错例点拨平面向量

刘飞��

学习平面向量，最为主要的数学思想是等价转化思想，但在解决实际问题中常易发生下列错误.

1.混淆向量运算与实数运算

例1已知a， b都是非零向量，a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角.

错解由题意得（a+3b）（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0 整理得2a·b=（b）2， 所以 2a=b.

设a与b的夹角为θ. 则cosθ=a·b|a||b|=1，故θ=0°.

剖析由2a·b=（b）2得2a=b是不正确的，这里将向量运算误认为是实数运算，利用约分对代数式进行化简，因此导致出错.其实很多实数范围内的运算性质都不能类比到向量中使用.

比如：①a（b·c）=（a·b）c，②|a||b|=|a·b|， ③ （a·b）2=a2·b2，

④ a·b=c·ba=c等.

正解由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0.整理得2a·b=b2endprint

学习平面向量，最为主要的数学思想是等价转化思想，但在解决实际问题中常易发生下列错误.

1.混淆向量运算与实数运算

例1已知a， b都是非零向量，a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角.

错解由题意得（a+3b）（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0 整理得2a·b=（b）2， 所以 2a=b.

设a与b的夹角为θ. 则cosθ=a·b|a||b|=1，故θ=0°.

剖析由2a·b=（b）2得2a=b是不正确的，这里将向量运算误认为是实数运算，利用约分对代数式进行化简，因此导致出错.其实很多实数范围内的运算性质都不能类比到向量中使用.

比如：①a（b·c）=（a·b）c，②|a||b|=|a·b|， ③ （a·b）2=a2·b2，

④ a·b=c·ba=c等.

正解由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0.整理得2a·b=b2endprint

学习平面向量，最为主要的数学思想是等价转化思想，但在解决实际问题中常易发生下列错误.

1.混淆向量运算与实数运算

例1已知a， b都是非零向量，a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角.

错解由题意得（a+3b）（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0 整理得2a·b=（b）2， 所以 2a=b.

设a与b的夹角为θ. 则cosθ=a·b|a||b|=1，故θ=0°.

剖析由2a·b=（b）2得2a=b是不正确的，这里将向量运算误认为是实数运算，利用约分对代数式进行化简，因此导致出错.其实很多实数范围内的运算性质都不能类比到向量中使用.

比如：①a（b·c）=（a·b）c，②|a||b|=|a·b|， ③ （a·b）2=a2·b2，

④ a·b=c·ba=c等.

正解由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0.整理得2a·b=b2endprint