《指数函数的图像及其性质》的图形计算器教学设计

朱谦友

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（苏教版）《2.2.2指数函数的图像及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将这部分划分为两节课（探究概念图像及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究概念图像及其性质”。 指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中也有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究，对知识起到了承上启下的作用。

二、学生学情分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（古莲子的年代问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果激发学生学习新知的兴趣和欲望。进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数及等比数列的性质打下坚实的基础。

三、设计思想

（一）函数及其图像在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望，维持持久的好奇心。本节课，力图让学生从不同角度研究函数，对函数进行全方位研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生体会这种的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中。

（二）结合参加我校组织的市级课题《高中数学实验教学的实践研究》的研究，在本课教学中我努力实践以下两点。

1.在课堂活动中，利用图形计算器帮助学生学习，通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

2.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习、研究数学的方法。

（三）通过图形计算器与学生的课堂活动，通过学生自我动手、自我实验，培养学生的学习能力，增强数学学习的趣味性和生动性。

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

知识与能力：通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念;掌握指数函数的图像及性质，并能解决简单的数学问题。

过程与方法：通过观察图像，分析、归纳、总结，自主构建指数函数的性质。体会数形结合和分类讨论思想及从特殊到一般等学习数学的方法 ，增强识图用图的能力，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中，使学生获得研究函数的规律和方法;通过图形计算器的运用，培养学生自我动手、自我实验、合作交流的意识，培养学生善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

五、教学重点与难点

教学重点：指数函数的概念、图像和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。

六、教学策略分析

（一）本节是指数函数及其性质概念课，以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。

（二）抓住学生的好奇心，将娱乐“计算米粒”与数学有机结合在一起，利用图形计算器，通过学生自我动手、自我实验，增强数学学习的趣味性和生动性。

（三）通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的得出可谓“润物细无声”。

（四）在研究指数函数的性质时，通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图像和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图像及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图像探索。学生的上台报告，老师借助图形计算器的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。

七、教学过程

（一）创设情境，提出问题。

师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。

师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？

教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。

师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007—2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007—2008年度我国全年的大米产量。

【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做好准备;同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】

在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？

学生很容易得出y=2x（x∈N■）和y=2■（x∈N■）.

（二）师生互动，探究新知。

1.指数函数的定义

师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与y=2■类似的关系式y=1.073■（x∈N■，x≤20）

（1）让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）（约3分钟）。

①y=2■（x∈N■）和y=1.073■（x∈N■，x≤20）这两个解析式有什么共同特征？

②它们能否构成函数？

③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现y=2■，y=1.073■是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

师：如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y=a■的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

（2）让学生讨论并给出指数函数的定义（约6分钟）。

对于底数的分类，可将问题分解为：

①若a<0会有什么问题？（如a=-2，x=■则在实数范围内相应的函数值不存在。）

②若a=0会有什么问题？（对于x≤0，a■都无意义）

③若a=1又会怎么样？（1■无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。）

师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a≠1.

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值;②讨论出a>0，且a≠1也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】

接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y=2×3■，y=3■，y=-2■。

【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】

2.指数函数的图像与性质

（1）提出两个问题（约3分钟）。

①目前研究函数一般可以包括哪些方面？

【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。

②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？】

可以从图像和解析式这两个不同的角度进行研究;可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）;当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法进行研究才能事半功倍。还可以借助一些数学思想方法思考。

【设计意图：①让学生知道图像法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图像和解析式（包括列表）不同的角度对函数进行研究;

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

（2）分组活动，合作学习（约8分钟）。

师：好，下面我们就从图像和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。

①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助图形计算器的操作从图像的角度入手研究指数函数。

②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）。

③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当指导。】

【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对所得到结论的理解。】

（3）交流、总结（约10～12分钟）。

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。

师：各组除了研究过定义域、值域、单调性、奇偶性外，还是否得到一些有价值的副产品呢？（如：过定点（0，1），y=a■与y=（■）■的图像关于y轴对称）

师：下面我们开一个成果展示会！y=2■，y=10■，y=（■）■，y=（■）■.

【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图像法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图像角度研究只是能直观地看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证;特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。

②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。

③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】

师：从图像入手我们很容易看出函数的单调性，奇偶性，以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定;从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。

教师通过图形计算器中“动态图”模块，改变参数a的值，追踪y=a■的图像，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。

师生共同总结指数函数的图像和性质，教师可以边总结边板书。

（三）巩固训练。

例1：已知指数函数f（x）=a■（a>0，且a≠1）的图像经过点（3，π），求f（0），f（1），f（-3）的值。

【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】

师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件。

【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】

例2：（1）同时画出y=2■、y=（■）■与y=3■和y=（■）■的大致图像，观察并思考y=a■和y=（■）■图像之间的一般结论？

学生活动：通过学生利用图形计算器进行探索研究，归纳出结论。

（2）同时画出y=2■、y=2■、y=2■的图像，思考它们图像间的关系？

【设计意图：①让学生再一次感受图形的美，直观感受图形之间的联系（也可以从解析式角度进行）。

②突出数形结合思想的优势，强调各种研究数学的方法之间的联系，相互作用，才能融会贯通。】

（四）提升总结。

师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？

【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间既有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】

（五）作业：课本59页习题2.1A组第5题。

八、教学反思

（一）本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度研究函数，对函数进行全方位的研究，不仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

（二）在教学中借助图形计算器可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易地化解教学难点、突破教学重点、提高课堂教学效率，本课使用图形计算器可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生自我动手、自我实验，直观观察底数对指数函数单调性的影响，进而让学生自己得到指数函数图像的规律与特点。既使学生学到了知识，又培养了学生的学习能力，增强了学生数学学习的趣味性和生动性。

（三）在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法分析、思考问题。