测井信号的模极大值小波去噪与交替投影重构

高丙坤 周泳含 孙灵川 张 莉

(1.东北石油大学电气信息工程学院，黑龙江 大庆 163318；2.北京邮电大学信息与通信工程学院，北京 100876)

核磁共振测井可以有效地探测、评估剩余油分布范围、采油率及储油效率等，该技术所获取的原始数据是自旋回波串，包含渗透率、孔隙度、可动流体及不可动流体等众多的物理信息[1]。由于测井中热力和重力的作用，加之井下环境恶劣，干扰因素多，致使核磁共振测井得到的自回波信号较微弱，信噪比低。核磁共振测井回波信号为非线性非平稳性信号，故笔者通过小波变换对信号进行去噪处理，以提高分辨率，对测井信号做出准准的解释。

核磁共振测井仪器探测到的自旋回波为指数衰减信号，实测的1 000组样本形成的回波信号如图1所示，有用信号被大量噪声湮没，难以表征信号的物理信息。

图1 核磁共振测井仪器实测信号

信号的奇异性需要利用Lipschitz指数进行衡量[2]。函数f(t)在某一点的Lipschitz指数α越大，该点就越光滑；否则，该点的奇异性越大。核磁共振测井自旋回波信号是连续变换的，没有间断点出现，其有效信号的Lipschitz指数α>0，噪声信号的Lipschitz指数α<0。基于模极大值的小波变换去噪方法就是根据这一特性来检测信号的局部奇异性[3]，具体方法为：

a. 求各尺度下的模极大值，其与信噪比和重构误差均有关系。信号重构时，误差与尺度j成正比关系，故具体的选择需根据信号的信噪比确定。

b. 确定尺度j上的模极大值点。对信号做二进制小波分解后，选定一个阈值A和最大分解尺度j，并将j上噪声对应的模极大值点与阈值A作比较，若其对应的幅值比阈值A小，就将其删除，否则将其保留。

c. 寻找尺度j-1上的传播点，这个传播点要和尺度j上小波变换模极大值点相对应，从而保留有效信号的极值点，将其他(如噪声引起)极值点去除。

2 测井自旋回波信号的交替投影重构

在尺度1到尺度j下，利用模极大值进行信号重构。为减小误差，采用交替投影算法[4]恢复小波系数。

寻求某一个函数h(x)∈L2(R)，使得该函数在每一个尺度j下，其二进小波变换Wjh(x)的模极大值与Wjf(x)具有相同的模极大值。h(x)应满足以下两个约束条件：

a. 在各个尺度j下Wjf(x)的任意模极大值

b. {xnj}是Wjf(x)局部极大值的全体集合。

从这两个条件可以看出，第二个条件比第一个条件实现起来要困难，因此不要求信号的局部极值点全部位于{xnj}内，而要求|Wjh(x)|的平均值达到最小。另一方面，模极大值的点数取决于Wjh(x)。因此，为了保证在第二个条件改变的情况下Wjh(x)的模极大值点数的准确性，使Wjh(x)在集合{xnj}以外的点数尽可能地少，且能量最小，引入以下范数：

(1)

对于第一个条件，设K为所有的函数序列{gj(x)}j∈Z组成的空间，则通过式(1)可得：

(2)

一个由所有函数序列{gj(x)}j∈Z组成的集合Γ，Γ⊂K，则有：

(3)

(4)

令PΓ和PV分别为凸集Γ和空间V上的两个投影算子。这两个算子分别对范数‖*‖是正

交的。令P=PV∘PΓ是两个空间V和Γ的交替投影算子。迭代n次后P(n)=P∘P∘…∘P,可以证明，对任意空间K中的序列Y={gj(x)}j∈Z，有：

(5)

即对空间V和Γ的交替投影收敛于Hilbert空间V的正交投影。因此，经过若干次迭代后，就会收敛于所要求的函数。

3 测井自旋回波信号去噪与重构效果

对前述核磁共振测井自旋回波信号进行分解，最大层数为4，交替投影算法的迭代次数为6。经过小波模极大值处理后，得到的结果如图2～4所示。

图2 回波信号小波分解近似系数和细节系数

图3 模极大值的尺度传播特性

图4 模极大值重构的回波信号

由图2可以看出，信号在经过模极大值三层分解后，近似系数和原始信号较为相似，能够反映出原始信号的特征信息。细节系数分布较紧密，表明信号噪声较集中。

由图3可以看出，尺度越大，小波变换的模极大值就越稀少，但还是会很好地吻合原始信号的突变点，较好地反映突变点的大小和位置，由这些保留下来的模极大值点重构的信号能够很好地反应信号的特性，有助于提高回波信号测量的精确度。

由图4可以看出，模极大值去噪处理的效果很明显，探针信号中的绝大部分噪声都被滤除。重构信号光滑、平稳，去噪后的信号与原始信号很相似。

4 结论

4.1小波模极大值去噪方法有效地保留了核磁共振测井自旋回波原始信号的奇异点信息，且该算法对噪声的依赖性相对较低。

4.2交替投影重构信号光滑、平稳，能很好地显示去噪后的信号与原始信号的相近性。

[1] 肖立志,谢然红,丁娱娇,等．核磁共振测井仪器的最新进展与未来发展方向[J].测井技术,2003，27(4)：265～269．

[2] 华春红,任章,张敏虎.基于自适应阈值估计的模极大值去噪方法[J].航天控制,2011,29(1)：37～40,47.

[3] 段炜.基于小波变换的探地雷达信号去噪方法研究[D].长沙：中南大学,2008．

[4] 孙丰荣,翟广涛,李艳玲,等.由小波变换模极大值重构信号的快速算法[J].小型微型计算机系统,2005,26(12):2147～2149.