考虑验前信息的成败型产品可靠性评定方法

张克军，张海军

任何一种新研制的航天产品都要经历不同的试验阶段，并最终通过试验与鉴定。飞行可靠性作为航天产品试验与鉴定的重要考核指标，不仅是产品质量的特性，也是其保持战斗力的重要保证。考虑试验费用，在试验与鉴定过程中，不可能进行大样本的飞行可靠性试验，但在实际工程中存在着大量的历史试验信息，如何结合历史试验信息(验前信息)，在有限的鉴定试验样本情况下，对产品的飞行可靠性作出客观公正的评价，是航天产品研制单位及使用单位一直研究的问题。

1 传统的评定方法

1.1 经典检验方法

设航天产品飞行可靠性的目标值为P0，试验发数为N，试验成功数为S。

统计假设:

原假设H0:P=P0，备择假设H1:P=λP0=P1。

其中，λ为检出比，P1为飞行可靠性最低可接受值。

若

则拒绝原假设H0，即飞行可靠性不合格;否则，接受原假设H0，即飞行可靠性合格。

检验风险:

其中，α为生产方风险，β为使用方风险。

应用上述检验方法时，要求应用中双方风险相当，并小于某一值。

1.2 经典评估方法

已知产品的可靠性试验数据为(s，f)，s表示产品试验的成功数，f表示产品试验的失败数，n=s+f表示产品的试验总数。

1.2.1 点估计

R的估计量为

1.2.2 区间估计

对于成败型产品，其可靠度具有如下关系

其中，γ为置信度;IRL，C(s，f+1)为不完全β分布函数，即可靠度;RL，C为给定概率1－γ的不完全β分布函数下侧分位数。

当 f=0 时，RL，C=(1－ γ)1/n;当 f=n 时，上式无解，可取 RL，C=0。

根据不完全β函数与二项分布的关系，则式(1.8)可表示为:

给定置信度γ，查二项分布函数表求解得到产品可靠性的置信下限RL，C。

2 考虑验前信息的Bayes评定方法

2.1 Bayes检验方法

已知航天产品飞行可靠性的目标值为P0，验前信息为:成功数为S0，失败数为F0，试验总数为N0，N0=S0+F0。

统计假设同1.1。

H0的验前概率π0:

H1的验前概率π1:

若

则拒绝原假设H0，即飞行可靠性不合格;否则，接受原假设H0，即飞行可靠性合格。

2.1.1 Bayes相对风险

其中α，β为经典风险。

2.1.2 Bayes验后风险

生产方Bayes风险是指接受H1假设时，H0是真的概率，数学表达式为απ=P(H0|Z1);使用方Bayes风险是指接受H0假设时，H1是真的概率，数学表示式为βπ=P(H1|Z0)。根据Bayes全概率公式有:

2.1.3 实际风险

Bayes检验方法中研制方的实际风险即为经典检验方法中的实际风险，即:

使用方的实际风险为Bayes相对风险的两倍，即:

实际使用中要求βπ≤α。

2.2 Bayes评估方法

2.2.1 点估计

R取共轭先验密度F0(R)=β(R|s0，F0)=，试验中成、败发生概率为 L，则R的后验密度由贝叶斯定理确定，经推导

通常设定a=b=0.5，则其贝叶斯估计为

2.2.2 区间估计

经推导，贝叶斯置信下限为

当F1+F0=0时，则:

给定置信度γ，查二项分布函数表求解得到产品可靠性的置信下限RL，B。

3 应用实例

某航天产品的飞行可靠性为0.9。鉴定试验前，研制单位进行了研制摸底试验，成功数为10，失败数为2，鉴定试验给定试验总数为9，试验结果成功数为8。现分别采用前面介绍的检验方法，对飞行可靠性作出检验与评估。

3.1 经典法

选定检出比:λ =0.77，依据式(1.1)，得到 P1=0.69。

依据式(1.2)、(1.3)、(1.4)、(1.5)和(1.6)得到检验方案为:9 发8 成。

此时双方风险为:α=0.2252，β=0.1788，满足双方风险相当要求。

因此，该产品通过检验。

3.1.1 点估计

3.1.2 区间估计

根据式(1.9)，若置信度γ=0.8，则查表得到RL=0.7。

3.2 考虑验前信息的Bayes法

选定检出比 λ =0.77，依据式(1.1)，得到 P1=0.69。

依据式(2.1)、(2.2)得到验前概率:π0=0.60，π1=0.40。

根据式(2.3)，得到检验方案为:9发8成。

依据式(2.4)、(2.5)，(2.6)、(2.7)，(2.8)、(2.9)得到风险如下:

考虑验前信息采用Bayes，该产品的鉴定试验结果是产品通过检验，且双方的实际风险满足该方法的使用原则。

3.2.1 点估计

3.2.2 区间下限估计

根据式(2－12)，若置信度γ=0.8，则表得到RL=0.8。

3.3 两种方法的比较

表1 两种方法的数据比较

3.3.1 充分利用验前信息

航天产品在研制摸底试验阶段的试验数据往往大于鉴定试验阶段的数据信息。传统的经典方法只利用鉴定试验阶段的试验数据信息，而Bayes法将研制阶段和鉴定阶段的试验数据进行综合利用，从统计学角度考虑，增加了样本量就增加了统计结果的可靠程度。

3.3.2 试验结果的概率解释更为合理

鉴定试验是采用小样本的方法，控制样本量，所以仅仅以鉴定试验为样本信息的经典法，在样本数不够充分的情况下，无论结果如何都不具有说服力。而Bayes法，综合了从研制阶段到鉴定阶段的全部试验数据，扩大了样本量，从概率论角度讲，评估结果更具有说服力。

3.3.3 使用方风险的降低

在同样检验方案的情况下，Bayes检验方法通过使用验前信息，降低了使用方的风险，研制方风险没有影响，评定标准并没有放松。

4 结语

在现场鉴定试验数据量较少时，充分应用历史试验信息对航天产品的飞行可靠性进行评定的Bayes法，在不放松评定标准的基础上，降低了使用方的风险。在减少试验样本的同时，也可以增加统计结果的可靠程度，使评估结果更具有说服力。

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