成为数学教师普遍关注的问题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中、高中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一、分类讨论思想概述

1. 分类讨论的定义

分类讨论思想是指在解决问题时，研究对象存在多种情况，不能一并解决，要求我们搞清研究问题的本质，进行适当的归类划分，然后根据分类情况分别讨论研究，最后将各类结果汇总，得到解决问题的最终结果。

2. 分类讨论的类型

(1)概念型。所研究问题所涉及的数学概念是分类进行定义的。如| m| 的定义分为m ＞0、m=0、m ＜0 三种情况。(2)条件型。所研究问题涉及到的数学问题有范围或者条件约束的。如推导等比数列的前n 项和的公式，分m=1 和m≠1 两种情况。(3)含参型。解含参变量的题目时，必须根据参数的不同取值范围分别进行讨论。如解不等式mx ＞4 时分m ＞0、m=0 和m ＜0 三种情况讨论。

3. 分类讨论解题步骤

(1)确定讨论对象和确定研究的全域;(2)对研究问题进行分类(分类时注意做到不重和不漏);(3)分类讨论:即对各类问题进行讨论，然后分类解决;(4)归纳汇总，整理得出结论。

二、分类讨论思想在解题中的应用

1. 分类讨论思想在集合中的应用

例1. 已知集合P= {m2，m+1，-3}，Q= {m-3，2m -1，m2+1}，若P∩Q= {-3}，则m 的值( )

A. 0 B. -1 C. 1 D. 2

解:选B;∵ P∩Q= {-3}，

∴ -3 ∈Q= {m-3，2m-1，m2+1}，

当m-3= -3 时，m=0，P= {0，1，-3}，Q= {-3，-1，1}，则P∩Q= {-3，1}，与题设矛盾，

当2m-1= -3 时，m= -1，P= {1，0，-3}，Q= {-4，-3，2}，

当m2+1= -3 时，方程无实数解。

小结:该题考查了集合在运算时的分类讨论思想，分类的标准为集合的性质:确定性、无序性、互异性。

2. 分类讨论思想在解不等式中的应用

剖析:此题主要考察含参数不等式的解法，参数m 决定了2m+1 的正负和两根-4m、6m 的大小，所以要对参数m 分四种情况

分以下四种情况讨论:

2 时，(x+4m)(x-6m) ＜0，解得:6m ＜x ＜-4m。

综上得:当m ＞0 时，x ＜-4m 或x ＞6m;当m=0 时，x≠0;当-＜m ＜0 时，x ＜6m 或x ＞-4m;当时，6m ＜x ＜-4m。

小结:做含参变量的题目时，要分清参量和变量，做到合理有效的分类，不重不漏。

3. 分类讨论思想在方程和函数中的应用

例3. (2011 天津文16)设函数. 对任意，恒成立，则实数的取值范围是;

【解析】解法1。显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此。

当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得。所以实数的取值范围为。

小结:含有参数的二次函数的最值问题是一类常见问题，分类的关键是抓住对称轴，对其在不同的区间进行分类讨论。

三、小结

分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到的知识点较多，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。分类讨论思想是一类重要的数学思想，教师一方面引导学生理解其分类精髓，学会运用分类思想解题，另一方面也要不断培养学生的数学思维能力，对学生学习其它数学思想会产生积极作用。

［1］安玉禄，分类讨论思想在数学教学中的应用［J］，中学生数理化，2010 年08 期.

［2］赵慧，分类讨论思想在高中数学教学中的运用［J］，考试周刊，2010 年38 期.

［3］ 杨建平，浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用［J］，学周刊，2013 年07 期.

［4］ 叶伟文，例说分类讨论思想在高中数学解题中的应用［J］，数学教学通讯，2010 年27 期.

［5］李克大，分类讨论的数学思想及其应用［J］，中学生数学，2010 年09 期.