基于参数化有限元模型的斜齿行星传动内啮合特性分析

汪 建，卞世元，焦 阳，张 俊

(安徽工业大学机械工程学院，安徽马鞍山243032)

基于参数化有限元模型的斜齿行星传动内啮合特性分析

汪 建，卞世元，焦 阳，张 俊

(安徽工业大学机械工程学院，安徽马鞍山243032)

为揭示斜齿行星传动内啮合齿轮副的啮合特性，采用参数化建模方法和自底向上的建模策略，相继构建斜齿行星轮系的完整啮合和简化啮合三维有限元模型。通过设置内啮合接触对并施加恰当约束条件，分析传动中内啮合齿轮副的应力/应变，进而分析内齿圈轮缘厚度对啮合特性的影响。结果表明，各均布行星轮的应力状况不尽相同，且呈现出边缘接触现象，可通过修形予以改善；增大内齿圈轮缘厚度可降低内齿圈及各行星轮的最大应力/应变，提高齿轮强度。

斜齿行星传动；内啮合；啮合特性；轮缘厚度；有限元

行星齿轮传动广泛应用于飞机、舰船、车辆等装置中[1]。作为一类过约束系统，轮系中各齿轮副的啮合特性对系统综合性能和使役寿命具有决定性影响[2]。相比于直齿行星传动，斜齿行星轮系的组成和构造更为复杂，针对该类系统啮合问题的研究较少。针对直齿行星传动的啮合问题，学术界相继提出了多种分析模型，按模型种类和分析手段的不同，大致分为有限元法[3-6]、半解析法[7-8]、解析法[9]和实验法[10]，并基于所建模型对直齿行星轮系的啮合特性进行了深入研究。此外，上述研究大多仅关注轮齿的啮合变形而甚少涉及齿轮结构柔性对啮合特性的影响。文献[10]的研究表明，对采用薄缘结构的齿轮，其轮缘结构柔性对齿轮啮合特性的影响明显，在进行齿轮应力分析时必须计入这一影响因素。鉴于此，本课题组结合行星轮系的结构特点和运动特性，提出了1种基于ANSYSAPDL的斜齿行星传动参数化建模方法[11]。

文中将在本课题组前期研究的基础上，建立包含完整啮合副的斜齿行星齿轮传动三维有限元接触模型。结合内啮合副的啮合特点，对该模型进行精简，建立仅包含啮合区附近几对轮齿的简化的有限元接触分析模型。开展轮系中内啮合齿轮副的应力/应变研究，以揭示多对内啮合齿轮副的啮合特性以及内齿圈结构参数对传动件应力/应变的影响规律，为后续的强度分析、振动特性分析和齿轮修形等提供力学依据。

1 斜齿行星传动参数化有限元建模

1.1 参数化模型

遵循自底向上的建模思路，运用ANSYS APDL建立渐开线斜齿行星轮系的参数化三维有限元模型，建模的基本流程如文献[11]，所建包含完整啮合副的斜齿行星传动三维有限元模型如图1。

图1所示的斜齿行星轮系三维有限元模型中，既包含太阳轮—行星轮构成的多对外啮合齿轮副，也包含内齿圈—行星轮构成的多对内啮合齿轮副。因齿轮的接触问题为强非线性问题，进行接触分析时收敛速度较慢；另外，包含的构件数目较多，网格节点数庞大，会增加模型的求解代价；考虑到太阳轮和行星轮的构件刚度较大，在相同荷载情况下，其变形远小于内齿圈，外啮合引起的接触变形对整个轮系的均载特性影响较小，故文中仅关注轮系中内啮合齿轮副的啮合特性。文献[12]指出整体齿轮啮合模型和几对轮齿模型的计算误差在2%以内，因此可将行星轮处理成仅包含啮合区附近的轮齿及轮缘部分。

鉴于上述原因，对图1所示的包含完整啮合副的斜齿行星轮系三维有限元接触模型作进一步简化处理，简化处理后的薄壁内齿圈—行星轮有限元模型如图2。

1.2 接触对设置

斜齿行星传动内啮合齿轮副在啮合过程中，其啮合齿面接触线的长短和位置均为时变，是齿轮运动位置(转角)的函数。为保证获得1个完整啮合周期内齿轮副的啮合特性，需对其进行正确的接触对设置。对轮系中任一个行星轮与内齿圈构成的内啮合齿轮副而言，其接触对的数目应根据该齿轮副的重合度进行确定，进而以理论啮合点所在的轮齿为参考基准，选定相邻的1～2对轮齿作为潜在的接触对。最后，根据齿轮材料设置接触对的性能参数。以表1所示的分析对象为例，其重合度介于2～3，设置材料的弹性模量2.1×105MPa，泊松比0.27，材料密度7 800 kg·m-3；选择接触单元类型为CONTA173、目标单元类型为TARGE170，并设置相应的接触选项。设置后的接触对单元如图3。

1.3 边界条件

根据行星轮系中各构件的受力情况及安装工况，设定相应的边界约束条件：

1)约束内齿圈轮缘外表面节点径向X、周向Y及轴向Z(柱坐标系下度量，下同)的自由度；

2)约束行星轮轮缘内表面节点径向X、轴向Z的自由度，保留其周向Y的自由度(转动自由度)；

3)将内齿圈所受的转矩等效到各均布行星轮上，并换算成行星轮轮缘内表面节点的周向力(FY)。

按上述方式施加边界约束条件(约束、载荷)，其状态如图4。

2 应力/应变分析

完成边界条件设定，即可求解图4所示的有限元模型，获得内齿圈的应力与变形情况。不失一般性，以表1所列的斜齿行星传动系统为例，分析以过渡配合式安装的薄壁内齿圈及行星轮的啮合特性，假定转矩由太阳轮输入，行星架输出，内齿圈与机体固联。

表1 过渡配合式行星传动基本参数Tab.1 Basic parameters of planetary gear transmission with fixed ring

图5为表1所示系统在给定载荷条件下的应力云图。为清晰计，仅给出其中1对内啮合齿轮副处的应力。相应地，分别给出内齿圈和行星轮的应力和变形情况，结果如图6，7。

由图5可知：系统的最大von Mises应力为207.7 MPa，最大变形量约为0.005 3 mm；应力较大区域仅集中在参与啮合的轮齿附近，远离啮合区的轮缘部分应力很小，表明对行星轮所做的简化较为合理，不会降低模型分析精度。

由图6可知，薄壁内齿圈的最大von Mises应力约为207.7 MPa，最大变形量约为0.002 3 mm。进一步观察，可知在当前啮合位置处，薄壁内齿圈与单个行星轮共有3对轮齿发生接触，啮合位置分别为第1对轮齿的齿顶部位、第2对轮齿中部以及第3对轮齿的齿根部位。薄壁内齿圈的最大应力出现在靠近其第1个轮齿的齿顶部位，表明此时该位置与行星轮的齿根部位接触，该轮齿上的接触线（接触区）较短导致局部应力较大。最大应力产生于第1对轮齿的齿顶部位，表明该啮合副存在边缘接触效应。为改善齿轮应力状况，后续应对其进行齿顶和齿向修形。

图7(a)为与内齿圈啮合的3个行星轮的应力云图，(b)为产生最大应力的行星轮应力云图。由图7可知，与薄壁内齿圈相啮合的3个行星轮中，最大von Mises应力为187.0 MPa，最大变形量为0.005 3 mm。受薄壁内齿圈变形以及啮合相位的影响，3个均布行星轮的受力状况尽管近似但并非完全相同。这一现象与行星传动中各功率流支路不均载相吻合。

3 轮缘厚度影响

采用与上文相同的方法，可分析薄壁内齿圈轮缘厚度对其啮合特性的影响。为简便计，表2给出了其他参数不变时，薄壁内齿圈轮缘厚度t分别为5，10，15 mm时薄壁内齿圈的啮合特性。表中，σrmax、σpmax分别为内齿圈最大应力、行星轮最大应力，λrmax、λpmax分别为内齿圈和行星轮的最大变形量。

表2 3种轮缘厚度下系统的啮合特性Tab.2 Meshing characteristics of the example system subject to different rim thickness

由表2可知，随着内齿圈轮缘厚度的增大，内齿圈以及行星轮上轮齿的最大应力单调递减；内齿圈及行星轮的最大变形量均单调递减。主要是由于轮缘厚度的增加，齿圈刚度也增加，柔性减小，致使内啮合齿轮副的应力/应变降低。因此，适当提高内齿圈的轮缘厚度，有助于提高齿轮的强度。需要指出的，齿圈轮缘厚度的增加，会增大内齿圈质量和轮系总体尺寸，降低轮系功重比，因此需要从系统设计层面权衡。

4 结 论

1)基于参数化建模方法建立包含完整啮合副的斜齿行星轮系三维有限元模型。在此基础上建立简化的内啮合接触模型，并依托该模型开展轮系内啮合齿轮副的啮合特性分析，获得了各啮合副的应力/应变。

2)斜齿行星轮系中，各均布行星轮的应力状态不尽相同；应力较大区域仅集中在参与啮合的轮齿附近，远离啮合区的轮缘部分应力很小，且最大应力产生于端面齿顶部位，呈明显的边缘接触效应，可通过齿轮修形改善啮合状态。

3)增大内齿圈轮缘厚度有助于提高内啮合齿轮副的强度，但需通盘考虑由此引起的功重比下降效应。

[1]张俊，宋轶民，王建军.计入齿圈柔性的直齿行星传动动力学建模[J].机械工程学报，2009,45(12):29-36.

[2]唐进元，周长江，吴运新.齿轮弯曲强度有限元分析精确建模的探讨[J].机械科学与技术，2004(23):1146-1150.

[3]Kahraman A,Kharazi A,Umrani M.A deformable body dynamic analysis of planetary gears with thin rims[J].Journal of Sound and Vibration,2003,262:752-768.

[4]Kahraman A,Vijayakar S.Effect of internal gear flexibility on the quasi-static behavior of a planetary gear set[J].ASME Journalof Mechanical Design,2001,123:408-415.

[5]Ge N,Zhang J.Finite element analysis of internal gear in high-speed planetary gear units[J].Transactions of Tianjin University, 2008,14(1):11-15.

[6]包家汉，张玉华，薛家国.基于ANSYS的齿轮参数化建模及其应用[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2005,22(1):35-38.

[7]Velex P,Abousleiman V.A hybrid 3D finite element/lumped parameter model for quasi-static and dynamic analyses of planetary/ epicyclical gear sets[J].Mechanism and Machine Theory,2006,41:725-748.

[8]Vijaya K A,Parker R G.Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models[J].Journal of Sound and Vibration,2007,302(3):577-595.

[9]Andrzej K,Jerzy W,Dariusz C.Comparative analysis of tooth-root strength using ISO andAGMAstandards in spur and helical gears with FEM-based verification[J].ASME Journal of Mechanical Design,2006,128:1141-1158.

[10]Li S.Experimental investigation and FEM analysis of resonance frequency behavior of three-dimensional,thin-walled spur gears with a power-circulating test rig[J].Mechanism and Machine Theory,2008,43:934-946.

[11]张俊，焦阳，宋轶民.斜齿行星传动参数化有限元建模方法[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2014,31(3):279-285.

[12]Wang Jian D,Howard Ian M.Error analysis on finite element modeling of involute spur gears[J].ASME Journal of Mechanical Design,2006,128:90-97.

责任编辑：何莉

Parametric Finite Element Model Based MeshingAnalysis of Internal Pairs in Helical Planetary Gear Transmission

WANG Jian,BIAN Shiyuan,JIAO Yang,ZHANG Jun
(School of Mechanical Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

A parametric three dimensional finite element model for helical planetary gear transmission(HPGT) was proposed to reveal meshing characteristics of the system.By adopting the‘bottom to top’modeling strategy, a complete three dimensional finite element model as well as a simplified model was established with proper contact pair and boundary condition settings.The stress/strain distributions of the internal mesh pairs were obtained to show an uneven stress distribution property among different meshing pairs.The occurrence of‘edge contact’was observed,which can be eliminated by micro-geometry tooth modifications.The effect of rim thickness of ring gear was then investigated.The results show that with the increment of rim thickness,the maximum stresses/ strains of the ring gear and planets decrease accordingly,leading to the improvement of gear strength.

helical planetary gear transmission；internal mesh；mesh characteristics；rim thickness；finite element

TH132.4

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.005

1671-7872(2015)-01-0022-05

2014-06-12

国家自然科学基金项目(51375013，50905122)；安徽省自然科学基金项目(1208085ME64)

汪建(1991-)，男，安徽舒城人，硕士生，主要研究方向为机械传动。

张俊(1981-)，男，安徽庐江人，博士，副教授，主要研究方向为机械传动、机械系统动力学、机器人机构学。