一维热方程边界值识别问题的一种优化算法

李昭敏/武汉东湖学院基础课部数学教研室

一维热方程边界值识别问题的一种优化算法

李昭敏/武汉东湖学院基础课部数学教研室

本文主要研究了一维热方程边界值识别问题。该问题在工业中有很广泛的应用，对这类问题的研究方法已有很多。本文主要是用一种新的方法——遗传算法来求解反演边界值问题。首先将本问题转化为一个最优化问题，然后通过遗传算子即交叉算子和变异算子的作用来计算此最优化问题。遗传算法是一种智能算法，它的应用非常广泛。到目前为止，已经有很多文献研究了遗传算法的全局收敛性。它比一般的优化算法具有更高的收敛速度。本文通过数值例子验证了遗传算法在解决热方程边界值问题中的有效性。

反边界值问题； 不适定问题；遗传算法；遗传算子

一、引言

数学物理反问题的简介

在应用数学研究日常生活中具体的自然现象和自然规律时，我们首先要给出自然现象或物理现象的数学描述，即数学模型。而是正确的模型应具备一下三个条件：（1）该模型的解是存在的，即该模型确实时描述了一类自然现象或规律；（2）该模型的解是唯一的；（3）该模型的解对输入数据是稳定的，即解对数据的误差是连续的。这也是数学模型必需具备的三个条件，也是我们经常提及到的解的存在性、唯一性和稳定性。若这三个条件中的任何一个不满足，我们都称此问题是不适定问题。随着科学技术的不断发展，这类不适定问题在实际应用中出现的越来越多，我们把这类不适定问题称之为数学物理反问题。在很多应用领域都出现了这类反问题。像在资源勘探，大气测量，海洋工程，遥感技术，控制与识别等领域中出现了大量的反问题。这引起了数学家的广泛重视和深入研究。使数学物理反问题的研究越来越受到很多人的关注，也使它称为现代数学领域中发展最快的方向之一。

遗传算法简介：

遗传算法是根据自然界中的生物对其生存的环境根据自己的适应性选择适合自己的生存环境，特别是在各物种相互竞争的环境中生存。根据达尔文的自然选择和孟德尔遗传变异理论，通过生物的繁殖、变异、竞争和选择等基本形式来实现，使适应环境的变异个体留下来，不适应环境的变异个体被淘汰，通过一代代生物对生存环境的选择作用，物种变异被定向为向着适应环境的方向发展，最后演变为适应环境的个体，遗传算法是建立在模拟生物进化过程的基础上的随机搜索的优化算法，

在最优化方面的应用就是根据上面的原理，将所求问题转化为一个优化问题，即确定目标函数。经过一系列的编码、遗传、变异、交叉、选择和解码等操作，然后利用“适者生存，优胜劣汰”的原理得到问题的近似最优解或最优解。

二、问题描述

本文考虑一下热传导问题

为了求解该问题，本文将用遗传算法来求解，按照遗传算法的要求，先将所求问题转化为一个优化问题即

其中上式中大范数为L2范数。G(t)是对应随机产生的u(1,t)解正问题边界x=0时的温度的计算值。gδ(t)是边界x=0时解正问题时得到的温度计算值。

其中m为时间的节点数。

下面将按照上面介绍的遗传算法来求解该问题。其具体步骤如下：

（1）首先产生一个初始种群u(1,t)，初始种群的大小设置为20.

（2）将产生的初始种群带入到目标函数（6）中，看是否满足目标函数的精度要求，若满足则停止计算，否则进行遗传操作。

（3）将产生的初始种群带入到适应度函数（7）中，计算每个个体的适应度值，然后根据轮盘赌方法选择优良个体。

（4）利用实数编码的交叉算子和变异算子对所选个体进行变异操作产生新个体，新个体产生后转入（2）计算。

反复操作以上步骤，直到找到所需要的解为止。

三、数值试验

本文将通过数值例子来验证用遗传算法在求解这类问题时是有效的。

在下面所给的例子中，方程（1）中的a2=1。所得的测量数据是带有误差的数据。

例1：已知精确解 u(x,t)=1+2x （8）

则边界x=1上的温度为u(1,t)=3此时边界温度是一个关于时间t的常熟函数。均可有精确解得到。当分别给加上δ=0.001,0.01,0.05时的扰动量时反演数值结果见图（1）.从图中可以看出随着扰动量的增加实验结果与精确解之间的偏差越来越大。遗传算法关于时间t的常数函数是有效的。

图1

图2

例3：：假设边界温度是由分段函数给出的

图3

则边界给出 ，在边界x=0时的温度g(t)由解正问题得到。利用例2的方法可以得到。从图（3）中可以看出随着扰动量的增加实验结果与精确解之间的偏差越来越大。遗传算法关于时间t的分段函数是有效的，只是在t=0.5时的结果相对差些，其他点与精确解基本吻合。

四、结论

本文中，我们分别研究了边界值关于时间t的不同函数的识别问题，在数值实验时，我们分别加上不同的误差水平，都得到合理的数值结果。也验证了遗传算法对边界值反演问题是有效的。

[1]姜礼尚，陈亚浙等。数学物理方程讲义（第二版）；北京：高等教育出版社，1996.

[2]刘继军。不适定问题的正则化方法及应用。北京：科学出版社，2005.

[3]肖庭亭，于慎根，王彦飞。反问题的数值解法。北京：科学出版社，2003.

[4] N. Ansari, E. Hou, Computational intelligence for optimization, KluwerAcademic,1997.

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