巧借基础拓展提高

顾红松

相比初中数学，高中数学的容量大，涉及面广，难度深，知识的系统性、理论性、抽象性的应用要求加大，因而，不少在初中时学习成绩优秀的学生，进入高中后成绩却不尽人意，尽管他们比初中更认真踏实，但成绩还是停滞不前，再加上高中新学的数学知识与初中所学的知识衔接不紧，于是不少学生产生了这样消极的想法：初中知识对于高中的学习来说关系不大，初中的知识算是白学了.因此，他们对学习失去了信心，进而产生消极怠慢的厌学情绪.俗话说“万丈高楼平地起”，对知识的学习也是如此，没有一点一点的知识的积累，怎么会有牢固的知识基础？又怎能奢望在此基础上建成更高、更漂亮的建筑.没有初中数学的基础不可能有高中数学的提高.现就解析几何中的几个知识点的学习，谈谈如何更好地运用初中知识解决高中数学中的一些难理解的知识、难计算的题目，带领学生走出思想的误区，提升学习信心，激发学习兴趣.

解析几何的核心是用代数方法研究几何图形，其实际是初中平面几何的一个延伸.教者若能将初中平面几何的知识与高中代数思想有效的结合，这将对该部分的学习起到不可估量的作用.

一、解析几何中的有关对称问题

解析几何的初步是在初中已学直线的基础上对直线的进一步的系统的学习，在学习的过程中常会遇到一些有关对称问题，不少学生对这类问题的解决感到困难，无从下手.高中所学的对称问题主要有四种类型：点关于点对称，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称.类型不多，但方法较难掌握，对这部分知识的学习，可引导学生换角度去思考，让学生结合以前所学的知识，通过比较的方法，概括辨析四种类型有没有相似之处.通过对比学生自然会想到初中所学的两种对称：轴对称和中心对称，而上面所涉及的四种对称实际就是这两种对称的延伸.运用直观形象的方法帮学生复习两种对称的作图方法，作图步骤，学生自然深刻地理解并掌握这类题型的解法.通过对初中作图题的回顾，逐步引导学生将作图过程代数化，让知识更形象化，使得复杂问题更简单，让学生更深刻地体会到初中基础对高中进一步学习的重要性.

案例1在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距离之和最小.

分析这题可与初中的一道作图题：在公路l的同侧有两个工厂A、B，要在公路边建一个货场C，使工厂A、B到货场C的距离之和最短，请画出C点的位置.相对照，通过作图学生可得出一致的结论，这两题实际上是同一类题.

解设点A关于l的对称点位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直线MB为：x-5y+17=0，与直线l联立方程组解得P（117，267）.

思考如何在l上求一点Q，使得Q到A及

点C（-3，2）距离之差最大.

二、解析几何中的圆，直线与圆的有关问题

解析几何中还有一种类型也是初中几何的延伸，那就是圆.圆在高中阶段起着很重要的作用，初中是从几何学的角度研究圆，而高中主要是借助于方程从代数的角度来研究圆，在这一章节的学习中若能将初高中知识有机的结合，对这部分的学习将有很好的帮助.

1.圆方程及点与圆的位置关系

圆方程的引入则是从定义入手，直接引入，在有关研究点和圆的位置关系时，涉及到过圆内一点最长的弦和最短的弦问题以及过圆外一点在圆上找一点到该点的距离最短和最长问题，利用初中的平面几何的知识直接解决，比用高中知识更简捷更直观，更能体现初中知识的优越性.

案例2过点P（1，1）的直线将圆形区

域{（x，y）|x2+y2=9}分成两部分，使得两部分的面积之差最大的直线方程为 .

分析学生在看到该题时易陷入思维误区，如何更快更精确地求出直线所分两部分的面积，成了一大难题.换位思考，即可发现，两部分的总面积一定，面积差最大，则两部分中的面积小的达到最小，由此想到过圆内一点的圆的最短弦所对的弓形.本题的实际即求过P的圆的最短弦所在的直线方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面积之差的绝对值最小的直线方程.

2. 直线与圆的有关问题

本章中对于直线与圆的位置关系从几何和代数两方面进行了研究，用代数方法解决这类问题较直接，方法单调，易掌握，但运算量较大，很多学生花了很多时间却算了一个错误的结果，得不偿失.若能将初中所学的知识在这儿灵活地应用，将会达到事倍功半的效果.

案例3（2014届南通二模21C）：平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y2-2x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA·PB的值.

分析学生在看到试题时一下蒙了，这里并没有告知其中任一交点坐标，A，B是在变化的，如何求PA·PB.冷静思考后，发现PAB为圆的割线，初中讲过切割线定理，这里只要求出过P的圆的切线长即可.

解法一由题可知，过点P与已知曲线C：（x-1）2+y2=1的相切的一条切线方程为x=0，切点为坐标原点，切线长为1，由切割线定理有， PA·PB=1.

分析考虑到曲线C为定圆，P为定点，想到连结P和圆心C的一定直线，构造出圆的一条定割线.

解法二连接PC并延长交圆C于D 、E两点，由切割线定理，有PA·PB=PD·PE.曲线C可变形为（x-1）2+y2=1，C（1，0），半径r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基础决定上层，细节决定成败，初中数学知识是高中数学学习的基础，只有建立在牢靠的基础上，才能建成万丈高楼.

相比初中数学，高中数学的容量大，涉及面广，难度深，知识的系统性、理论性、抽象性的应用要求加大，因而，不少在初中时学习成绩优秀的学生，进入高中后成绩却不尽人意，尽管他们比初中更认真踏实，但成绩还是停滞不前，再加上高中新学的数学知识与初中所学的知识衔接不紧，于是不少学生产生了这样消极的想法：初中知识对于高中的学习来说关系不大，初中的知识算是白学了.因此，他们对学习失去了信心，进而产生消极怠慢的厌学情绪.俗话说“万丈高楼平地起”，对知识的学习也是如此，没有一点一点的知识的积累，怎么会有牢固的知识基础？又怎能奢望在此基础上建成更高、更漂亮的建筑.没有初中数学的基础不可能有高中数学的提高.现就解析几何中的几个知识点的学习，谈谈如何更好地运用初中知识解决高中数学中的一些难理解的知识、难计算的题目，带领学生走出思想的误区，提升学习信心，激发学习兴趣.

解析几何的核心是用代数方法研究几何图形，其实际是初中平面几何的一个延伸.教者若能将初中平面几何的知识与高中代数思想有效的结合，这将对该部分的学习起到不可估量的作用.

一、解析几何中的有关对称问题

解析几何的初步是在初中已学直线的基础上对直线的进一步的系统的学习，在学习的过程中常会遇到一些有关对称问题，不少学生对这类问题的解决感到困难，无从下手.高中所学的对称问题主要有四种类型：点关于点对称，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称.类型不多，但方法较难掌握，对这部分知识的学习，可引导学生换角度去思考，让学生结合以前所学的知识，通过比较的方法，概括辨析四种类型有没有相似之处.通过对比学生自然会想到初中所学的两种对称：轴对称和中心对称，而上面所涉及的四种对称实际就是这两种对称的延伸.运用直观形象的方法帮学生复习两种对称的作图方法，作图步骤，学生自然深刻地理解并掌握这类题型的解法.通过对初中作图题的回顾，逐步引导学生将作图过程代数化，让知识更形象化，使得复杂问题更简单，让学生更深刻地体会到初中基础对高中进一步学习的重要性.

案例1在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距离之和最小.

分析这题可与初中的一道作图题：在公路l的同侧有两个工厂A、B，要在公路边建一个货场C，使工厂A、B到货场C的距离之和最短，请画出C点的位置.相对照，通过作图学生可得出一致的结论，这两题实际上是同一类题.

解设点A关于l的对称点位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直线MB为：x-5y+17=0，与直线l联立方程组解得P（117，267）.

思考如何在l上求一点Q，使得Q到A及

点C（-3，2）距离之差最大.

二、解析几何中的圆，直线与圆的有关问题

解析几何中还有一种类型也是初中几何的延伸，那就是圆.圆在高中阶段起着很重要的作用，初中是从几何学的角度研究圆，而高中主要是借助于方程从代数的角度来研究圆，在这一章节的学习中若能将初高中知识有机的结合，对这部分的学习将有很好的帮助.

1.圆方程及点与圆的位置关系

圆方程的引入则是从定义入手，直接引入，在有关研究点和圆的位置关系时，涉及到过圆内一点最长的弦和最短的弦问题以及过圆外一点在圆上找一点到该点的距离最短和最长问题，利用初中的平面几何的知识直接解决，比用高中知识更简捷更直观，更能体现初中知识的优越性.

案例2过点P（1，1）的直线将圆形区

域{（x，y）|x2+y2=9}分成两部分，使得两部分的面积之差最大的直线方程为 .

分析学生在看到该题时易陷入思维误区，如何更快更精确地求出直线所分两部分的面积，成了一大难题.换位思考，即可发现，两部分的总面积一定，面积差最大，则两部分中的面积小的达到最小，由此想到过圆内一点的圆的最短弦所对的弓形.本题的实际即求过P的圆的最短弦所在的直线方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面积之差的绝对值最小的直线方程.

2. 直线与圆的有关问题

本章中对于直线与圆的位置关系从几何和代数两方面进行了研究，用代数方法解决这类问题较直接，方法单调，易掌握，但运算量较大，很多学生花了很多时间却算了一个错误的结果，得不偿失.若能将初中所学的知识在这儿灵活地应用，将会达到事倍功半的效果.

案例3（2014届南通二模21C）：平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y2-2x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA·PB的值.

分析学生在看到试题时一下蒙了，这里并没有告知其中任一交点坐标，A，B是在变化的，如何求PA·PB.冷静思考后，发现PAB为圆的割线，初中讲过切割线定理，这里只要求出过P的圆的切线长即可.

解法一由题可知，过点P与已知曲线C：（x-1）2+y2=1的相切的一条切线方程为x=0，切点为坐标原点，切线长为1，由切割线定理有， PA·PB=1.

分析考虑到曲线C为定圆，P为定点，想到连结P和圆心C的一定直线，构造出圆的一条定割线.

解法二连接PC并延长交圆C于D 、E两点，由切割线定理，有PA·PB=PD·PE.曲线C可变形为（x-1）2+y2=1，C（1，0），半径r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基础决定上层，细节决定成败，初中数学知识是高中数学学习的基础，只有建立在牢靠的基础上，才能建成万丈高楼.

相比初中数学，高中数学的容量大，涉及面广，难度深，知识的系统性、理论性、抽象性的应用要求加大，因而，不少在初中时学习成绩优秀的学生，进入高中后成绩却不尽人意，尽管他们比初中更认真踏实，但成绩还是停滞不前，再加上高中新学的数学知识与初中所学的知识衔接不紧，于是不少学生产生了这样消极的想法：初中知识对于高中的学习来说关系不大，初中的知识算是白学了.因此，他们对学习失去了信心，进而产生消极怠慢的厌学情绪.俗话说“万丈高楼平地起”，对知识的学习也是如此，没有一点一点的知识的积累，怎么会有牢固的知识基础？又怎能奢望在此基础上建成更高、更漂亮的建筑.没有初中数学的基础不可能有高中数学的提高.现就解析几何中的几个知识点的学习，谈谈如何更好地运用初中知识解决高中数学中的一些难理解的知识、难计算的题目，带领学生走出思想的误区，提升学习信心，激发学习兴趣.

解析几何的核心是用代数方法研究几何图形，其实际是初中平面几何的一个延伸.教者若能将初中平面几何的知识与高中代数思想有效的结合，这将对该部分的学习起到不可估量的作用.

一、解析几何中的有关对称问题

解析几何的初步是在初中已学直线的基础上对直线的进一步的系统的学习，在学习的过程中常会遇到一些有关对称问题，不少学生对这类问题的解决感到困难，无从下手.高中所学的对称问题主要有四种类型：点关于点对称，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称.类型不多，但方法较难掌握，对这部分知识的学习，可引导学生换角度去思考，让学生结合以前所学的知识，通过比较的方法，概括辨析四种类型有没有相似之处.通过对比学生自然会想到初中所学的两种对称：轴对称和中心对称，而上面所涉及的四种对称实际就是这两种对称的延伸.运用直观形象的方法帮学生复习两种对称的作图方法，作图步骤，学生自然深刻地理解并掌握这类题型的解法.通过对初中作图题的回顾，逐步引导学生将作图过程代数化，让知识更形象化，使得复杂问题更简单，让学生更深刻地体会到初中基础对高中进一步学习的重要性.

案例1在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距离之和最小.

分析这题可与初中的一道作图题：在公路l的同侧有两个工厂A、B，要在公路边建一个货场C，使工厂A、B到货场C的距离之和最短，请画出C点的位置.相对照，通过作图学生可得出一致的结论，这两题实际上是同一类题.

解设点A关于l的对称点位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直线MB为：x-5y+17=0，与直线l联立方程组解得P（117，267）.

思考如何在l上求一点Q，使得Q到A及

点C（-3，2）距离之差最大.

二、解析几何中的圆，直线与圆的有关问题

解析几何中还有一种类型也是初中几何的延伸，那就是圆.圆在高中阶段起着很重要的作用，初中是从几何学的角度研究圆，而高中主要是借助于方程从代数的角度来研究圆，在这一章节的学习中若能将初高中知识有机的结合，对这部分的学习将有很好的帮助.

1.圆方程及点与圆的位置关系

圆方程的引入则是从定义入手，直接引入，在有关研究点和圆的位置关系时，涉及到过圆内一点最长的弦和最短的弦问题以及过圆外一点在圆上找一点到该点的距离最短和最长问题，利用初中的平面几何的知识直接解决，比用高中知识更简捷更直观，更能体现初中知识的优越性.

案例2过点P（1，1）的直线将圆形区

域{（x，y）|x2+y2=9}分成两部分，使得两部分的面积之差最大的直线方程为 .

分析学生在看到该题时易陷入思维误区，如何更快更精确地求出直线所分两部分的面积，成了一大难题.换位思考，即可发现，两部分的总面积一定，面积差最大，则两部分中的面积小的达到最小，由此想到过圆内一点的圆的最短弦所对的弓形.本题的实际即求过P的圆的最短弦所在的直线方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面积之差的绝对值最小的直线方程.

2. 直线与圆的有关问题

本章中对于直线与圆的位置关系从几何和代数两方面进行了研究，用代数方法解决这类问题较直接，方法单调，易掌握，但运算量较大，很多学生花了很多时间却算了一个错误的结果，得不偿失.若能将初中所学的知识在这儿灵活地应用，将会达到事倍功半的效果.

案例3（2014届南通二模21C）：平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y2-2x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA·PB的值.

分析学生在看到试题时一下蒙了，这里并没有告知其中任一交点坐标，A，B是在变化的，如何求PA·PB.冷静思考后，发现PAB为圆的割线，初中讲过切割线定理，这里只要求出过P的圆的切线长即可.

解法一由题可知，过点P与已知曲线C：（x-1）2+y2=1的相切的一条切线方程为x=0，切点为坐标原点，切线长为1，由切割线定理有， PA·PB=1.

分析考虑到曲线C为定圆，P为定点，想到连结P和圆心C的一定直线，构造出圆的一条定割线.

解法二连接PC并延长交圆C于D 、E两点，由切割线定理，有PA·PB=PD·PE.曲线C可变形为（x-1）2+y2=1，C（1，0），半径r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基础决定上层，细节决定成败，初中数学知识是高中数学学习的基础，只有建立在牢靠的基础上，才能建成万丈高楼.