环R上的一类常循环码及自对偶码

徐露露， 刘 丽

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

自从文献［1］证明了某些二元非线性码可以看作Z4线性码在Gray映射下的二元象之后，有限环上纠错码理论就成为研究的一个新热点，从此Gray映射是连接环上码与域上码的关键点，所以被众多学者加以重新定义和研究［2－8］。文献［3－4］中引入了一个 Nechaev－Gray映射，研究了Z4上负循环码的Gray映射，随后，多项式剩余类环介于有限域和环之间的良好结构性质，在纠错码理论研究上备受关注。文献［9］首次研究了F2＋uF2上常循环码的Gray象性质，随后，文献［10］又研究了F2m＋uF2m＋…＋ua－1F2m上形如（α0＋uα1＋…＋ua－1αa－1）循环码结构。本文在环R＝F2＋uF2＋u2F2＋…＋u7F2上，重新定义一种新的 Gray映射，研究η＝（1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7）循环码的 Gray象，在该映射之下，环R上线性循环码能等距映射成域F2的线性循环码，并给出n为奇数时该码的Gray象的生成多项式。

1 环R上的循环码与η循环码

定义1 设C为R上长为n的线性码，如果∀c＝ （c0，c1，…，cn－1）∈C均 有 （λcn－1，c0，…，cn－2）∈C，此时称（λcn－1，c0，…，cn－2）为（c0，c1，…，cn－1）的一个λ循环移位，则称C为R上的λ循环码。若λ＝1，则称C为R上的循环码，若λ＝1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7（记为η），则称C为R上的η循环码。

定义2 如果设C、C1是Rn的2个子空间，对于任意的a＝（a0，a1，…，an－1）∈C，β＝（b0，b1，…，bn－1）∈C1，恒有a0b0＋…＋an－1bn－1＝0，则称C、C1为正交的。如果C＋C1＝Rn，则称C1为C的正交补，将它记做C⊥，并称之为C的对偶码，若C⊥＝C，则称C为自对偶码。

对码字c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C的码字多项式，即对应R［x］／（xn＋η）中的多项式c（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1，类似于文献［4］，有如下结论。

定理1Rn上子模是R上η循环码⇔c（x）是环Bn＝R［x］／（xn＋η）的理想。

假设n为奇数，k为一个正整数，若n≡3（mod 4），则设β＝η；若n≡1（mod 4），则设β＝1＋u。注意到βn＝1＋u，且（1＋u）η＝1。

设μ是如下映射：R［x］／（xn＋1）→R［x］／（xn＋η），μ（c（x））＝c（βx）。则有如下定理2。

定理2 设β如上所述，则μ是R［x］／（xn＋1）到R［x］／（xn＋η）的环同构映射。

故有推论1。

推论1 设I是R［x］／（xn＋1）的子集，J是R［x］／（xn＋η）的子集，n为奇数，并满足J＝μ（I），则I是R［x］／（xn＋1）的理想，当且仅当J是R［x］／（xn＋η）的理想。

文献［11］给出了环Fp＋uFp＋…＋uk－1Fp上循环码的结构，类似地有定理3。

利用上面的同构映射μ，得定理4。

2 R上η循环码的Gray象

为不致引起混淆，将R、Rn、R［x］上加法记为“＋”，将F2、、F2［x］上加法记为“⊕”。若将R上任一元素a记为a＝r0（a）＋ur1（a）＋u2r2（a）＋…＋u7r7（a），其中ri（a）∈F2，参考文献［7－8］，定义Gray映射φ：R→，则

显然该映射是线性的，可自然延伸至Rn上码字C的Gray映射以及R［x］上多项式c（x）的Gray映射φ：R→，则

其中c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn。记ri（c）＝（ri（c0），ri（c1），…，ri（cn－1）），i＝0，1，2，…，7，φ显然是双射，对∀c（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1∈R［x］，设

其中，i＝0，1，…，7。则φ：R［x］→F2［x］，即

定义环R中元素的Lee重量分别如下：u8为8；1＋u，1＋u2＋u3＋u6，1＋u4＋u5＋u6，1＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6为7；u＋u7，u2＋u7，u4＋u7，1＋u4＋u5＋u7为6；1＋u5，1＋u6，1＋u＋u6，1＋u＋u7，1＋u2＋u5，1＋u2＋u7，1＋u3＋u4，1＋u3＋u5，1＋u3＋u6，1＋u4＋u7，1＋u5＋u6，1＋u＋u2＋u4，1＋u＋u2＋u5，1＋u＋u2＋u6，1＋u＋u2＋u7，1＋u2＋u3＋u4，1＋u2＋u3＋u5，1＋u2＋u3＋u7，1＋u3＋u4＋u5，1＋u2＋u3＋u4＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u5，1＋u＋u2＋u3＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u7，1＋u3＋u4＋u5＋u6，1＋u2＋u3＋u4＋u5＋u7，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u7为5；u6，u5，u3，u5＋u6，u5＋u7，u6＋u7，1＋u＋u2，1＋u3＋u4＋u6为4；u4，u2，u，u＋u2，u＋u3，u＋u4，u＋u5，u2＋u3，u2＋u4，u2＋u5，u2＋u6，u4＋u5，u4＋u6为2；1，1＋u4＋u5＋u6＋u7，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7为1；0为0；其余为3。

Rn中码字的Lee重量为其码元的Lee重量之和，2个码字c、c′的Lee距离为c－c′的Lee重量。由Gray映射定义可得定理5～定理8。

定理5 Gray映射φ是（Rn，Lee距离）到（，Hamming距离）的保距映射。

定理6 若ν是Rn上一个η循环移位，σ是上的一个循环移位，φ是Rn到的Gray映射，则φν＝σφ。

证明 设c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn，其中ci＝r0（ci）＋ur1（ci）＋u2r2（ci）＋ … ＋u7r7（ci），rj（ci）∈F2，i＝0，…，n－1，j＝0，1，…，7，则有：

定理7 设C为R上长为n的线性η循环码，则其Gray象φ（C）是F2上长为8n的线性循环码。

沿用文献［6］中定义，对于c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn，记ri（c）＝ ［ri（c0），ri（c1），…，ri（cn－1）］，其中，i＝0，1，2，…，7，则称＝r0（c）为c的二元约化。类似地，若R［x］，则称∈F2［x］为a（x）的二元约化，显然有

定理8 若C是环R上长度为n（n为奇数）的η循环码，且

3 环R上的自对偶码

引理1 设C是R上长为n的线性码，C的特征是p，｜C｜＝pk，｜R｜＝pm，则｜C⊥｜＝pl，其中k＋l＝mn。

设Gi＝，i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8），其中，G0，G1，…，G8是两两互素的不可约多项式，所以－G0G1…G8＝xn－1＝f0f1…f8，由定理3得Gi＝Fi，i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8）。

4 结束语

本文定义了环R＝F2＋uF2＋u2F2＋…＋u7F2到的一个新的Gray映射，将环R上长为n的一类常循环码等距映射成F2上长为8n的线性循环码，研究了该环上（1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7）循环码的Gray象，并给出了n为奇数时该码的Gray象的生成多项式。此外，还得到了在这个环上的自对偶码存在的一个充要条件，对于构造一些高效且纠错性能好的码和译码，具有一定的理论意义和应用价值。

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