航天器太阳阵的刚柔耦合动力学与控制研究

段柳成，李海泉，刘晓峰，蔡国平

（上海交通大学工程力学系，海洋工程国家重点实验室，上海200240）

航天器太阳阵的刚柔耦合动力学与控制研究

段柳成，李海泉，刘晓峰，蔡国平

（上海交通大学工程力学系，海洋工程国家重点实验室，上海200240）

对空间漂浮航天器太阳阵展开与锁定过程的刚柔耦合动力学与控制问题进行较为全面的研究。基于Jourdain速度变分原理和单向递推组集方法，建立了太阳阵展开与锁定过程的刚柔耦合多体系统动力学模型，采用模糊自适应PD控制方法对航天器本体的姿态扰动进行主动控制。通过对考虑柔性效应的太阳阵展开与锁定过程的数值仿真，较好地预测了太阳阵展开历程及航天器本体姿态扰动情况。另外，通过采用模糊自适应PD控制方法与传统PD控制方法进行仿真比较，验证了该控制方法对航天器姿态控制的有效性。

刚柔耦合动力学；太阳阵；单向递推组集；模糊自适应PD控制；ADAMS

引 言

太阳阵是航天器的重要部件，它为航天器的在轨工作提供电力。太阳阵在航天器入轨前呈收拢状态，入轨后太阳阵压紧机构释放和展开机构动作，以实现太阳阵各帆板的展开与锁定。太阳阵的展开过程呈现出复杂的动力学行为，太阳阵展开动作会对航天器的姿态造成扰动［1］，太阳阵展开到位后在锁定装置的作用下实现瞬间锁定，这将诱发轻质柔性太阳帆板的激振，同时也会对展开机构造成严重的损害，因此开展航天器太阳阵展开动力学的研究工作是非常有必要的［2］。另外，随着空间科学技术的发展，一方面是航天器朝着大型化和柔性化方向发展，太阳阵尺寸和规模随之变大，柔性效应不可忽略，另一方面是高速度和高精度的要求，这就需要对太阳阵展开过程进行精确的动力学建模和动力学分析，为后续的控制设计提供模型保障。

截至目前，国内外众多学者对太阳阵展开动力学进行了较为广泛的研究，例如，Wie等［3］对INSAT航天器的刚性展开机构进行了运动学建模和数值仿真；Oskar和Simon［4］采用SIMPACK程序对柔性太阳帆板展开进行建模分析，讨论了太阳阵柔性对驱动机构的影响；郭峰等［5-7］基于ADAMS软件建立了刚性太阳帆板展开动力学模型，分析了帆板展开过程的动力学问题；Birhanu Fufa等［8-9］采用ADAMS和ANSYS商业软件对太阳阵展开、锁定过程动力学与卫星本体姿态扰动等问题进行建模分析等等。由以上可以看出，太阳阵展开动力学一直是国内外的研究热点，众多学者对此开展了大量的研究工作，但是仍存在一些问题有待进行深入探讨，例如现有的研究对考虑柔性效应的太阳阵展开动力学及其对航天器姿态影响的研究尚不充分，文献［8-9］研究了考虑帆板柔性变形的太阳阵展开时间历程及航天器本体位姿变化情况，但是研究工作主要是基于虚拟样机技术，没有从理论上给出描述系统动态规律的动力学方程，也没有开展相应的航天器位姿控制研究。

本文采用单向递推组集方法对考虑柔性效应的太阳阵展开动力学与控制问题进行了详细研究，通过与NASTRAN和ADAM的仿真结果对比验证了本文所建模型的正确性，本文所给出的模糊自适应PD控制策略能够有效地抑制太阳阵展开引起的航天器本体位姿的漂移现象。

1 太阳阵系统结构

1.1 系统描述

如图1所示为某航天器太阳阵系统结构简图。系统由航天器本体（Hub）、连接块（Yoke）、3块太阳帆板和铰链等所组成，其中航天器本体、连接块、太阳帆板三者之间都是通过扭簧铰链相互铰接，由此形成链式结构。太阳阵释放前处于折叠状态，在航天器入轨后各展开构件靠扭簧驱动而同步展开，展开到预定位置后触发锁定装置使太阳阵最终锁定在期望位置。

扭簧所提供的扭矩可以表达如下：

式中Kdrive为扭簧的扭转刚度，C为扭簧的阻尼系数，θ0为扭簧的预紧角，θ为构件的展开角如图1（c）所示为展开角速度。设定阻尼系数C均为0，太阳阵展开前处于折叠状态，系统展开到位后扭簧扭矩为零，因此对于连接块有θ0=90°，而对于各个帆板则有θ0=180°。

图1 太阳阵结构简图Fig.1 The structure of solar array system

1.2 绳索联动展开机构

航天器太阳阵各个构件的展开要求保持同步性，这在实际中常常是通过绳索联动装置（CCL）来实现的，其连接方式如图1（a）所示。在采用ADAMS软件对太阳阵展开进行仿真时，不少文献［2，5-6］采用了ADAMS的关联副法（COUPLER）描述CCL，这实际上是将CCL的软钢索刚度视为无穷大，与实际结构有差别。本文将CCL视为一个反馈控制系统，这可以更加有效地描述CCL的力学性能，其数学模型为［3］

式中TCCL为CCL机构的绳索等效力矩，其对各展开构件的施加方式如图1（c）所示；KCCL为CCL机构的等效扭转刚度可由实验测得；Δθ是邻接展开角之差。例如，对于CCL1，有Δθ1=2θ1-θ2，其中θ1为Hub与Yoke之间的展开角，θ2为Yoke与第1块帆板之间的展开角。对于CCL2，有Δθ2=θ2-θ3，其中θ3为第1块帆板和第2块帆板之间的展开角。对于CCL3，有Δθ3=θ3-θ4，其中θ4为第3块帆板和第2块帆板之间的展开角。

1.3 锁定机构

锁定机构的作用是当太阳阵展开到期望的角度后瞬间完成锁定。本文采用凸轮锁定机构［10］，该锁定机构的数学模型可以结合ADAMS自定义的跃阶函数与双侧碰撞函数的写法来确定，然后采用MATLAB自编程序实现太阳阵的锁定仿真，锁定力矩的函数形式如下［10］

式中θ为展开构件的展开角位移如图1（c）所示，˙θ为其展开角速度；x1和x2分别为跃阶函数STEP中角位移变量的低阀值和高阀值；x3和x4分别为双侧碰撞函数BISTOP的角位移变量的低阀值和高阀值；k和e分别为刚度系数和刚度指数；c和d分别为阻尼系数和阻尼增量距离。

2 太阳阵展开动力学与控制

本节基于混合坐标即拉格朗日坐标和模态坐标，采用Jourdain速度变分原理和单向递推组集方法建立太阳阵多体系统的动力学方程。最后采用模糊自适应PD控制策略进行航天器本体位姿主动控制的设计。

2.1 系统动力学建模

航天器在太阳阵整个展开及锁定过程中处于自由悬浮状态，其多体系统动力学模型为一无根多体系统。航天器太阳阵多体系统拓扑构型如图2（a）所示，其中B1为航天器本体，B2为连接块，B3～BN为太阳阵各帆板。为了在动力学仿真中考虑航天器本体姿态的变化，在本体和轨道坐标系之间引入一个6自由度的虚铰，建立轨道坐标系x0y0z0与本体虚铰坐标系xP1yP1zP1，本体虚铰坐标系xP1yP1zP1与本体浮动坐标系x1y1z1固结，并令初始时x0y0z0与xP1yP1zP1两坐标系相互平行，Qj和Pi分别为铰Hi在邻接两物体上的内、外接铰点，坐标系xPiyPizPi和xQiyQizQi分别为铰点Pi和Qj的当地坐标，坐标系xRyRzR为参考坐标系且令其与轨道坐标系平行，坐标系xiyizi为Bi的浮动坐标系（通常建立在Bi未变形前的质心位置），i=1～N为物体Bi标号，j=L（i）为Bi内接物体标号。

图2 太阳阵多体系统图Fig.2 The solar array

采用浮动坐标与模态坐标来描述多柔体系统位形。定义Bi独立的广义坐标为

式中qi∈RδHi×1为铰Hi的坐标列阵，δHi为铰Hi的自由度数，δHi≤6；ai∈Rs×1为描述Bi弹性变形的模态坐标列阵，s为截取的模态阶数。则太阳阵系统的独立的广义坐标列阵可以表示为

首先，分析单个物体的运动学情况。如图2（b）所示，利用集中质量有限元的方法将变形体Bi分割成l个单元。将单元质量mk（k=1，…，l）集中到节点k上，则节点k的矢径为，未变形时它处在矢径的位置，节点k平移变形的矢量记为为节点的平移模态矢量阵，可由有限元分析得到。它们应满足的几何关系为

对式（6）在参考坐标系下分别求1阶导和2阶导，经整理得到

将式（7）写成矩阵形式，得到

以下将推导邻接物体的运动学关系。在多体系统中，邻接物体之间是通过铰进行连接的，铰的相对运动可以通过固定在这两个物体上的坐标系的相对运动进行描述。根据图2（c）所示的几何关系可以得到Bi及其内接物体Bj矢径的关系式如下

式中和分别为铰点Pi和Qj的矢径，hi为铰矢量列阵。式（9）在参考坐标系下的坐标式为

式中Ai和Aj∈R3×3分别为Bj和Bi的浮动坐标系相对参考坐标系的方向余弦阵；和∈R3×s分别为铰点Pi和Qj的在浮动坐标系下的平移模态阵；是关于qi的函数，由铰的物理性质决定，当铰的类型已知时，可参考铰库［11］。

将式（10）两边分别求1阶导和2阶导，经整理可得到两物体浮动坐标系原点的速度和加速度关系式

式中ωj为Bj浮动坐标系的角速度为铰矢量列阵的坐标方阵，和分别为物体Bi和Bj的模态速度和分别为铰的相对速度和加速度列阵和∈R3×s分别为铰点Pi和Qj的转动模态阵，，ηi=，H＇iΩT是关于qi的函数且根据铰的类型确定，A0hi为Bi内接铰的当地坐标系相对参考坐标系的方向余弦阵。其他矢量坐标阵的表达式请参考文献［11］。

根据上文推导，将式（11）写成矩阵形式，得到速度与加速度的递推关系式

式中Tij，Ui和βi的具体表达式可参考文献［11］。以上推导了两个物体的位形速度阵和加速度阵之间的关系式。类似地，若系统中包含有N个物体，则系统中各物体位形速度阵和加速度阵之间的关系式可表述如下

式中Gi0、Gik和gik具体的表达式参考文献［11］。

对式（13）所示的多体系中N个物体的位形速度和加速度进行组集可以分别得到系统绝对坐标速度、加速度列阵和系统广义坐标速度、加速度列阵的递推关系式为

式中v0与分别为B0的绝对速度与加速度列阵（对于无根系统，两者均为零矢量阵），∈RN×1为N维单位列阵，其他矩阵数学表达形式请详见参考文献［11］。

基于上述运动学关系的推导结论，以下将建立系统的动力学方程。根据速度变分原理，Bi的速度变分形式的动力学方程可以表示为

式中vi为Bi的绝对速度列阵，Mi∈R（6+s）×（6+s）为Bi的广义质量阵，fi∈R（6+s）×1为Bi的广义力列阵，ΔP为系统中的力元和非理想约束力的虚功率之和。经整理，Mi和fi的表达式如下。

Mi的表达式为

fi由Bi的所受到的外力列阵、惯性力列阵和变形力列阵组成，可以通过下式计算得出

式中fωi，foi和fui∈R（6+s）×1分别为物体Bi所受的惯性力列阵、外力列阵和变形力列阵，给出如下：

式中Fki和Mki∈R3×1分别为作用于物体Bi节点k上的外力和外力矩列阵；Cia与Kia分别为物体Bi的模态阻尼阵与模态刚度阵，且为s×s阶常值方阵。

由式（16）和（17）得到的广义质量阵与各广义力列阵含有模态变量，且大多是时变的。若直接用于数值计算将出现大量的慢变大幅值的刚体坐标与快变微幅的变形坐标间的运算，不仅计算工作量大，而且严重影响计算精度。为此必须做进一步变换，尽可能减少这两种变量的耦合运算。具体的变换方法请参考文献［11］。

将式（15）写成矩阵形式有

式中M=diag（M1，…，MN）与f=（fT1，…，fTN）T分别为系统的广义质量矩阵和广义力列阵。

使用运动学递推关系式（14），并且考虑到ΔP= （Δ˙y）T（feye+feync），其中feye和feync分别为系统中力元和非理想约束力对应关于坐标y的广义力，则可以得到以系统广义坐标形式所描述的系统动力学方程的速度变分形式为

式中

由于y为系统独立的广义坐标，因此最终可得系统的动力学方程为

2.2 控制设计

太阳阵的展开过程会对航天器的位姿造成影响，影响其定位精度，采用合适的控制策略抑制这种姿态漂移现象是十分必要的［12］。在控制策略方面，传统的线性PD控制策略由于实际工程运用简便而备受关注，但其控制增益是凭借经验设定的，并不能根据控制系统具体情况自动调整，对于复杂系统其控制效果并不理想，而基于传统PD控制方法改进的模糊自适应PD控制策略能够实时地获取控制系统较为理想的增益值，对于复杂系统的控制效果良好［13］。本小节将采用模糊自适应PD控制方法，通过施加在Hub上6个自由度上的控制力和力矩来控制帆板展开所引起的系统位形变化。施加控制项后，系统方程（22）可以改写为

式中F（，y）=Z-1（z+fey）为系统广义力列阵，D为控制力位置矩阵，τ（t）∈R6×1为控制力列阵。本文采用航天器本体的信息进行控制反馈，因此模糊PD控制律可写为

式中ea（t）和（t）分别为航天器本体姿态漂移和漂移速度；kp和kd为PD控制增益矩阵，均为对角阵；Δkp和Δkd为模糊自适应PD控制增益修正矩阵，均为与ea（t）和（t）相关的对角阵。从下节的数值仿真将可以看出，模糊自适应PD控制律能够有效地抑制太阳阵展开所引起的本体位形漂移。

3 数值仿真

本节进行数值仿真，验证以上理论的有效性。考虑航天器带有三块帆板的情况。系统物理参数见表1。

航天器在空间处于漂浮状态，初始时刻太阳阵为收拢状态。所有扭簧刚度皆取值为Kdrive=0.1 N· m/rad，CCL装置的等效扭转刚度取值为KCCL=5 N·m/rad。Yoke和三块帆板在展开过程中需要保持同步性，因此任意时刻展开角之间在数值上应满足θ2=θ3=θ4=2θ1。锁定机构的锁定力矩函数各参数的取值可以参考文献［4］，在此不再给出。

采用MSC/NASTRAN有限元分析程序对连接块和各帆板进行有限元分析以提取相关的模态信息［11］。连接块采用固支-自由模型，取121个节点，其第1阶模态刚度为1.257×106，前3阶特征频率分别为178.447，235.479和385.378 Hz。各帆板采用简支-自由模型，离散为225个节点并取前3阶模态（删除刚体模态）。各帆板第1阶模态刚度为389.874，前3阶特征频率分别为3.142，6.391和15.622 Hz。通过连接块和帆板第1阶刚度的比较，连接块要比帆板高出3个数量级。故在仿真计算中将航天器本体和连接块做刚体假设，帆板做柔性体假设。

表1 航天器太阳阵模型的物理参数Tab.1 Parameters for the solar arrays

根据本文理论自编程序进行数值仿真。航天器的连接块和三块帆板的角位移时程如图3所示，可以看出，太阳阵各展开构件在扭簧驱动及CCL装置的共同作用下实现同步展开动作，并在17.5 s依靠锁定机构开始锁定。另外，根据文献［2］的方法采用通用软件NASTRAN和ADAMS对上文所建立的模型进行数值仿真，仿真曲线如图3虚线所示，可以看出，采用本文方法能够取得与ADAMS软件相同的仿真结果，这验证了本文方法的有效性。

太阳阵的展开过程会引起航天器本体位姿的变化，如图4中虚线所示。为了抑制位姿漂移，分别采用传统PD方法和改进的模糊自适应PD方法进行控制。传统PD控制律可写为τ（t）=kpea（t）+（t），其增益取值为kp（i，i）=103，kd（i，i）=2×102，i= 1～6。控制仿真结果如图4黑实线所示，可看出，施加控制后航天器本体基本维持在初始位置。为获得更有效的控制效果，采用改进的模糊自适应PD策略进行控制，其中Δkp和Δkd可由表2模糊规则确定，输入变量eja和输出变量Δkjp，Δkjd的隶属度函数如图5所示。图6黑实线给出了航天器本体位姿在采用模糊自适应PD控制策略下的控制效果，可以看出采用模糊自适应控制策略可以更好地抑制航天器本体的位姿漂移现象。

图3 太阳阵角位移时间历程Fig.3 Angular displacement of the solar arrays

图4 航天器本体的位移和角位移时间历程Fig.4 Displacement and angular displacement of the Hub

表2 Δkjp（eja）和Δkjd（eja）的模糊控制规则Tab.2 The fuzzy rule ofΔkjp（eja,）andΔkjd（eja,˙）

表2 Δkjp（eja）和Δkjd（eja）的模糊控制规则Tab.2 The fuzzy rule ofΔkjp（eja,）andΔkjd（eja,˙）

ZO PNNΔkjp～P，Δkjd～P Δkjp～ZO，Δkjd～P Δkjp～N，Δkjd～PZO Δkjp～P，Δkjd～ZO Δkjp～P，Δkjd～ZOP Δkjp～ZO，Δkjd～ZO Δkjp～N，Δkjd～P Δkjp～ZO，Δkjd～P Δkjp～P，Δkjd～P

4 结 论

本文采用虚功率原理和单向递推方法研究了考虑帆板柔性变形的太阳阵展开动力学建模与主动控制问题，给出了系统动力学建模的详细推导过程。传统的递推牛顿欧拉法采用描述大范围运动的笛卡尔坐标和小幅弹性变形的模态坐标建立多柔体系统的动力学方程，该方程维数较大，且不便于后续的主动控制设计。本文采用独立的拉格朗日坐标和模态坐标建立刚柔耦合的太阳阵多体系统动力学模型，该方程具有较少的自由度维数，便于主动控制的设计。通过与ADAMS软件的仿真结果进行对比，验证了所建系统模型的正确性，而且该模型具有计算效率高和程式化的特点。研究结果显示，本文模型能够有效地对太阳阵的展开动力学问题进行描述，太阳阵的展开过程会导致航天器的位姿发生漂移，基于位形本体信息反馈的模糊自适应PD控制方法能够有效地抑制这种位姿漂移。

图5 输入、输出变量的隶属度函数Fig.5 Membership function of input and output variables

图6 两种控制策略仿真结果比较Fig.6 Simulation results by using two controllers

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Rigid-flexible coupling dynamics and control of solar arrays

DUAN Liu-cheng，LI Hai-quan，LIU Xiao-feng，CAI Guo-ping
（Department of Engineering Mechanics，State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

The deployment and locking of solar arrays of the free-floating spacecraft is studied comprehensively in this paper. The rigid-flexible coupling dynamic model for describing the deployment and locking process is established using Jourdain′s velocity varitional principle and the approach of forward recursive formulation.The control design of the solar array system is discussed and the fuzzy adaptive PD control method is used for controller design.The deployment and locking process for solar arrays is well predicted through numerical simulation for the rigid-flexible coupling dynamic model.In addition，the effectiveness of the above control approach is verified by comparing the control results with the conventional PD control.

rigid-flexible coupling dynamics；solar arrays；forward recursive formulation；fuzzy adaptive PD control；ADAMS

O313.7；V412.4+2

A

：1004-4523（2015）05-0770-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.012

段柳成（1989—），男，硕士研究生。电话：18818214073；E-mail：sjtudlc@sjtu.edu.cn

蔡国平（1965—），男，教授。E-mail：caigp@sjtu.edu.cn