谈高中数学习题教学的五项原则

姚海波

高中数学习题教学可以把概念变得更完善和具体，还可以对知识的记忆进行巩固，对知识的认识进行加深，能够完全很好的将数学学习的技巧掌握，对学生的综合能力进行培养.因此高中数学习题教学在学生能力培养的过程中有很重要的作用.根据目前高中数学习题教学的实际情况来看，习题教学中还存在着一定的问题，导致高中数学习题教学难以达到预期的效果.因此在高中数学习题教学中需要遵守五项原则.

一、针对和目的性统一原则

利用课堂上的数学习题来对学生问题的分析和解答能力进行训练.因此在课堂的数学习题教学中，教师应该把习题教学中的针对和目的性进行很好的结合，来提升教学的效果.学生在学习数学中，各方面的能力都是在课堂教学中渐渐累积起来的，每一次的数学课堂教学中，教师应该在之前先把对学生能力培养的方向和目标进行制定，在数学课堂中将教学的目标进一步的实现.例如：在高中数学中学习函数的时候，学生会常常的将底数和真数的约束条件给忽略掉.针对学生的这一情况，教师可以让学生练习这样的习题：当x为何值的时候，对数logx-1（5+4x）有意义. 因此学生先需要根据对数成立的条件，建立出不等式来得出结论.要使对数有意义，需要5+4x大于0；x-1大于0；x-1不等于1.即可得到x大于负四分之五；x大于1；x不等于2.由此可得出：在x大于1且不等于2的时候，对数是有意义的.通过这种有针对性的训练，使学生更牢固地掌握知识点.

二、典型和示范性结合原则

高中数学习题教学中，不是一两天就能将学生的解题思维和技巧形成，是需要经过不断的累积而成的，对学生的逻辑思维能力的培养是一个漫长的过程.在高中数学习题教学中，教师应该选择比较典型的例题，对习题进行讲解，教师在讲解过程中的示范性是很重要的，要教会学生将正确的题意理解出来，之后对习题条件和结论之间的联系进行思考，找出规律，教学中需要将解题思路表述清楚，达到好的示范效果.让学生在对习题进行解答的过程中，能够将自己的思维理清，把解题的技巧掌握.利用典型的例题让学生对教师讲解的内容的掌握情况反映出来.例如在高中数学中命题一章，需要选择示范性强的典型题，给学生留下 深刻的印象.

空间中，到一定点的距离等于定长的点的轨迹就是球，其中定点是球心，定长是球的半径.若所给的几何体的各个顶点到某一定点的距离都相等时，可利用球的定义来解决.

例如：如图1，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为 .

由题目的条件得出棱BC所张的∠BA′C=∠BDC=90°，联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一结论找出球心，利用球的定义来解决问题.

解：如图1⑴，BC=3，由AB=AD=1，BD=2可知，△ABD是Rt△，如图 ⑵，设E为BD的中点，

易知AE⊥平面BCD.在Rt△DCE中，CD=1，DE=22，

所以CE=62.又A′E=12BD=22，在Rt△A′EC中，易得A′C=2.在△A′BC中，A′B2+A′C2=3，BC2=3，所以∠BA′C=90°.由∠BA′C=∠BDC=90°知，球心是BC的中点，半径R=12BC=32，故球的体积为32π.

三、启发和层次性结合原则

通过高中数学习题教学，可以将学生思维的敏捷、灵活、深刻和独特性都得以很好的培养.在数学习题教学的过程中，需要选择对学生有一定启发性的例题来进行训练，学生会在解题的过程中，受到一定的启示和感悟.在教学中，需要重视例题和习题的层次性，在例题和习题的选择中，难度和思维跨度需要适中不能过大也不能过小，要关注到学生的学习情况和学习技能，让学生在原有的基础上不断的提高.那么，高中数学习题教学中，遵从启发和层次性结合原则，让学生能够扎实的发展.例如：在数列一章的教学中，有层次的进行教学，引导学生参加教学活动，避免机械式教学.教师可以选择这样的习题：已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3，求{an}的通项公式.解题思路：需要先将等差数列{an}的公差设为d；得出：an=a1+（n-1）d.再由已知条件a1=1，a3=-3，得知：1+2d=-3，解得d=-2.因此，通项公式为：an=1+（n-1）（-2），即an=3-2n.这样的问题在解决中需要有层次的引导，对学生的思维能力培养，非常有利.

四、新颖和常规性结合原则

高中数学习题教学中，新颖的形式会给学生带来一定的新鲜感，可以帮助激发学生学习兴趣.将一些常规性的习题改编成新颖的系统，有促进教学效果的意义.常规题的求解过程中加入新颖和巧妙的解法，将数学中的魅力都展示了出来，对学生的兴趣和爱好都有积极的作用.不能一味的在解决中追求新颖，高中数学习题教学中要坚持新颖和常规性的结合，防止在习题的教学中出现偏颇.可以在对学生进行复习知识点的时候，进行运用.例如：在高三复习时，教师对一道题目进行传统的讲解：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA=13.（1）求sin2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求bc的最大值.解析过程（1）sin2B+C2+cos2A等于12[1-cos（B+C）]+（2cos2A-1）；等于12（1+cosA）+（2cos2A-1）；等于12（1+13）+（29-1）=-19.（2）因为b2+c2-a22bc=cosA=13，所以23bc=b2+c2-a2≥2bc-a2；又因为a=3，所以bc≤94.因此当且仅当b=c时，bc的最大值是94.很明显上面的解题中是从已知条件入手的，这种证明题的解题技巧不仅有利于巩固数学知识之间的联系，还能够培养学生创造性思维的能力.高中数学习题教学的过程中，如果教师将常规性问题的基本解题方法忽略了，没有注重教学中的常规性和新颖性的原则，那么将无法达到教学的效果和意义.

五、全面和选择性结合原则endprint

高中数学习题教学可以把概念变得更完善和具体，还可以对知识的记忆进行巩固，对知识的认识进行加深，能够完全很好的将数学学习的技巧掌握，对学生的综合能力进行培养.因此高中数学习题教学在学生能力培养的过程中有很重要的作用.根据目前高中数学习题教学的实际情况来看，习题教学中还存在着一定的问题，导致高中数学习题教学难以达到预期的效果.因此在高中数学习题教学中需要遵守五项原则.

一、针对和目的性统一原则

利用课堂上的数学习题来对学生问题的分析和解答能力进行训练.因此在课堂的数学习题教学中，教师应该把习题教学中的针对和目的性进行很好的结合，来提升教学的效果.学生在学习数学中，各方面的能力都是在课堂教学中渐渐累积起来的，每一次的数学课堂教学中，教师应该在之前先把对学生能力培养的方向和目标进行制定，在数学课堂中将教学的目标进一步的实现.例如：在高中数学中学习函数的时候，学生会常常的将底数和真数的约束条件给忽略掉.针对学生的这一情况，教师可以让学生练习这样的习题：当x为何值的时候，对数logx-1（5+4x）有意义. 因此学生先需要根据对数成立的条件，建立出不等式来得出结论.要使对数有意义，需要5+4x大于0；x-1大于0；x-1不等于1.即可得到x大于负四分之五；x大于1；x不等于2.由此可得出：在x大于1且不等于2的时候，对数是有意义的.通过这种有针对性的训练，使学生更牢固地掌握知识点.

二、典型和示范性结合原则

高中数学习题教学中，不是一两天就能将学生的解题思维和技巧形成，是需要经过不断的累积而成的，对学生的逻辑思维能力的培养是一个漫长的过程.在高中数学习题教学中，教师应该选择比较典型的例题，对习题进行讲解，教师在讲解过程中的示范性是很重要的，要教会学生将正确的题意理解出来，之后对习题条件和结论之间的联系进行思考，找出规律，教学中需要将解题思路表述清楚，达到好的示范效果.让学生在对习题进行解答的过程中，能够将自己的思维理清，把解题的技巧掌握.利用典型的例题让学生对教师讲解的内容的掌握情况反映出来.例如在高中数学中命题一章，需要选择示范性强的典型题，给学生留下 深刻的印象.

空间中，到一定点的距离等于定长的点的轨迹就是球，其中定点是球心，定长是球的半径.若所给的几何体的各个顶点到某一定点的距离都相等时，可利用球的定义来解决.

例如：如图1，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为 .

由题目的条件得出棱BC所张的∠BA′C=∠BDC=90°，联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一结论找出球心，利用球的定义来解决问题.

解：如图1⑴，BC=3，由AB=AD=1，BD=2可知，△ABD是Rt△，如图 ⑵，设E为BD的中点，

易知AE⊥平面BCD.在Rt△DCE中，CD=1，DE=22，

所以CE=62.又A′E=12BD=22，在Rt△A′EC中，易得A′C=2.在△A′BC中，A′B2+A′C2=3，BC2=3，所以∠BA′C=90°.由∠BA′C=∠BDC=90°知，球心是BC的中点，半径R=12BC=32，故球的体积为32π.

三、启发和层次性结合原则

通过高中数学习题教学，可以将学生思维的敏捷、灵活、深刻和独特性都得以很好的培养.在数学习题教学的过程中，需要选择对学生有一定启发性的例题来进行训练，学生会在解题的过程中，受到一定的启示和感悟.在教学中，需要重视例题和习题的层次性，在例题和习题的选择中，难度和思维跨度需要适中不能过大也不能过小，要关注到学生的学习情况和学习技能，让学生在原有的基础上不断的提高.那么，高中数学习题教学中，遵从启发和层次性结合原则，让学生能够扎实的发展.例如：在数列一章的教学中，有层次的进行教学，引导学生参加教学活动，避免机械式教学.教师可以选择这样的习题：已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3，求{an}的通项公式.解题思路：需要先将等差数列{an}的公差设为d；得出：an=a1+（n-1）d.再由已知条件a1=1，a3=-3，得知：1+2d=-3，解得d=-2.因此，通项公式为：an=1+（n-1）（-2），即an=3-2n.这样的问题在解决中需要有层次的引导，对学生的思维能力培养，非常有利.

四、新颖和常规性结合原则

高中数学习题教学中，新颖的形式会给学生带来一定的新鲜感，可以帮助激发学生学习兴趣.将一些常规性的习题改编成新颖的系统，有促进教学效果的意义.常规题的求解过程中加入新颖和巧妙的解法，将数学中的魅力都展示了出来，对学生的兴趣和爱好都有积极的作用.不能一味的在解决中追求新颖，高中数学习题教学中要坚持新颖和常规性的结合，防止在习题的教学中出现偏颇.可以在对学生进行复习知识点的时候，进行运用.例如：在高三复习时，教师对一道题目进行传统的讲解：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA=13.（1）求sin2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求bc的最大值.解析过程（1）sin2B+C2+cos2A等于12[1-cos（B+C）]+（2cos2A-1）；等于12（1+cosA）+（2cos2A-1）；等于12（1+13）+（29-1）=-19.（2）因为b2+c2-a22bc=cosA=13，所以23bc=b2+c2-a2≥2bc-a2；又因为a=3，所以bc≤94.因此当且仅当b=c时，bc的最大值是94.很明显上面的解题中是从已知条件入手的，这种证明题的解题技巧不仅有利于巩固数学知识之间的联系，还能够培养学生创造性思维的能力.高中数学习题教学的过程中，如果教师将常规性问题的基本解题方法忽略了，没有注重教学中的常规性和新颖性的原则，那么将无法达到教学的效果和意义.

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高中数学习题教学可以把概念变得更完善和具体，还可以对知识的记忆进行巩固，对知识的认识进行加深，能够完全很好的将数学学习的技巧掌握，对学生的综合能力进行培养.因此高中数学习题教学在学生能力培养的过程中有很重要的作用.根据目前高中数学习题教学的实际情况来看，习题教学中还存在着一定的问题，导致高中数学习题教学难以达到预期的效果.因此在高中数学习题教学中需要遵守五项原则.

一、针对和目的性统一原则

利用课堂上的数学习题来对学生问题的分析和解答能力进行训练.因此在课堂的数学习题教学中，教师应该把习题教学中的针对和目的性进行很好的结合，来提升教学的效果.学生在学习数学中，各方面的能力都是在课堂教学中渐渐累积起来的，每一次的数学课堂教学中，教师应该在之前先把对学生能力培养的方向和目标进行制定，在数学课堂中将教学的目标进一步的实现.例如：在高中数学中学习函数的时候，学生会常常的将底数和真数的约束条件给忽略掉.针对学生的这一情况，教师可以让学生练习这样的习题：当x为何值的时候，对数logx-1（5+4x）有意义. 因此学生先需要根据对数成立的条件，建立出不等式来得出结论.要使对数有意义，需要5+4x大于0；x-1大于0；x-1不等于1.即可得到x大于负四分之五；x大于1；x不等于2.由此可得出：在x大于1且不等于2的时候，对数是有意义的.通过这种有针对性的训练，使学生更牢固地掌握知识点.

二、典型和示范性结合原则

高中数学习题教学中，不是一两天就能将学生的解题思维和技巧形成，是需要经过不断的累积而成的，对学生的逻辑思维能力的培养是一个漫长的过程.在高中数学习题教学中，教师应该选择比较典型的例题，对习题进行讲解，教师在讲解过程中的示范性是很重要的，要教会学生将正确的题意理解出来，之后对习题条件和结论之间的联系进行思考，找出规律，教学中需要将解题思路表述清楚，达到好的示范效果.让学生在对习题进行解答的过程中，能够将自己的思维理清，把解题的技巧掌握.利用典型的例题让学生对教师讲解的内容的掌握情况反映出来.例如在高中数学中命题一章，需要选择示范性强的典型题，给学生留下 深刻的印象.

空间中，到一定点的距离等于定长的点的轨迹就是球，其中定点是球心，定长是球的半径.若所给的几何体的各个顶点到某一定点的距离都相等时，可利用球的定义来解决.

例如：如图1，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为 .

由题目的条件得出棱BC所张的∠BA′C=∠BDC=90°，联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一结论找出球心，利用球的定义来解决问题.

解：如图1⑴，BC=3，由AB=AD=1，BD=2可知，△ABD是Rt△，如图 ⑵，设E为BD的中点，

易知AE⊥平面BCD.在Rt△DCE中，CD=1，DE=22，

所以CE=62.又A′E=12BD=22，在Rt△A′EC中，易得A′C=2.在△A′BC中，A′B2+A′C2=3，BC2=3，所以∠BA′C=90°.由∠BA′C=∠BDC=90°知，球心是BC的中点，半径R=12BC=32，故球的体积为32π.

三、启发和层次性结合原则

通过高中数学习题教学，可以将学生思维的敏捷、灵活、深刻和独特性都得以很好的培养.在数学习题教学的过程中，需要选择对学生有一定启发性的例题来进行训练，学生会在解题的过程中，受到一定的启示和感悟.在教学中，需要重视例题和习题的层次性，在例题和习题的选择中，难度和思维跨度需要适中不能过大也不能过小，要关注到学生的学习情况和学习技能，让学生在原有的基础上不断的提高.那么，高中数学习题教学中，遵从启发和层次性结合原则，让学生能够扎实的发展.例如：在数列一章的教学中，有层次的进行教学，引导学生参加教学活动，避免机械式教学.教师可以选择这样的习题：已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3，求{an}的通项公式.解题思路：需要先将等差数列{an}的公差设为d；得出：an=a1+（n-1）d.再由已知条件a1=1，a3=-3，得知：1+2d=-3，解得d=-2.因此，通项公式为：an=1+（n-1）（-2），即an=3-2n.这样的问题在解决中需要有层次的引导，对学生的思维能力培养，非常有利.

四、新颖和常规性结合原则

高中数学习题教学中，新颖的形式会给学生带来一定的新鲜感，可以帮助激发学生学习兴趣.将一些常规性的习题改编成新颖的系统，有促进教学效果的意义.常规题的求解过程中加入新颖和巧妙的解法，将数学中的魅力都展示了出来，对学生的兴趣和爱好都有积极的作用.不能一味的在解决中追求新颖，高中数学习题教学中要坚持新颖和常规性的结合，防止在习题的教学中出现偏颇.可以在对学生进行复习知识点的时候，进行运用.例如：在高三复习时，教师对一道题目进行传统的讲解：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA=13.（1）求sin2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求bc的最大值.解析过程（1）sin2B+C2+cos2A等于12[1-cos（B+C）]+（2cos2A-1）；等于12（1+cosA）+（2cos2A-1）；等于12（1+13）+（29-1）=-19.（2）因为b2+c2-a22bc=cosA=13，所以23bc=b2+c2-a2≥2bc-a2；又因为a=3，所以bc≤94.因此当且仅当b=c时，bc的最大值是94.很明显上面的解题中是从已知条件入手的，这种证明题的解题技巧不仅有利于巩固数学知识之间的联系，还能够培养学生创造性思维的能力.高中数学习题教学的过程中，如果教师将常规性问题的基本解题方法忽略了，没有注重教学中的常规性和新颖性的原则，那么将无法达到教学的效果和意义.

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