一道解析几何题的巧解

苏乌利

摘  要：从分析一道直线与圆的题目中发现，该题常规的解法适合所有的圆锥曲线，是通性通法;从圆的对称性来解题又是另外一番风景，由对称性引发的角平分线更是给这道解析几何题带来了更多精巧的解法，各种解法所涉及到的知识点也截然不同，因此一道题目中隐含的知识点可以不断地深入挖掘。

关键词：直线和圆;对称;角平分线

中图分类号：G632                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-257-02

在高中的数学教学中，特别是在高三复习阶段，习题对于学生来说有着很高的价值。解析几何是高考的重点，也是学生的难点，很多高三学生更是视解析几何题为一大障碍，作为教师，如何把习题讲透、如何引导学生充分挖掘出习题的内涵、如何帮助学生从不同的角度充分利用题目的已知条件来探索习题不同的解题方案是我们应该关注的重点。在整个高三年的复习中，让我印象深刻、体会最深的就是一道解析几何的题目

题目：已知圆的方程，是否存在过点P（0，2）的直线与圆交于两点且，若存在，求直线的方程;若不存在，请说明理由。

分析一：根据题目的已知条件

，很多同学想到

设而不求，由弦长公式入手这样

的想法比较直接，看完题目就可

以作答，我们来看看这种法。

法一：①当直线斜率不存在时，直线便是y轴，易得

圆与y轴的两交点A（0，0）、B（0，-2），此时满足

②当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得到

而，所以接下来便是把直线与圆的方程联立，通过韦达定理得到和，通过求根公式得到便能求出的值。

反思一：这种方法常规容易想，不仅适合直线与圆的问题，更适合直线与椭圆的问题，有通法的感觉，过程涉及到的消元思想是解析几何中的重要思想，所以在讲解这道习题时，虽然存在运算过程的繁琐，但也应详细讲解。

分析二：这道题目中的曲线是直线和圆，由圆的特殊对称性入手，那么题目便简单了许多，从法一中我们可以看到y轴是满足条件的其中一条直线，根据圆的对称性可知，还存在着另一条满足条件的是y轴关于直线PC的对称直线PM，也可认为直线PC是的角平分线。

法二：根据求对称直线的方法，在y轴上取原点（0，0），关于直线PC：的对称点会落在直线PM上，把求对称直线转化为求对称点

解得，从而由（，）和P（0，2）得到直线PM的方程是

反思二：换一个角度去想问题，根据圆的特性寻求更为简便的解法，此解法涉及到的知识点便是求直线关于直线的对称直线、点关于直线的对称点，但是对图形的观察也是至关重要，先得观察发现到y轴是符合条件的其中一条直线，这是突破口。

法三：直线PC是的角平分线，点C（2，-1）到y轴的距离与到直线PM：的距离是相等的，所以解得

反思三：若能进一步把问题挖深联系所学知识，其实不难发现对称直线的问题也可以转化为角平分线的问题，当然若是角平分线的问题亦可以转化为对称直线的问题。从角平分线的知识来解决问题，便可以借助角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，问题就又再一步的简化了。

法四：求直线时，已知直线上的一个点，我们只需确定斜率或者再求出直线上的一点即可，我们可以设直线PM与x轴的交点为M，因为所以有解出

反思四：角平分线很多同学想到的是角度相等，而角度通常可以借用向量中数量积的知识来解决问题，解析几何的很多题目涉及到平行、垂直、角度等用向量这个工具会给问题带来巧妙的解法。

我们也会联想到2010年安徽理科卷里面的第19题：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点

F1，F2在x轴上，离心率

（I）求椭圆E的方程;（II）求的角平分线所在直线的方程;

（III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出;若不存在，说明理由.此题的解法也可用上面的法二、法三和法四来解决。

从不同的角度看问题，问题所涉及的知识点便不同，这样可以使学生开拓视野，锻炼自己分析问题、解决问题的能力，也锻炼学生如何使用自己所学过的知识来解决问题。对解析几何题的训练，我个人认为题目不在于训练得多，而在与训练得透，每一道题目是否真正给学生讲透，是否真正发挥出一道题目的真正价值所在才是重要的，让学生多思考，大胆地运算，鼓励他们解题，只有增强他们对解析几何的信心、引发他们对解析几何的兴趣才能从根本上提高学生在高考中解析几何的得分。

反思三：若能进一步把问题挖深联系所学知识，其实不难发现对称直线的问题也可以转化为角平分线的问题，当然若是角平分线的问题亦可以转化为对称直线的问题。从角平分线的知识来解决问题，便可以借助角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，问题就又再一步的简化了。

法四：求直线时，已知直线上的一个点，我们只需确定斜率或者再求出直线上的一点即可，我们可以设直线PM与x轴的交点为M，因为所以有解出

反思四：角平分线很多同学想到的是角度相等，而角度通常可以借用向量中数量积的知识来解决问题，解析几何的很多题目涉及到平行、垂直、角度等用向量这个工具会给问题带来巧妙的解法。

我们也会联想到2010年安徽理科卷里面的第19题：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点

F1，F2在x轴上，离心率

（I）求椭圆E的方程;（II）求的角平分线所在直线的方程;

（III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出;若不存在，说明理由.此题的解法也可用上面的法二、法三和法四来解决。

从不同的角度看问题，问题所涉及的知识点便不同，这样可以使学生开拓视野，锻炼自己分析问题、解决问题的能力，也锻炼学生如何使用自己所学过的知识来解决问题。对解析几何题的训练，我个人认为题目不在于训练得多，而在与训练得透，每一道题目是否真正给学生讲透，是否真正发挥出一道题目的真正价值所在才是重要的，让学生多思考，大胆地运算，鼓励他们解题，只有增强他们对解析几何的信心、引发他们对解析几何的兴趣才能从根本上提高学生在高考中解析几何的得分。

反思三：若能进一步把问题挖深联系所学知识，其实不难发现对称直线的问题也可以转化为角平分线的问题，当然若是角平分线的问题亦可以转化为对称直线的问题。从角平分线的知识来解决问题，便可以借助角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，问题就又再一步的简化了。

法四：求直线时，已知直线上的一个点，我们只需确定斜率或者再求出直线上的一点即可，我们可以设直线PM与x轴的交点为M，因为所以有解出

反思四：角平分线很多同学想到的是角度相等，而角度通常可以借用向量中数量积的知识来解决问题，解析几何的很多题目涉及到平行、垂直、角度等用向量这个工具会给问题带来巧妙的解法。

我们也会联想到2010年安徽理科卷里面的第19题：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点

F1，F2在x轴上，离心率

（I）求椭圆E的方程;（II）求的角平分线所在直线的方程;

（III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出;若不存在，说明理由.此题的解法也可用上面的法二、法三和法四来解决。

从不同的角度看问题，问题所涉及的知识点便不同，这样可以使学生开拓视野，锻炼自己分析问题、解决问题的能力，也锻炼学生如何使用自己所学过的知识来解决问题。对解析几何题的训练，我个人认为题目不在于训练得多，而在与训练得透，每一道题目是否真正给学生讲透，是否真正发挥出一道题目的真正价值所在才是重要的，让学生多思考，大胆地运算，鼓励他们解题，只有增强他们对解析几何的信心、引发他们对解析几何的兴趣才能从根本上提高学生在高考中解析几何的得分。