中学数学建模活动中常用的建模方法

李存保 于素洁

【摘要】 我国的中学数学教育，不同程度地存在缺乏应用数学的意识、兴趣和能力方面的问题.笔者开展了在中学从课内外结合进行数学建模的活动，目的是培养学生的创新意识和应用能力，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。

【关键词】中学数学 数学建模 活动 探索

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0129-02

“创新是一个民族进步的灵魂，是我们国家兴旺发达的不竭动力。” 中学数学建模活动最大的优点是学生的主动性，创造性可以得到充分发挥，学生的主体作用得以体现.在中学数学建模活动中，常用的建模方法有机理分析法、数据拟合法、类比分析法、图解法、假设法等，以下就这些常用的方法略以阐述。

1、机理分析法

机理分析法是指應用自然科学、数学科学等中已被证明是正确的理论、原理和定理，对被研究问题的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立问题的数学模型.机理分析法是中学数学建模活动中最常用的一种方法。当我们遇到一个问题时，总是想方设法化归到我们已经掌握的知识范围内处理。当我们对某问题的各有关因素有比较透彻的了解时，机理分析法尤其适用，我们可以根据该问题的有关性质来直接建立数学模型。

例如，在公路旁的某镇北偏西60°且距离该镇30km处的A村和该镇东北50km的B村，随着改革开放要在公路旁修一车站C，从C站向A、B两村修公路，问C站修在公路的什么地方，可使费用最少？

分析：此问题可以和物理光学内容相联系。

设以公路为x轴，该镇为原点建立直角坐标系，

则A（-15，15），B（25，25）

作A点关于x轴的对称点A（-15，-15），

连结AB交x轴于C，则C为所求站点。

2、数据拟合法

很多情况下，由于我们对一个问题的结构和性质不很清楚，因此就无法应用机理分析法找出符合规律的数学模型.不过如果通过实验或测量已经得到了描述这个问题的一组数据，那么我们就可以对这些数据加以分析利用，数据拟合法就是根据对这些有限的数据的研究分析，找到能够精确或大致反映问题本质属性的数学模型。

例如，据世界人口组织公布地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底地球上的人口数达到了60亿，请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿，到2100年地球上将会有多少人口？

分析：题目中的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多误差，因此，寻找人口增长规律不需要也不应该过分强调规律与数据完全吻合，因此，组建预报模型.不必要考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口的增长速度是逐步变快的，因此不能应用一次函数来作为预报的模型，而应选择指数函数.故选择N（t）=aert，其中N（t）为t时间的人口数，a、r为参数.数据拟合是处理这类问题的有利根据.我们通过已知数据，去确定某一类已知函数或寻找某个近似函数，使所得的拟合函数与已知数据有较高的拟合精度。

3、类比分析法

如果两个不同的问题，我们都可以用同一形式的数学模型来描述，那么这两个问题就可以相互类比.通过类比分析法，我们可以去猜想这两个问题的一些属性或关系也可能是相似的，从而帮助我们掌握复杂事物的规律，提高我们分析问题和解决问题的能力。

例如：问题1. 房间有8 个人，每个人都和其余每一个人握手一次而且都只能握一次手，问他们共握多少次？

问题2. 8个班参加篮球循环比赛，共比赛多少场？

这是两个生活中的例子，可以建立这样的模型：把每个人看成一个点，构造一个凸八边形模型，则每条边和对角线都表示“握手”和“比赛”，问题归为求凸八边形的对角线数加边数.即得28：当然可以推广到n 个，结果是：

4、图解法

图解法是将问题表述在图形中，利用图形直观判断实际问题的解.常用于传递性关系或仅涉及变量的近似数据，可用的信息不多或这些信息又不精确时.例如相遇问题：某轮船公司每天都有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所化的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上.问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？

从图形中显而易见地看到，从哈佛开出的轮船抵达纽约时，遇到了14艘同一公司的轮船从对面开来。

中学数学建模的方法还有很多，而且各种方法之间也没有明确的区分，在此就不再一一罗列。