基于Bayes小子样理论的导弹贮存可靠性评估方法研究

2015-01-04崔加鑫宋贵宝

船电技术 2015年11期

崔加鑫，宋贵宝

（海军航空工程学院，山东烟台 264001）

0 引言

导弹是投资巨大、长期贮存、一次性使用的装备。在长期贮存过程中导弹的贮存可靠性随着贮存时间的延长会下降，这会直接影响其战备完好率和任务成功率。因此导弹武器的贮存可靠性的评估是非常有必要的，其有利于找出其贮存失效规律，能够及时排除故障隐患，以保持其良好的性能。现代导弹装备的结构越来越复杂，造价也越来越高。这种情况下，需要大量样本的传统试验鉴定方法不再适用，因为昂贵的导弹武器系统若进行大量的试验,其代价是难以接受的。而以小样本为基础的Bayes方法可以利用以往积累的数据和经验，结合少量的现场数据进行统计推断，能大大减少试验样本数，节省了试验的时间和费用。

1 导弹贮存可靠性的概念及主要指标参数

所谓导弹贮存可靠性是指导弹在一定的贮存条件下和一定的贮存时间内，保持自身功能的能力。导弹的可靠性越高，导弹就越能保持其性能的能力就越强。导弹可靠性的指标参数主要有：贮存可靠度，可靠贮存寿命和失效率。

1.1 贮存可靠度

导弹的贮存可靠度是指在规定时间t内和规定的贮存条件下，维持其规定功能的概率，它是时间t的函数，记为R(t)。当时间t增大时，R(t)逐渐减少。

设随机变量T是系统正常工作时间，则有：

1.2 可靠贮存寿命

设产品的可靠度函数为R(t)，可靠贮存寿命指合格产品在规定的贮存条件下，满足规定贮存可靠度R(0＜R＜1)要求的贮存时间。通常用TRL表示。

设随机变量T表示导弹的贮存寿命,TRL表示其可靠贮存寿命，R表示贮存可靠度，三者关系可表示为:

式中1-α为规定的导弹贮存可靠度。

导弹的可靠贮存寿命越长，说明导弹贮存可靠度下降的速率就越慢，也从侧面反应了导弹抵御环境因子影响的能力就越强。

1.3 失效率

在规定的技术条件下，失效率λ(t)是指导弹系统贮存一段时间后，单位时间内发生失效（或故障）的概率。就是导弹在(0,t)内正常工作的条件下，在(t,t+Δt)内发生故障的条件概率。

如果产品的失效分布函数为F(t),失效概率分布函数为f(t)，则可将失效率和可靠度的关系表示为：

2 Bayes统计分析方法

2.1 Bayes统计分析的基本思想

Bayes方法解决问题的思路不同于经典统计方法。它与经典统计方法的区别是：Bayes方法在保证决策风险尽量小的情况下，应用一切可以利用的信息。这些信息不仅仅包括现场的信息，还包括现场试验之前的信息，也就是验前信息。而验前信息的获取有很多不一样方式，例如通过专家经验获得的信息，以往同类型产品的试验信息，还有通过仿真获取的试验信息，以此确定其验前分布，然后根据试验信息利用Bayes公式进行统计分析和推断，而经典统计法只利用现场数据进行评估。

2.2 Bayes方法应用的一般过程

1）收集所要试验的产品或相同类型产品的历史试验数据，将这些信息转化成未知参数θ的分布，称为验前分布π(θ)。

2）通过对产品进行现场试验，获取试验数据X＝(x1,x2,…,xn)，并形成似然函数L(θ|X)；

3）运用Bayes公式，将验前分布π(θ)与似然函数L(θ|X)融合，得到的θ验后分布π(θ|X)。4.根据验分布π(θ|X)，推断出未知参数θ的点估计，区间估计等。

3 基于失效率的导弹贮存可靠性Bayes估计

3.1 基本假设

1）假设导弹的寿命是服从指数分布的，即f(t|λ)＝λe-λt，λ＞0。其中，分布参数λ为导弹的失效率。

2）假定对M枚导弹进行贮存寿命试验（独立试验），得到失效时间数据为:

对于定数截尾寿命试验，N为指定的失效数。对于定时截尾寿命试验，τ为预先指定的试验终止时间，此时失效数N是随机的。

3.2 导弹贮存可靠性Bayes模型

1）通过现场失效数据t1≤t2≤…≤tN，建立似然函数为：

其中T为总试验时间：

由于两种截尾试验的似然函数是一样的，在Bayes分析中两者也是完全类似的，因此此处我们仅讨论定数截尾寿命试验。

2）相同类型的导弹已经经过历次试验，有验前信息可以利用。此时可以将前一段（历次）试验后的λ的验后密度作为现场试验的验前信息，那么λ就取共轭验前分布 Gamma分布作为它的验前分布。记此时它的验前分布为：

其中：0α、0β为超参数。0α、0β的统计意义为：在过去的试验中，总试验时间为0α，总失效数为0β。

3）根据验前分布和似然函数可得到验后分布：

也可表示为：

其中，N+β0为联合失效次数，T+α0为联合试验时间。由此可以看出,应用验前信息的作用，相当于现场失效次数N增加了β0次，而试验时间T延长了α0个单位时间。

3.3 导弹贮存可靠性Bayes点估计和置信限

1）失效率λ的Bayes估计和置信上限。

在平方损失函数之下，λ的Bayes估计为：

下面对λ进行置信估计，只需注意在给定N之下，2(T+α0)·λ的概率密度函数为：

很明显，它是自由度为 2(N+β0)的χ2分布密度函数。于是可以得到λ的单侧置信上界为：

2）可靠度R的Bayes估计和置信下限。

上面给出了失效率λ的Bayes估计和置信估计。由此，可以求出导弹在t时刻内正常工作的概率R＝e-λt的Bayes估计及置信估计。

λ的验前密度为 Gamma密度函数G(λ;α0,β0)，由于λ＝-lnRt，可推算出R的验后密度为：

于是，在二次损失函数之下，可靠度R的 Bayes估计为：

利用λ的置信上界，可知R的置信概率为1-α的置信下界为：

4 实例分析

某型导弹的故障主要发生在弹上电气系统和制导控制系统等电子产品密集部位，这些部位发生故障后导弹将无法正常工作，因此可以通过分析这些部位的故障数据来确定导弹的可靠性水平，现有导弹30枚，经过一段时间的贮存后，共有10枚导弹发生故障，故障时间分别为：4860，10016，11201，14982，35942，43689，48792，50876，57213，62105（小时）；且通过查阅相关技术资料，可得到同类型导弹贮存的历史数据：总试验时间α0＝2 864752，总失效数β0＝18。