带点粒子在对称磁场中的运动问题

周静

带电粒子在磁场中运动，能够综合考查受力、匀速圆周运动、磁学等多个知识要点，成为历年高考的热点，同时也成为学生认知的难点.带电粒子在磁场中运动的题型多，变化大，其中粒子在对称磁场中运动是一种典型类型.突破这类问题，一要抓住解决带粒子在磁场中的一般方法，二要紧扣运动中的对称性，三要找到磁场分界中粒子运动中的联系点，就会使问题得以突破.

一、竖直分界对称磁场

例1两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示.在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮. 入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期.试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）.

解析粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动，由qvB=mv2/r可得半径

r=mv/qB ①

速度小的粒子将在x

对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图所示：轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（如图3中的虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界.

速度最大的粒子的轨迹如图3中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C′，C在y轴上，由对称性可知C′在x=2a直线上.

设t1为粒子在0a的区域中运动的时间，由题意可知t1∶t2=2∶5，t1+t2=7T/12，

由此解得t1=T/6 ②

t2=5T/12 ③

由②、③式和对称性可得∠OCM=60° ④

∠MC′N=60° ⑤

∠MC′P=360°×5/12=150°⑥

所以∠NC′P=150°-60°=90° ⑦

即圆弧NP为1/4圆周.因此，圆心C′在x轴上.

[JP3]设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角△COC′可得 [JP]

2Rsin60°=2a

解得R=23a3 ⑧

由图3可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标x=2（1+33）a，所以在x轴上的发亮范围是2a≤x≤2（1+33）a，在y轴上的发亮范围是0≤y≤2a.

点评带电粒子在有界不同磁场中的连续运动问题，一要分别根据进入和离开磁场的点的速度方向确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心，进而画出带电粒子在有界匀强磁场中运动轨迹；二是找准由一个磁场进入另一磁场这一关键点，确定出这一关键点的速度方向.三要从粒子在两个磁场运动中找到它们运动对称的特点，从而准确切入几何关系.

二、间隔对称磁场

例2扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆.其简 化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面.一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角 .

（1）当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为 ，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0.

（2）若Ⅱ区宽度L2=L1=L磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h.

（3）若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件.

（4）若B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出.为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射出的方向总相同，求B1、B2、L1、L2、之间应满足的关系式.

解析如图5所示，设粒子射入磁场I区的速 度为v，在磁场I区做圆周运动半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律得

qU=12mv2 ①

qvB0=mv2R1 ②

由几何关系得 R1=L2=L③

联立①②③得 B0=1L2mUq④

设粒子在I区做圆周运动周期为T，运动时间为t

T=2πR1v ⑤

tT=2θ360° ⑥

联立①③⑤⑥式解得 t=πL3m2qU⑦

（2）设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动半径为R2，由牛顿第二定律得

带电粒子在磁场中运动，能够综合考查受力、匀速圆周运动、磁学等多个知识要点，成为历年高考的热点，同时也成为学生认知的难点.带电粒子在磁场中运动的题型多，变化大，其中粒子在对称磁场中运动是一种典型类型.突破这类问题，一要抓住解决带粒子在磁场中的一般方法，二要紧扣运动中的对称性，三要找到磁场分界中粒子运动中的联系点，就会使问题得以突破.

一、竖直分界对称磁场

例1两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示.在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮. 入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期.试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）.

解析粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动，由qvB=mv2/r可得半径

r=mv/qB ①

速度小的粒子将在x

对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图所示：轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（如图3中的虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界.

速度最大的粒子的轨迹如图3中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C′，C在y轴上，由对称性可知C′在x=2a直线上.

设t1为粒子在0a的区域中运动的时间，由题意可知t1∶t2=2∶5，t1+t2=7T/12，

由此解得t1=T/6 ②

t2=5T/12 ③

由②、③式和对称性可得∠OCM=60° ④

∠MC′N=60° ⑤

∠MC′P=360°×5/12=150°⑥

所以∠NC′P=150°-60°=90° ⑦

即圆弧NP为1/4圆周.因此，圆心C′在x轴上.

[JP3]设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角△COC′可得 [JP]

2Rsin60°=2a

解得R=23a3 ⑧

由图3可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标x=2（1+33）a，所以在x轴上的发亮范围是2a≤x≤2（1+33）a，在y轴上的发亮范围是0≤y≤2a.

点评带电粒子在有界不同磁场中的连续运动问题，一要分别根据进入和离开磁场的点的速度方向确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心，进而画出带电粒子在有界匀强磁场中运动轨迹；二是找准由一个磁场进入另一磁场这一关键点，确定出这一关键点的速度方向.三要从粒子在两个磁场运动中找到它们运动对称的特点，从而准确切入几何关系.

二、间隔对称磁场

例2扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆.其简 化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面.一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角 .

（1）当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为 ，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0.

（2）若Ⅱ区宽度L2=L1=L磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h.

（3）若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件.

（4）若B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出.为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射出的方向总相同，求B1、B2、L1、L2、之间应满足的关系式.

解析如图5所示，设粒子射入磁场I区的速 度为v，在磁场I区做圆周运动半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律得

qU=12mv2 ①

qvB0=mv2R1 ②

由几何关系得 R1=L2=L③

联立①②③得 B0=1L2mUq④

设粒子在I区做圆周运动周期为T，运动时间为t

T=2πR1v ⑤

tT=2θ360° ⑥

联立①③⑤⑥式解得 t=πL3m2qU⑦

（2）设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动半径为R2，由牛顿第二定律得

带电粒子在磁场中运动，能够综合考查受力、匀速圆周运动、磁学等多个知识要点，成为历年高考的热点，同时也成为学生认知的难点.带电粒子在磁场中运动的题型多，变化大，其中粒子在对称磁场中运动是一种典型类型.突破这类问题，一要抓住解决带粒子在磁场中的一般方法，二要紧扣运动中的对称性，三要找到磁场分界中粒子运动中的联系点，就会使问题得以突破.

一、竖直分界对称磁场

例1两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示.在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮. 入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期.试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）.

解析粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动，由qvB=mv2/r可得半径

r=mv/qB ①

速度小的粒子将在x

对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图所示：轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（如图3中的虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界.

速度最大的粒子的轨迹如图3中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C′，C在y轴上，由对称性可知C′在x=2a直线上.

设t1为粒子在0a的区域中运动的时间，由题意可知t1∶t2=2∶5，t1+t2=7T/12，

由此解得t1=T/6 ②

t2=5T/12 ③

由②、③式和对称性可得∠OCM=60° ④

∠MC′N=60° ⑤

∠MC′P=360°×5/12=150°⑥

所以∠NC′P=150°-60°=90° ⑦

即圆弧NP为1/4圆周.因此，圆心C′在x轴上.

[JP3]设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角△COC′可得 [JP]

2Rsin60°=2a

解得R=23a3 ⑧

由图3可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标x=2（1+33）a，所以在x轴上的发亮范围是2a≤x≤2（1+33）a，在y轴上的发亮范围是0≤y≤2a.

点评带电粒子在有界不同磁场中的连续运动问题，一要分别根据进入和离开磁场的点的速度方向确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心，进而画出带电粒子在有界匀强磁场中运动轨迹；二是找准由一个磁场进入另一磁场这一关键点，确定出这一关键点的速度方向.三要从粒子在两个磁场运动中找到它们运动对称的特点，从而准确切入几何关系.

二、间隔对称磁场

例2扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆.其简 化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面.一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角 .

（1）当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为 ，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0.

（2）若Ⅱ区宽度L2=L1=L磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h.

（3）若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件.

（4）若B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出.为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射出的方向总相同，求B1、B2、L1、L2、之间应满足的关系式.

解析如图5所示，设粒子射入磁场I区的速 度为v，在磁场I区做圆周运动半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律得

qU=12mv2 ①

qvB0=mv2R1 ②

由几何关系得 R1=L2=L③

联立①②③得 B0=1L2mUq④

设粒子在I区做圆周运动周期为T，运动时间为t

T=2πR1v ⑤

tT=2θ360° ⑥

联立①③⑤⑥式解得 t=πL3m2qU⑦

（2）设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动半径为R2，由牛顿第二定律得