用游戏引发数学思考

林永荣+吴雪琪

“游戏公平”是北师大版《数学》四年级下册的内容。本节课是学生在知道事件发生的可能性有大小，能对一些简单事件发生的可能性作出定性描述的基础上，通过游戏活动体验只有“等可能性事件”的游戏规则才是公平的，并在此基础上设计简单的、公平的游戏规则。游戏应该怎么设计，才能使学生深度参与探究活动，真正引发学生数学思考呢？林永荣老师执教这节课时，做出了大胆、有益的尝试，给我们很大的启发。

创设情境，引发认知冲突

师：同学们，喜欢玩游戏吗？

生：喜欢！

师：好！今天我们就来玩一个游戏。我们在游戏中不仅要玩得开心，还要玩出胜负，更要玩出学问来。

请看大屏幕：

男生和女生做摸牌游戏（牌面点数分别为“梅花A、方块2、黑桃3、红心4”的四张扑克牌）。

（课件出示游戏规则）

规定：1.每次每人各摸一张，计完分后放回，重洗。

2.如果所摸出的2张牌的牌面点数之积为奇（单）数时，男生记1分，否则女生记1分。

3.摸10次，得分多者胜。

师：这规则公平吗？

生（大多数学生齐说）：公平。

师：为什么公平？

生：因为这里的单数、双数各有两个。那么得到是单数和双数的可能性就一样，所以我认为这里的规则是公平的。

师：猜一猜，谁可能会赢？并说说你的理由。

生1：男生可能会赢，女生也有可能赢，说不准。

生2：我同意生1的说法，因为他们赢的机会是一样的。不过，我还是猜男生会赢，他的运气可能好点。

生3：我认为这个规则不公平，因为只有1×3的积才是单数。所以我觉得女生会赢。

师：现在出现两种不同意见了。有的说公平，有的说不公平。怎么办？

生：我们可以通过摸牌来验证是不是公平的。

师：好！那么我们现在就分组进行游戏，请各组组长组织游戏，游戏的时候要注意记录好数据哦。

（小组进行游戏活动，4分钟后各组游戏结束）

师：现在请各组汇报游戏结果。

组1：我们组游戏结果是这样的：乘积是单数的出现1次，双数出现了9次，也就是男生得了1分，女生得了9分，女生赢了。

组2：我们组男生得了3分，女生得了7分，也是女生赢了。

组3：我们组的游戏结果和第二组一样，也是男生得3分，女生得7分，女生赢了。

组4：我们组的结果是乘积为单数的2次，双数为8次，女生赢了。

组5：我们组的结果是积为单数1次，双数9次，男生输了。

组6：我们组的结果是积为单数1次，双数9次，女生赢了。

组7：我们组的结果是单数0次，双数10次，女生赢了。

组8：我们组的结果也是单数1次，双数9次，女生赢了。

学生通过“抛图钉”“摸球”活动充分感受了不确定现象，已经能列出简单事件所有可能发生的结果。本课教材编排的“掷骰子、掷硬币”游戏是学生以前活动的重复，无法引发学生深度的数学思考。于是，教师设计了一个看似公平、实则不公平的“摸牌游戏”，先让学生猜想游戏结果，并对游戏的公平性进行了初步判断、分析；接着，教师组织学生分组游戏来验证猜想，而游戏的结果与学生猜想相去甚远。这时，学生已经无法“淡定”了，他们迫切希望解开谜底——“这个游戏为什么这么不公平？”

感受可能性相等要比感受可能性不相等更不容易，因此，教师精心设计了这个环节，从感受游戏的不公平入手，引起学生的认知冲突，激发学生探究欲望，创设了学生数学思考的问题情境。

指导分析，启迪数学思维

师：现在我宣布，女生在这次游戏中赢了！而且是以绝对优势胜出！

众男生：不公平！不公平！

师：同是两个奇数、两个偶数。按它们的乘积的奇偶性记分，为什么女生能赢得这么爽？

（学生分析、讨论，大约3分钟时间。）

生1：1×2的结果不是单数，只有1×3的结果才是单数（图1所示），其他的乘积都是双数。在这里单数只出现1次，而双数出现了5次。所以游戏是不公平的。

生2：男生赢的机会只有两次，也就是只有当男生摸到1，女生摸到3；或者男生摸到3，女生摸到1的时候，两张牌面的点数乘积才是单数。但双数与任何数乘起来，结果都是双数。在表格中（图2所示）我们可以看到：乘积是单数只有两个，双数却有10个，所以游戏不公平。

生3：我没有计算，不过我想，只有奇数×奇数的积才会是奇数；奇数×偶数与偶数×偶数的积都是偶数。这四张牌中有两个奇数，两个偶数。在摸牌的时候，只要有一个人摸到一张偶数，那么，另一个不管摸到什么牌，它们的乘积一定是偶数；而当其中一个人摸到的是奇数时，另一个人必须也是摸到奇数，它们的乘积才会是奇数；所以游戏是不公平的。

师：男生一定会输吗？

生：不一定。

师：为什么说“不一定”呢？

生：因为乘积是单数的情况也存在。只不过输的可能性比女生大得多，男生有机会赢，只是要运气特别好的时候会赢。

师：这样的游戏规则怎么样？

生（齐）：不公平！

师：到底怎样的游戏才是公平、合理的呢？这节课，我们就借助数学思想来理性分析游戏规则的公平性。

通过“摸牌游戏”，学生充分感受了游戏的不公平，教师顺势问道：“同是两个奇数、两个偶数。按它们的乘积的奇偶性记分，为什么女生会赢得这么爽？”这个问题一提出，聚焦了学生思考的方向，引导他们用数学方法来分析、解释现象。学生有的用枚举的方法，有的用列表来分析，有的是通过推理进行分析……学生的数学思维品质因深入的理性分析而得到进一步发展。如何真正引发学生有效地进行数学思考是数学课堂的重要课题。在这个环节中，教师放手让学生主动探索，充分尊重、相信学生，给学生创造了进行深刻、严谨的数学思考的时间与空间，点燃了学生智慧的火花。endprint

深度对话，发展数学思考

师：既然刚才的游戏如此不公平，那么如何修改游戏规则使游戏公平呢？

（学生先独立思考，然后在小组里交流。）

生：比单双。

师：怎么比单双？

生：就是如果两个人摸到的牌面点数都是单数时，男生记1分；都是双数时，女生记1分。

师：如果摸到的是一单一双怎么办？

生：那就两个人都不记分，重新摸。

师：这样的规则公平吗？

生：公平。因为这里有两个单数，两个双数，同时摸到单数的可能性有一次，同时摸到双数的可能性也是一次，摸到一单一双的可能性是两次。

师：以两人摸到牌面的点数的奇偶性记分，除了这种记分规则是公平的之外，还有没有别的以奇偶性记分规则也是公平的？

生：我们以奇偶性相同时，男生记1分，奇偶性不同时女生记1分。也是公平的。

师：真的公平吗？

生：是公平的，我们来看看奇偶性相同时，即都是奇数或偶数时共有两种情况，奇偶性不同时也是有两种情况。

师：嗯，分析得很到位。还有其他修改方法吗？

生：把积改为和。这也就是把原来第二条规则改为“如果所摸出的两张牌，牌面点数之和为奇（单）数时，男生记1分；否则女生记1分”。

师：这样修改之后公平吗？

生：不公平的。

师：说说看。

生：我是用一个一个列出来的方式也发现不公平。

师：很好，这个同学用分析的方法解决了问题，修改成计算两数之和也是不公平的。还有别的修改方法吗？

师：我们能否通过换牌面点数，还是按原来的记分规则来记分，使游戏公平？

生：把2或4换成5或许可以。我没分析过。

师：会不会公平呢？那么我们现在就把4换成5，并按刚才方法分析一下，看看是否公平。

生：这是公平的。1×2=2是偶数，1×3=3是奇数，1×5=5是奇数，2×3=6是偶数，2×5=10是偶数，3×5是奇数。可以看出6个积中有3个奇数和3个偶数。奇数和偶数出现的可能性一样，所以是公平的。

有了之前对“不公平”游戏的体验与分析，学生对公平的游戏规则理解更深刻了，此时，教师创设了“修改游戏规则使游戏公平”的探究活动。在富有挑战性的活动中，师生进行了深度对话，学生的思路开阔，各种方案在对话中逐一呈现，无论是简单的还是复杂的，都能抓住游戏公平的本质——事件发生的可能性相等。在探究活动过程中，学生得到了最鲜活的学习体验，积累了真实有效的数学基本活动经验。

纵观全课，教师成为了一名顾问、一个意见的参与者、一个帮助发现矛盾论点的人，通过有趣的摸牌游戏，引发数学思考，营造了一个富有张力的课堂，学生的真实思维得以展示和完善，数学学习就在游戏中自然发生。（作者单位：广东省深圳市福田区梅林小学）

□责任编辑 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint

深度对话，发展数学思考

师：既然刚才的游戏如此不公平，那么如何修改游戏规则使游戏公平呢？

（学生先独立思考，然后在小组里交流。）

生：比单双。

师：怎么比单双？

生：就是如果两个人摸到的牌面点数都是单数时，男生记1分；都是双数时，女生记1分。

师：如果摸到的是一单一双怎么办？

生：那就两个人都不记分，重新摸。

师：这样的规则公平吗？

生：公平。因为这里有两个单数，两个双数，同时摸到单数的可能性有一次，同时摸到双数的可能性也是一次，摸到一单一双的可能性是两次。

师：以两人摸到牌面的点数的奇偶性记分，除了这种记分规则是公平的之外，还有没有别的以奇偶性记分规则也是公平的？

生：我们以奇偶性相同时，男生记1分，奇偶性不同时女生记1分。也是公平的。

师：真的公平吗？

生：是公平的，我们来看看奇偶性相同时，即都是奇数或偶数时共有两种情况，奇偶性不同时也是有两种情况。

师：嗯，分析得很到位。还有其他修改方法吗？

生：把积改为和。这也就是把原来第二条规则改为“如果所摸出的两张牌，牌面点数之和为奇（单）数时，男生记1分；否则女生记1分”。

师：这样修改之后公平吗？

生：不公平的。

师：说说看。

生：我是用一个一个列出来的方式也发现不公平。

师：很好，这个同学用分析的方法解决了问题，修改成计算两数之和也是不公平的。还有别的修改方法吗？

师：我们能否通过换牌面点数，还是按原来的记分规则来记分，使游戏公平？

生：把2或4换成5或许可以。我没分析过。

师：会不会公平呢？那么我们现在就把4换成5，并按刚才方法分析一下，看看是否公平。

生：这是公平的。1×2=2是偶数，1×3=3是奇数，1×5=5是奇数，2×3=6是偶数，2×5=10是偶数，3×5是奇数。可以看出6个积中有3个奇数和3个偶数。奇数和偶数出现的可能性一样，所以是公平的。

有了之前对“不公平”游戏的体验与分析，学生对公平的游戏规则理解更深刻了，此时，教师创设了“修改游戏规则使游戏公平”的探究活动。在富有挑战性的活动中，师生进行了深度对话，学生的思路开阔，各种方案在对话中逐一呈现，无论是简单的还是复杂的，都能抓住游戏公平的本质——事件发生的可能性相等。在探究活动过程中，学生得到了最鲜活的学习体验，积累了真实有效的数学基本活动经验。

纵观全课，教师成为了一名顾问、一个意见的参与者、一个帮助发现矛盾论点的人，通过有趣的摸牌游戏，引发数学思考，营造了一个富有张力的课堂，学生的真实思维得以展示和完善，数学学习就在游戏中自然发生。（作者单位：广东省深圳市福田区梅林小学）

□责任编辑 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint

深度对话，发展数学思考

师：既然刚才的游戏如此不公平，那么如何修改游戏规则使游戏公平呢？

（学生先独立思考，然后在小组里交流。）

生：比单双。

师：怎么比单双？

生：就是如果两个人摸到的牌面点数都是单数时，男生记1分；都是双数时，女生记1分。

师：如果摸到的是一单一双怎么办？

生：那就两个人都不记分，重新摸。

师：这样的规则公平吗？

生：公平。因为这里有两个单数，两个双数，同时摸到单数的可能性有一次，同时摸到双数的可能性也是一次，摸到一单一双的可能性是两次。

师：以两人摸到牌面的点数的奇偶性记分，除了这种记分规则是公平的之外，还有没有别的以奇偶性记分规则也是公平的？

生：我们以奇偶性相同时，男生记1分，奇偶性不同时女生记1分。也是公平的。

师：真的公平吗？

生：是公平的，我们来看看奇偶性相同时，即都是奇数或偶数时共有两种情况，奇偶性不同时也是有两种情况。

师：嗯，分析得很到位。还有其他修改方法吗？

生：把积改为和。这也就是把原来第二条规则改为“如果所摸出的两张牌，牌面点数之和为奇（单）数时，男生记1分；否则女生记1分”。

师：这样修改之后公平吗？

生：不公平的。

师：说说看。

生：我是用一个一个列出来的方式也发现不公平。

师：很好，这个同学用分析的方法解决了问题，修改成计算两数之和也是不公平的。还有别的修改方法吗？

师：我们能否通过换牌面点数，还是按原来的记分规则来记分，使游戏公平？

生：把2或4换成5或许可以。我没分析过。

师：会不会公平呢？那么我们现在就把4换成5，并按刚才方法分析一下，看看是否公平。

生：这是公平的。1×2=2是偶数，1×3=3是奇数，1×5=5是奇数，2×3=6是偶数，2×5=10是偶数，3×5是奇数。可以看出6个积中有3个奇数和3个偶数。奇数和偶数出现的可能性一样，所以是公平的。

有了之前对“不公平”游戏的体验与分析，学生对公平的游戏规则理解更深刻了，此时，教师创设了“修改游戏规则使游戏公平”的探究活动。在富有挑战性的活动中，师生进行了深度对话，学生的思路开阔，各种方案在对话中逐一呈现，无论是简单的还是复杂的，都能抓住游戏公平的本质——事件发生的可能性相等。在探究活动过程中，学生得到了最鲜活的学习体验，积累了真实有效的数学基本活动经验。

纵观全课，教师成为了一名顾问、一个意见的参与者、一个帮助发现矛盾论点的人，通过有趣的摸牌游戏，引发数学思考，营造了一个富有张力的课堂，学生的真实思维得以展示和完善，数学学习就在游戏中自然发生。（作者单位：广东省深圳市福田区梅林小学）

□责任编辑 周瑜芽

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