利用对偶空间构造最优等维码

张 晓 寒

(衡水职业技术学院 基础部，河北 衡水 053000)

Fq是含有q个元素的有限域，是Fq上的n维线性空间，上的所有线性子空间构成的集合，称为Fq上的n阶射影空间．在上定义度量，对于任意. C为射影空间中的码，，码C的参数为(n, M, d)，其中M表示码C中码字个数，即，d表示码C的最小距离，即C中不同码字距离的最小值，．如果码C中每个码字的维数都是k(0≤k≤n)，码C称为等维码，码C的参数为表示射影空间中(n, M, d)码所含码字的最大个数，表示射影空间中码所含码字的最大个数，能达到最大值的等维码称为最优等维码．Tuvi Etzion和 Alexander Vardy在文献[1]中给出了的上界和下界，当时，．本文利用对偶空间给出了最优等维码的一种构造．

1 定义和引理

下面的定义和引理是我们构造最优等维码的理论基础．

引理1[1]1169设，则对任意q有，

引理2[1]1171，(k不整除n)．

定义1对于中的向量，，定义它们的内积为

定义2设C是的子空间，对每个，也是上的线性子空间，称为C的对偶空间，并且

引理3设为有限域Fq上的n维向量空间，G, H为它的子空间，则有的充要条件是

证明1) 必要性：由显然,则,又因为，由

由引理1和引理2可以计算出上界下界之差为qr-2．当q=2,r=1时，上界下界之差为0，当n=2k+1,q=2时，由引理1和引理2可得出．下面我们利用对偶空间给出最优等维码的一种构造方法．

2 最优等维码的构造

由引理3知

下面我们给出一个具体例子．

3 最优等维码(7，17，6，3)的构造

[1] ETZIONAND T, VARDY A. Error-Correcting Codes in Projective Space[J]. IEEE Transactions On Information Theory,2011,57(2):1165-1174.

[2] 冯克勤.纠错码的代数理论[M].北京:清华大学出版社,2005:14-21.

[3] 林东岱.代数学基础与有限域[M].北京:高等教育出版社,2006:32-35.