几种类型的不等式证明
2014-12-31王宇丹
王宇丹
不等式的证明题，无论它以什么形式展现，其常规的证明方法如下：利用函数的单调性证明；重要不等式证明；放缩法；数学归纳法等.不等式结构能提示我们做“最近选择”，不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式，需要我们去整合.笔者提供几类案例，供参考.
一、常数型不等式证明
所谓常数型不等式，是指不等式一边是代数式而另一边是常数的式子.它常常以数列为背景出现，对于这类形式，通常采用的方法是：利用函数的单调性求值、裂项相消求和等方法来证明.
例1设数列{an}的前n项和Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，（1）求首项a1和通项an；
（2）设Tn=2nSn，n=1，2，…，证明：ni=1Ti<32.
解（1）由Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，
得a1=S1=43a1-13×4+23，∴a1=2，
∵an=Sn-Sn-1=43（an-an-1）-13（2n+1-2n），n=2，3，…
∴an+2n=4（an-1+2n-1），n=2，3，….
∴{an+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n=4×4n-1=4n，n=1，2，….
∴an=4n-2n，n=1，2，….
（2）将an=4n-2n，n=1，2，…代入Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，得
Sn[WB]=43（4n-2n）-13×2n+1+23=13（2n+1-1）（2n+1-2）[DW]=23（2n+1-1）（2n-1）.
Tn[WB]=2nSn=32×2n（2n+1-1）（2n-1）[DW]=32×（12n-1-12n+1-1）.
∴ni=1Ti[WB]=32×ni=1（12i-1-12i+1-1）[DW]=32（121-1-12n+1-1）<32.
二、函数型不等式的证明
所谓函数型不等式，是指以函数为背景，待证的不等式左右两边是以函数值的和差积商以及自变量、因变量的代数式为表现形式的不等式.对于这种形式的不等式，通常采用的方法：利用函数的单调性证明.这里要特别提示的是，在证明常量不等式中往往需要构造函数，将常量变量化.在多元常量变量化中通常有两种形式：一是个体常量化，另一类是整体变量化，如和、积等.
例2已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx.（1）求函数f（x）的最大值；（2）设0 解（1）f（x）max=f（0）=0. （2）g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1， 设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则F′（x）=g′（x）-[g（a+x2）]′=lnx-lna+x2. 当0 当x>0时，G′（x）<0，所以G（x）在（0，+∞）上是减函数. 所以G（x）=0，b>a，所以G（b）<0，∴g（a）+g（b）-2g（a+b2）<（b-a）ln2. ∴0 三、抽象型不等式证明 所谓抽象不等式，是指以抽象函数的形式给出条件和结论的不等式.它往往以抽象函数的形式出现，通常采用的方法：函数的性质、利用条件裂项、放缩法等. 例3定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：（1）对于任意x ， y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f （x+y1+xy）；（2）当x∈（-1，0）时，有f （x）>0，求证： f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）>f（12）. 证明 f（x）+f（y）=f （x+y1+xy），令x=y=0得f（0）=0； 令y=-x ，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x ）=-f（x）， ∴f（x）在（-1，1）上是奇函数.设-1 ∵-1 ∴f（x1-x21-x1x2）>0. ∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）. ∴f（x）在（-1，0）上是单调减函数. ∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，∴f（x）在（0 ，1）上是减函数，且f（x）<0， ∵f（1n2+3n+1）=f[1（n+1）（n+2）-1] =f[ 1（n+1）（n+2）1-1（n+1）（n+2）] =f[ 1n+1+（-1n+2）1+1n+1·（-1n+2） ]=f（1n+1）+f（-1n+2） =f（1n+1）-f（1n+2）， ∴f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）=[f（12）-f（13）]+…+[f（1n+1）-f（1n+2）]=f（12）-f（1n+2）. ∵0<1n+2<1，∴f（1n+2）<0， ∴f（12）-f（1n+2）>f（12）. ∴f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）>f（12）. 其实，在具体的题型中，还有以具体问题为背景，在解决实际问题中构造出来的各种不等式，我们都可以从其具体的结构形式入手，寻找合理有效的解决方案.
不等式的证明题，无论它以什么形式展现，其常规的证明方法如下：利用函数的单调性证明；重要不等式证明；放缩法；数学归纳法等.不等式结构能提示我们做“最近选择”，不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式，需要我们去整合.笔者提供几类案例，供参考.
一、常数型不等式证明
所谓常数型不等式，是指不等式一边是代数式而另一边是常数的式子.它常常以数列为背景出现，对于这类形式，通常采用的方法是：利用函数的单调性求值、裂项相消求和等方法来证明.
例1设数列{an}的前n项和Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，（1）求首项a1和通项an；
（2）设Tn=2nSn，n=1，2，…，证明：ni=1Ti<32.
解（1）由Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，
得a1=S1=43a1-13×4+23，∴a1=2，
∵an=Sn-Sn-1=43（an-an-1）-13（2n+1-2n），n=2，3，…
∴an+2n=4（an-1+2n-1），n=2，3，….
∴{an+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n=4×4n-1=4n，n=1，2，….
∴an=4n-2n，n=1，2，….
（2）将an=4n-2n，n=1，2，…代入Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，得
Sn[WB]=43（4n-2n）-13×2n+1+23=13（2n+1-1）（2n+1-2）[DW]=23（2n+1-1）（2n-1）.
Tn[WB]=2nSn=32×2n（2n+1-1）（2n-1）[DW]=32×（12n-1-12n+1-1）.
∴ni=1Ti[WB]=32×ni=1（12i-1-12i+1-1）[DW]=32（121-1-12n+1-1）<32.
二、函数型不等式的证明
所谓函数型不等式，是指以函数为背景，待证的不等式左右两边是以函数值的和差积商以及自变量、因变量的代数式为表现形式的不等式.对于这种形式的不等式，通常采用的方法：利用函数的单调性证明.这里要特别提示的是，在证明常量不等式中往往需要构造函数，将常量变量化.在多元常量变量化中通常有两种形式：一是个体常量化，另一类是整体变量化，如和、积等.
例2已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx.（1）求函数f（x）的最大值；（2）设0 解（1）f（x）max=f（0）=0. （2）g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1， 设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则F′（x）=g′（x）-[g（a+x2）]′=lnx-lna+x2. 当0 当x>0时，G′（x）<0，所以G（x）在（0，+∞）上是减函数. 所以G（x）=0，b>a，所以G（b）<0，∴g（a）+g（b）-2g（a+b2）<（b-a）ln2. ∴0 三、抽象型不等式证明 所谓抽象不等式，是指以抽象函数的形式给出条件和结论的不等式.它往往以抽象函数的形式出现，通常采用的方法：函数的性质、利用条件裂项、放缩法等. 例3定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：（1）对于任意x ， y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f （x+y1+xy）；（2）当x∈（-1，0）时，有f （x）>0，求证： f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）>f（12）. 证明 f（x）+f（y）=f （x+y1+xy），令x=y=0得f（0）=0； 令y=-x ，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x ）=-f（x）， ∴f（x）在（-1，1）上是奇函数.设-1 ∵-1 ∴f（x1-x21-x1x2）>0. ∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）. ∴f（x）在（-1，0）上是单调减函数. ∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，∴f（x）在（0 ，1）上是减函数，且f（x）<0， ∵f（1n2+3n+1）=f[1（n+1）（n+2）-1] =f[ 1（n+1）（n+2）1-1（n+1）（n+2）] =f[ 1n+1+（-1n+2）1+1n+1·（-1n+2） ]=f（1n+1）+f（-1n+2） =f（1n+1）-f（1n+2）， ∴f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）=[f（12）-f（13）]+…+[f（1n+1）-f（1n+2）]=f（12）-f（1n+2）. ∵0<1n+2<1，∴f（1n+2）<0， ∴f（12）-f（1n+2）>f（12）. ∴f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）>f（12）. 其实，在具体的题型中，还有以具体问题为背景，在解决实际问题中构造出来的各种不等式，我们都可以从其具体的结构形式入手，寻找合理有效的解决方案.
不等式的证明题，无论它以什么形式展现，其常规的证明方法如下：利用函数的单调性证明；重要不等式证明；放缩法；数学归纳法等.不等式结构能提示我们做“最近选择”，不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式，需要我们去整合.笔者提供几类案例，供参考.
一、常数型不等式证明
所谓常数型不等式，是指不等式一边是代数式而另一边是常数的式子.它常常以数列为背景出现，对于这类形式，通常采用的方法是：利用函数的单调性求值、裂项相消求和等方法来证明.
例1设数列{an}的前n项和Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，（1）求首项a1和通项an；
（2）设Tn=2nSn，n=1，2，…，证明：ni=1Ti<32.
解（1）由Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，
得a1=S1=43a1-13×4+23，∴a1=2，
∵an=Sn-Sn-1=43（an-an-1）-13（2n+1-2n），n=2，3，…
∴an+2n=4（an-1+2n-1），n=2，3，….
∴{an+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n=4×4n-1=4n，n=1，2，….
∴an=4n-2n，n=1，2，….
（2）将an=4n-2n，n=1，2，…代入Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，…，得
Sn[WB]=43（4n-2n）-13×2n+1+23=13（2n+1-1）（2n+1-2）[DW]=23（2n+1-1）（2n-1）.
Tn[WB]=2nSn=32×2n（2n+1-1）（2n-1）[DW]=32×（12n-1-12n+1-1）.
∴ni=1Ti[WB]=32×ni=1（12i-1-12i+1-1）[DW]=32（121-1-12n+1-1）<32.
二、函数型不等式的证明
所谓函数型不等式，是指以函数为背景，待证的不等式左右两边是以函数值的和差积商以及自变量、因变量的代数式为表现形式的不等式.对于这种形式的不等式，通常采用的方法：利用函数的单调性证明.这里要特别提示的是，在证明常量不等式中往往需要构造函数，将常量变量化.在多元常量变量化中通常有两种形式：一是个体常量化，另一类是整体变量化，如和、积等.
例2已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx.（1）求函数f（x）的最大值；（2）设0 解（1）f（x）max=f（0）=0. （2）g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1， 设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则F′（x）=g′（x）-[g（a+x2）]′=lnx-lna+x2. 当0 当x>0时，G′（x）<0，所以G（x）在（0，+∞）上是减函数. 所以G（x）=0，b>a，所以G（b）<0，∴g（a）+g（b）-2g（a+b2）<（b-a）ln2. ∴0 三、抽象型不等式证明 所谓抽象不等式，是指以抽象函数的形式给出条件和结论的不等式.它往往以抽象函数的形式出现，通常采用的方法：函数的性质、利用条件裂项、放缩法等. 例3定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：（1）对于任意x ， y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f （x+y1+xy）；（2）当x∈（-1，0）时，有f （x）>0，求证： f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）>f（12）. 证明 f（x）+f（y）=f （x+y1+xy），令x=y=0得f（0）=0； 令y=-x ，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x ）=-f（x）， ∴f（x）在（-1，1）上是奇函数.设-1 ∵-1 ∴f（x1-x21-x1x2）>0. ∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）. ∴f（x）在（-1，0）上是单调减函数. ∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，∴f（x）在（0 ，1）上是减函数，且f（x）<0， ∵f（1n2+3n+1）=f[1（n+1）（n+2）-1] =f[ 1（n+1）（n+2）1-1（n+1）（n+2）] =f[ 1n+1+（-1n+2）1+1n+1·（-1n+2） ]=f（1n+1）+f（-1n+2） =f（1n+1）-f（1n+2）， ∴f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）=[f（12）-f（13）]+…+[f（1n+1）-f（1n+2）]=f（12）-f（1n+2）. ∵0<1n+2<1，∴f（1n+2）<0， ∴f（12）-f（1n+2）>f（12）. ∴f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）>f（12）. 其实，在具体的题型中，还有以具体问题为背景，在解决实际问题中构造出来的各种不等式，我们都可以从其具体的结构形式入手，寻找合理有效的解决方案.
