复变函数中定积分的计算

王华阁

（新乡医学院 基础医学院，河南 新乡 453003）

在《复变函数与积分变换》教材中，在复变函数这部分内容中，定积分的计算方法多种多样，我们可以针对具体的定积分题型，选择合适的积分方法。 在这里，我们针对每种积分类型的特点，通过相应的例题，给出具体的解法。

1 参数方程法

对于积分曲线C 为不封闭曲线的定积分，可以考虑参数方程法进行计算。 用参数方程法计算定积分可以根据不同情况由两种方法进行计算。

1.1 通过化为两个二元实变函数的积分进行计算

由z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），可得

解：设f（z）=z2=（x2-y2）+2ixy，u=x2-y2，v=2xy。

设曲线C1的参数方程为

1.2 化为参变量的定积分进行计算

对于例1，我们可以化为参变量的定积分，按照这种方法进行计算。

解：设曲线C1的参数方程为

从而，

2 根据柯西定理及推论进行计算

2.1 定理1（柯西定理）

设C 是一条简单正向闭曲线，f（z）在以C 为边界的有界闭区域D 上解析，则

2.2 定理2（柯西定理推论）

设D 为由外线路C0和内线路C0，C1，C2，…，Cn围成的多连通 区 域，f（z）在D 内及边界曲线C0，C1，C2，…，Cn上解析，则这里C 为多连通区域D 的所有正向边界，方向为C0取逆时针方向，ck（k=1，2，L，n）取顺时针方向。

例3：C 为矩形区域0≤x≤3，0≤y≤2 的正向边界， 证明：

证明：在矩形区域里做正向圆周R：z-（2+i）=reiθ（θ：2π→0），则在图中的复连通区域内解析，从而根据柯西定理的推论有：

3 根据柯西积分公式进行计算

定理3：设f（z）在简单正向闭曲线C 及所围区域D 内处解析，z0为D 内任一点，则我们把这个公式称为柯西积分公式。

定理3 说明f（z0）可由函数在C 上的积分来确定，但实际上，我们通常把这个公式进行变形，可以用这个公式来计算积分

用柯西积分公式进行计算时， 先对曲线C 的解析性做判断，然后按照下列步骤进行：首先注意C 应该为正向闭曲线，若f（z）在C 所围的区域里解析，则根据柯西定理，若f（z）在C 所围的区域里不解析，再分以下两种情况：

（1）当f（z）有一个不解析点z0时，考虑能否把f（z）化成，其中g（z）在C 内解析，则由柯西积分公式可得，

（2）当f（z）有n 个不解析点时，做以不解析点为圆心的正向圆周C1，…，Cn，半径足够小，则由柯西定理的推论，

解：当C 为|z-2|=1 时，

4 利用高阶导数公式进行计算

定理4：设f（z）在简单正向闭曲线C 及其所围区域D 内处解析，z0为D 内任一点， 则0，1，2…）

解：因为cosπz 在复平面上处处解析，所以由定理4，

5 利用留数定理进行计算

定理5（留数定理）：设D 是复平面上的一个有界闭区域，若f（z）在D 内除有限个孤立奇点z1，z2，…，zn外处处解析，且它在D的边界C 上也解析，则

利用留数定理计算定积分的步骤：

（1）找出C 所围区域内f（z）的所有孤立奇点，设为z1，z2，…，zn。

（2）对每个孤立奇点zi，分别求Res（f，zi）。

（3）利用留数定理求定积分：

[1]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社，2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2007.

[3]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社，1988.