“推理能力”的对比分析与教学建议

王四宝

【摘 要】 在《义务教育数学教学大纲》的基础上，教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿）》）。经过10年的实践与研究，教育部又于2011年12月颁布了《义务教育数学课程标准（2011年版）》 （以下简称《标准（2011年版）》）。在《标准（实验稿）》实施的10年间，不少教师对把握“推理能力”的教学要求方面存在不同意见。《标准（2011年版）》在数学家、教育家及一线教育工作者的共同努力下，给予了“推理能力”更加明确的教学目标和具体要求。

【关键词】 《数学课程标准》；“推理能力”； 对比分析；教学建议

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014） 28-0080-03

一、对比分析

下面给出“推理能力”在学习内容与教学建议的变化。

学习内容——

《标准（实验稿）》：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。

《标准（2011年版）》：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公里、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

教学建议——

《标准（实验稿）》：“证明”的教学所关注的是，对证明必要性的理解，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明；使用较规范的数学语言表述论证的过程，有利于学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人的思想；组织学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，这有利于开阔学生的视野。

《标准（2011年版）》：义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。通过对比分析，发现有以下几方面的变化：

1. 课程性质更加明确。《标准（2011年版）》提出：数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力。

上述内容突出了推理能力在数学中的重要地位，这是对《标准（实验稿）》的继承与发扬。同时，明确学生的学习应在掌握基础知识、基本技能的基础上，培养抽象思维和推理能力，最终是发展创新意识和实践能力，从而为学生未来生活、工作和学习奠定基础。

2. 学习内容更加具体。 “推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程之中。”这是《标准（2011年版）》中提出的非常明确的要求。具体为：推理能力应贯穿于所有学习内容之中，包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域；推理能力应贯穿于课堂教学的各种活动之中，包括在概念教学、命题教学、证明教学等学习活动时，应关注学生推理能力的培养；推理能力也应贯穿于整个数学学习的环节，包括预习、复习、课堂教学、自我练习、测试考试等学习环节中，逐步要求学生做到言必有据、合乎逻辑。

3. 推理内涵更加清晰。传统教学中，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是有局限性的。《标准（2011年版）》指出：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公里、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。应在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

同时，给出了清晰的探究方式：教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认。在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。

二、教学建议

推理，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。学习数学就是要学习推理，具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

1. 在学习内容中发展推理能力。初中学段的数学学习内容包括“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”及“综合与实践”等四大领域，各领域都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材。教学中必须改变培养学生推理能力的“载体”单一化（几何）的状况，要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间；要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题，引导学生参与“过程”；要恰当地组织、指导学生的学习活动，并真正鼓励学生、尊重学生、与学生合作。这样，就能帮助学生形成“推理”的意识，逐步理解“推理”的内容、方法和依据，拓宽发展学生推理能力的空间，从而有效地发展学生的推理能力。

在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”——公式、法则、运算律，即“算理”；现实世界中的数量关系往往有其自身的规律，用代数式、方程、不等式、函数刻画这种数量关系或变化趋势的过程中，也不乏分析、判断和推理。

在“图形与几何”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。具体教学中，应引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动进行合情推理，发现一些规律，猜测某些结论，增强发现和提出问题的能力，以及解决问题的基本思路，做到合情推理与演绎推理相结合。

“统计与概率”中的推理（也称统计推理）属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。

2.在教学活动中培养推理能力。课堂教学是培养学生推理能力的重要阵地。因此，如何在课堂教学中培养学生推理能力是我们每位教师应特别重视的话题。

教学中要增强发展学生推理能力的意识，丰富教学活动内容与形式。无论在概念教学、命题教学或者证明教学中，教师应始终关注教学活动的设计与思考，通过生动、活泼、有趣的探究活动，激发学生探究的兴趣。

例1，观察下列运算：

15×15=1×2×100+25=225；

25×25=2×3×100+25=625；

35×35=3×4×100+25=1225。

（1）你能发现上述运算规律，并用字母n（n为正整数）表示出来吗？

（2）对（1）中发现的规律，你能给出证明吗？

说明：这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。通过这个教学活动，可以让学生感悟，有些问题是可以通过具体问题得出结论，然后通过一般性证明来验证的。经常在教学中设计这样的探究活动，必将激发学生从推理中找到学习的乐趣。

在第三学段的推理教学中，应注意在三段论、反证法、一般性命题证明等的教学活动中，精心设计一些探究活动，帮助学生逐步形成推理的意识，激发推理的欲望，规范推理的表述，提升推理的能力。

除课堂教学外，还有很多日常生活中的活动也能有效地发展人的推理能力。要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中处处有“推理”，养成善于观察、勤于思考的习惯。如，若每两人仅握一次手，则三个人共握几次手？n个人共握多少次手呢？（通过合情推理探索规律）这与“由上海开往北京的1462次列车途中停靠23个站（不包括上海和北京），这次列车共发售多少种不同的车票”这样的问题，有什么联系呢？

《标准（2011年版）》在推理能力的性质、要求及理念等方面都有了新的表述，并明确应在数学学习全过程中加以培养与发展。在实施建议中也给出了一些具体实例，明晰了课堂教学设计的操作典范。一线教师只有认真研究《标准（2011年版）》、研究教学方法，才能更好地把新的教学理念落实好，学生的推理能力也才能得到更好的发展。

参考文献：

[1] 教育部.全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2002.

[2] 教育部.义务教育《数学课程标准》（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 教育部.全日制义务教育《数学课程标准解读》[M].北京：北京师范大学出版社，2002.

[4] 教育部.义务教育《数学课程标准（2011年版）解读》[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

（编辑：刘金华）